《2008年高考广东理科卷第21题的高等数学知识溯源_彭耿铃》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2008年高考广东理科卷第21题的高等数学知识溯源_彭耿铃（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2009年第1期 福建中学数学 17 2008 年高考广东理科卷第年高考广东理科卷第 21 题的高等数学知识溯源题的高等数学知识溯源 彭耿铃 福建省泉州市第七中学（362000） 近年来，广东高考试卷中带有高等数学背景的 试题越来越多.这些试题精心设计、新颖独特，对学 生思维的抽象性、逻辑性，以及学生理解力、自学 能力都提出了更高的要求，为高考压轴试题的命制 提供了新的背景和新的思路.这主要源于两个因素： 一是高考题要考查学生的创新学习的能力，这就需 要有一个比较公平又有区分度的知识背景，而高等 数学的一些内容可以通过初等数学的方法和手段解 决，是考查学生进一步高等数学学习潜能的良好素 材；二
2、是随着高考命题改革的逐步深入，自主命题 的省市越来越多，命题组成员中有较多的大学老师， 他们在命题时受自身研究背景的影响，因此一些具 有高等数学倾向的问题逐步走进高考. 下面分析2008年广东省高考21题的高等数学 的知识溯源：二阶常系数线性差分方程的通解！ 由高等数学知识知二阶常系数线性差分方程 为： 210nnnxaxbx+=其中为常数.而一阶常系数线性差分方程的通解为ab、10nnxax+=()n nxca=， 其中为任意常数.因此，方程有型如cn nx=形式的特解，其中为非零的待定常数. 将n nx=代入方程，得： 21nnabn+ 0=，即()20nab+=. 0n， 20ab+=方
3、程称为方程的特征方程.显而易见，当常数满足方程，则n nx=也就满足方程，故方程的解称为方程的特征根. 对于的特征方程20ab+=，若其两个根分别为1=，2=，则 时，方程有两个不同实根24ab =012，112( )( )nx nx n2n=，为方程的特解，故方程的通解为1122()()nn nxCC=+； 其中为任意常数. 12cc、时，方程两个相同实根240ab =122a= ， 则可证明1( )2nax n= ，2( )2nax nn= 为 方 程 的 特 解 ， 故 方 程 的 通 解 为()122nnaxcnc=+，其中为任意常数. 12cc、240ab =时，方程的通解为12n
4、nxCCn=+；其中为待定常数. 12cc、12n nxCCn=+，故 ()1122222 212xccpxccpq=+=+=+=+， 解得12cc = =.当时，方程的通解为()11nn nn nx+=+=，. 当=时，即240pq =时，方程的18 福建中学数学 2009年第1期 C B D A Q B通解为()(12n nxcnc)=+，其中为待定常数. C 12cc、()()122n nxcnc=+， 故()()()112222 212222xccpxccpq2=+=+=即. 121 1c c= =当=时， 方程的通解为()( )1n nxn=+. 综上所述，11 ()()nnn nn
5、xn += +=. （） 把，1p =1 4q=代 入 特 征 方 程，得20pq+=2104+=，解得1 2=. 11( )( )22nn nxn=+i. 故231111( )( )( ).( )2222n nS=+231111( )2 ( )3 ( ).( )2222nn+iii 23111111( )( )2 ( )3 ( ).( )22222nnn= +iii， 利用错位相减法可解得： 11111( )2( )( )3(3)( )222nnnSn= +=+1 2nn. 尽管这道高考试题的设计来源于高等数学，但解决的方法最终还是中学所学的知识内容（本题用中学数学的知识的解法可见高考答案）
6、 ，因此我们没有必要将高等数学的知识引进到高中教学中.但是，高等数学中有些经典问题的处理方法既是数学的精髓所在，也是学生的数学素养和数学潜能所在.作为中学老师，若能了解高考试题的来龙去脉，才能胸有成竹，居高临下，才能为对数学特感兴趣又学有余力的优秀学生自觉主动接触一些基本的高等数学知识和方法，提供了知识和方法并指导和培养. 三角形角平分线上点的一个性质三角形角平分线上点的一个性质 谢星恩 林世中 福建省长乐第七中学（350206） 性质性质 如图，在ABC?中，角A的平分线AD上任意一点作直线交QAB、AC于BC、，若AQtAD=?、ABx AB =? ? ?、,ACy AC =? ?则 bc
7、bc xyt+=（其中,bAC cAB=? ?） 证明：AD是角A的平分线， BDABc bDCAC=? ?， cBDBbc=+? ?C . BCACAB=? ? ?， ADABBD=+? ?cABBbc=+? ?C? ?()cABACAbc=+? ? ?B bcABAbcbc=+? ?C?. AQtAD=?、ABx AB =? ? ?、ACy AC =? ?， AQbABcAC tbcxbcy=+? ? ? ， 即()()btctAQABbc xbc yAC=+? ? ?. QBC、 、三点共线， ()()1btct bc xbc y+=+， 即bcbc xyt+=. 特别地，当1 2t =时，Q为AD的中点，这时()2bcbcxy+=+. 参考文献参考文献 1翟洪亮.三角形中线上点的一个性质及其推广.数学通讯，2007（11） ，19
