《微分方程的幂级数解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程的幂级数解法（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、问题的提出一、问题的提出,22yxdxdy+=例如例如解不能用初等函数或其积分式表达解不能用初等函数或其积分式表达.寻求近似解法寻求近似解法: 幂级数解法幂级数解法;数值解法数值解法.卡比逐次逼近法卡比逐次逼近法;13.8 微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法二、二、特解求法特解求法),(yxfdxdy=问题问题.),(00的特解的特解满足满足求求yyyxfdxdyxx=.)()()()(),(0000101000ml lmyyxxayyaxxaayxf+=L其中其中L+=2 02010)()(xxaxxayy.,21为待定的系数为待定的系数其中其中LLnaaa.0|02的特解的特解满
2、足满足求求=+=xyyxdxdy解解，00=xQ, 00=y,3 32 21LL+=n nxaxaxaxay设设方程方程的幂级数展开式带入原的幂级数展开式带入原将将yy,L+3 42 321432xaxaxaa24 43 32 21)(L+=xaxaxaxax,3212 31 21LL+=n nxnaxaxaay例例1,201, 0, 0,21, 054321L=aaaaa.201 2152L+=xxy所求解为所求解为L+=4 312 23 2122 1)2(2xaaaxaaxax比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 得得小结小结: 无初始条件求解无初始条件求解=+=1
3、nn nxaCy可设可设(C是任意常数是任意常数)如果方程如果方程0)()(=+ yxQyxPy中的系数中的系数)(xP与与)(xQ可在可在RxR内展为内展为x的幂级数的幂级数,那么在那么在RxR内原方程必有形如内原方程必有形如nnnxay=0 的解的解.定理定理三、二阶齐次线性方程幂级数求法三、二阶齐次线性方程幂级数求法作法作法,0=nn nxay设解为设解为的幂级数的幂级数，展开为展开为将将0)(),(),(xxxfxQxP比较恒等式两端比较恒等式两端x的同次幂的系数的同次幂的系数, 确定确定y.0的解的解求方程求方程= yyxy,0nnnxay=设方程的解为设方程的解为解解例例2,10=
4、nnnxnay则则21)1(= nnnxanny, 0,= yyxyyyy带入带入将将,)1)(2(02nnnxann=+=, 00=nnnxa10=nnnxnaxnnnxann=+ 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02+=+nnnnxanann,22+=+naan nL, 2 , 1 , 0=n,31 3aa =,151 5aa =L,!)!12(1 12+=+kaakL, 3 , 2 , 1=k,20 2aa =,80 4aa =L,2!0 2kkkaa=原方程的通解原方程的通解=+=+=0121 020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常数是任意常数aa四、
5、小结微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非非 全全 微微 分分 方方 程程非非 变变 量量 可可 分分 离离幂级数解法幂级数解法降降 阶阶作作 变变 换换作变换作变换积分因子积分因子思考题思考题什么情况下采用“幂级数”解法求解什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？微分方程？思考题解答思考题解答当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.一、一、 试用幂级数求下列各微分方程的解试用幂级数求
6、下列各微分方程的解: 1、1=xxyy； 2、0)(=+ myymxyx.)(为自然数为自然数m二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:1、21,032=+=xyxyy；2、0,0cos 0022 =+ = ttdtdxaxtxdtxd.练 习 题练 习 题练习题答案练习题答案一、一、1、+=32 31112 xxCeyx)12(53112 LLL+nxn ；2、 =+=mkk x kxCeCy021!.二二、1、L+=432 329 161 81 41 21xxxxy；2、L+=842 ! 855 ! 69 ! 42 ! 211(ttta
7、x.步骤步骤: 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程微分方程12.9 常系数常系数线性线性微分方程微分方程组组的解法的解法解此高阶微分方程解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知求出满足该方程的未知 函数函数.把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组,一般说来，一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数不必经过积分就可求出其余的未知函数例例1解微分方程组解微分方程组 =)2(.2)1(,23zydxdzzydxdy由由(2)式得式得)3(21+=z
8、dxdzy设法设法消去未知消去未知函数，函数，y解解两两边边求求导导得，得，)4(,2122 +=dxdz dxzd dxdy把把(3), (4)代代入入(1)式式并化简并化简, 得得0222 =+zdxdz dxzd解解之之得通解得通解)5(,)(21xexCCz+=)6(.)22(21 221xexCCCy+=再把再把(5)代代入入(3)式式, 得得原方程原方程组组的通解为的通解为, )()22(2121221+=+=xxexCCzexCCCy用用D表示对自变量表示对自变量x求导的运算求导的运算,dxd)(1)1( 1)(xfyayayaynnnn=+L例如，例如，D用用记号记号可表可表示
9、示为为)()(11 1xfyaDaDaDnnnn=+L注意注意:nnnnaDaDaD+ 11 1L是是D的的多项多项式式可可进行相加和相乘进行相加和相乘的的运算运算例例2 解微分方程组解微分方程组 =+=+. 02222ydtdx dtydexdtdy dtxdt用用记号记号D表表示示dtd,则方程则方程组组可可记记作作解解类类似解似解代代数方程数方程组消去组消去一一个未知个未知数数,消去消去x=+=+0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D,3teyDx=():)3()2(D.)1(24tDeyDD=+()teyDD=+)1(24()即即非齐线性非齐线性方程方程其特征方
10、程为其特征方程为0124=+rr解得特征解得特征根根为为,215,251 4, 32, 1=+=irr易求一个特解易求一个特解,tey =于是通解为于是通解为.sincos4321tttetCtCeCeCy+=()将将()代入代入()得得.2sincos43 33 23 13tttetCtCeCeCx+=方程组通解为方程组通解为 +=+=ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos43214333 23 13注意：注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分一个未知函数的通解时，一般不再积分
