《材料力学第四章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学第四章（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章平面图形的几何性质平面图形的几何性质第四章平面图形的几何性质第四章平面图形的几何性质静矩和形心静矩和形心 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 惯性积惯性积 平行移轴公式平行移轴公式 转轴公式 主惯性轴转轴公式 主惯性轴静矩和形心静矩和形心静矩和形心静矩和形心yzOd Ad Szd Ay=定义定义 = =AdAySzzy = =AdAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩(y 轴轴)静矩和形心静矩和形心 = =AdAySz = =dAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩特性特性A(y 轴轴)平面图形的静矩是对平面图形的静矩是对某一坐标轴某一坐标轴而言的；而言的；静矩数值可能为静矩数值
2、可能为正正，可能为，可能为负负，也可为，也可为零零；静矩的量纲为：静矩的量纲为：长度长度静矩和形心静矩和形心形心形心 = =AdAySzyzOd Azy = =AdAzSy静力学静力学zyCAAyyA = =dAAzzA = =d ASz= =ASy= =yA = =zA = =静矩和形心静矩和形心讨论讨论zASy = =yASz = =0= =zS0= =y若若则则0= =yS0= =z若若则则结论结论1. 若图形对某一轴的静矩等于零，则该 轴必通过图形的形心；若图形对某一轴的静矩等于零，则该 轴必通过图形的形心； 2. 若某轴通过形心，则图形对该轴的静 矩等于零。若某轴通过形心，则图形对该
3、轴的静 矩等于零。静矩和形心静矩和形心组合图形 的静矩组合图形 的静矩yzO = =AdAySz+=+=21AAddAyAy1yC1C22y2211yAyA+ += =由由n个图形组合而成个图形组合而成 = = =niiizyAS 1 = = =niiiyzAS 1静矩和形心静矩和形心 = = =niiizyAS 1 = = =niiiyzAS 1组合图形 的形心组合图形 的形心= =niiniiiAyA y11 = =niiniiiAzA z11例题例题1静矩和形心静矩和形心yzO2010305105确定图形的 形心的位 置，并计算 阴影部分对 两坐标轴的 静矩。图示尺寸为确定图形的 形心的
4、位 置，并计算 阴影部分对 两坐标轴的 静矩。图示尺寸为 (mm)例题例题1静矩和形心静矩和形心yzO2010305105C1C2解：把图形看作由 和 两部分组成，在 图示坐标系下，解：把图形看作由 和 两部分组成，在 图示坐标系下，C1(10,25)C2(10,10)A1=2010 =200mm2 A2=1020 =200mm2例题例题1静矩和形心静矩和形心图形形心的坐标：图形形心的坐标：212211 AAyAyAy+ + += =mm102002001020010200= =+ + + + = =mm5 .172002001020025200= =+ + + + = =zC1(10,25)
5、C2(10,10)A1=200mm2A2=200mm2例题例题1静矩和形心静矩和形心把阴影部分看作由 和 两部分组成，在 图示坐标系下，把阴影部分看作由 和 两部分组成，在 图示坐标系下，C1(10,25)C2(10,17.5)A1=2010 =200mm2 A2=105 =50mm2yzO2010305105C1C2例题例题1静矩和形心静矩和形心C1(10,25)C2(10,17.5)A1=200mm2 A2=50mm2阴影部分对阴影部分对y 轴的静矩：轴的静矩： = = =niiiyzAS 1yzO2010305105C1C25 .175025200 + += 3mm5875= = 阴影部
6、分对阴影部分对z 轴的静矩：轴的静矩： = = =niiizyAS 13mm2500105010200 = = +=+=惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径yzOd A定义定义 = =A2dAyIzzy = =A2dAzIy图形对图形对z 轴的惯性矩轴的惯性矩(y 轴轴)量纲：量纲：长度长度4惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 = =A2dAyIz = =A2dAzIy2 zziAI=2 yyiAI= 定义定义AIiy y= =AIiz z= =(y 轴轴)图形对图形对z 轴的惯性半径轴的惯性半径量纲：量纲：长度长度惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径定义定义 = =A2
7、dAIP yzOd Azy图形对坐标原点图形对坐标原点O 的 极惯性矩的 极惯性矩量纲：量纲：长度长度4222yz +=zyPIII+ += =惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 = =A2dAzIy = =A2dAyIz = =A2dAIP 简单图形组合而成的组合图形简单图形组合而成的组合图形 = = =niyiyII 1 = = =nizizII 1例题例题2z确定矩形对其对称轴确定矩形对其对称轴 y 和和 z 的惯性矩。的惯性矩。yzbhC = =A2dAzIyd z解：先求对解：先求对y轴的惯性矩轴的惯性矩d A=b dz = =222dhhyzbzI123bhIy= =123hbIz=
8、 =例题例题3z确定圆形矩形对其形心轴确定圆形矩形对其形心轴 y 和和 z 的惯性矩。的惯性矩。d z解：先求对解：先求对y轴的惯性矩轴的惯性矩 =RRyzzRzAzId2d222A244RIy = =zDyCRzzRzyAd2d2d22=644D = =例题例题3静矩和形心静矩和形心y轴和轴和z轴同为直径轴轴同为直径轴zd zzDyCR644DIIzy =324DIIIzyP =+=+=例题例题3空心圆空心圆)1(3232324444=DdDIP)1(6464644444=DdDIIzyDd= = DdzyC惯性积惯性积惯性积惯性积 = =AdAyzIyz定义定义图形对图形对y z 轴的惯性
9、积轴的惯性积yzOd Azy数值可能为数值可能为正正， 可能为可能为负负， 也可为也可为零零；量纲：量纲：长度长度4惯性积惯性积条件条件0dA= AyzIyzd Ad AyzzyyOz坐标系的两个轴中 只要有坐标系的两个轴中 只要有一个一个为图形 的为图形 的对称轴对称轴，则图形 对这一坐标系的，则图形 对这一坐标系的惯 性积等于零惯 性积等于零。平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式平行移轴公式条件条件zyO两对坐标轴两对坐标轴相互平行相互平行；其中；其中 一对一对坐标轴是图形的坐标轴是图形的形心 轴形心 轴。d A CyCzCbycyazcz = =A2dAzIcyc = =A2dAyIcz
10、c = =AdAzyIcczyccyc轴，轴，zc轴轴平行移轴公式平行移轴公式 两对坐标轴两对坐标轴相互平行相互平行；其中；其中一 对一 对坐标轴是图形的坐标轴是图形的形心轴形心轴。条件条件y轴，轴，z轴轴zyOd ACyCzCbycyazcz = =A2dAzIy = =A2dAyIz = =AdAyzIyz平行移轴公式平行移轴公式 y=yc+b，z=zc+azyOd ACyCzCbycyazcz = =A2dAzIy = =AdAyzIyz +=+=A2d)(Aazc+=+=AAcAcAaAzaAzdd2d22+=+=AAcAczAbAybAyIdd2d22 +=+=A)d)(Aazbyc
11、c+AAcAcAccAabAzbAyaAzydddd = =平行移轴公式平行移轴公式+=+=AAcAcyAaAzaAzIdd2d22+=+=AAcAczAbAybAyIdd2d22+=+=AAcAcAccyzAabAzbAyaAzyIddddAaIIcyy2+=+=AbIIczz2+=+=abAIIcczyyz+ += =转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴两系坐标间 的关系两系坐标间 的关系zyOd Ay1z1yzy1z1y1= y cos z sin z1= z cos y sin 转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴 两系坐标轴的惯性矩和惯性积间的关系两系坐标轴的
12、惯性矩和惯性积间的关系 = =AyAzId2 = =AyAzId2 11 = =AzAyId2= AzAyId2 11 = =AzyAzyId1111 = =AyzAyzIdy1= y cos z sin z1= z cos y sin 转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴 两系坐标轴的惯性矩和惯性积间的关系两系坐标轴的惯性矩和惯性积间的关系2sin2cos221yzzyzy yIIIIII +=+=2sin2cos221yzzyzy zIIIIII+ + +=+=2cos2sin211yzzy zyIIII+ + = =转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴惯性矩的极值惯性矩的极值2sin2cos22
13、1yzzyzy yIIIIII +=+=)2cos2sin2(21 yzzyyIIIddI+ + = =0 = =01= = ddIy020190+=+=oy0轴，轴，z0轴轴zyyz III=22tan0 转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴惯性矩的极值惯性矩的极值0)2cos2sin2( 2001=+=+ = yzzyyIIIddIminmax,IIy0轴，轴，z0轴轴主惯性轴主惯性轴2cos2sin211yzzy zyIIII+ + = =000= =zyIy0轴，轴，z0轴轴为主惯性轴 （主轴）为主惯性轴 （主轴）转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴结论结论1. 如果图形对一对坐标轴的惯性积等
14、 于零，则这一对坐标轴称为主惯性 轴（主轴）。如果图形对一对坐标轴的惯性积等 于零，则这一对坐标轴称为主惯性 轴（主轴）。2. 通过图形形心的主惯性轴称为形心 主惯性轴 。通过图形形心的主惯性轴称为形心 主惯性轴 。3. 截面的对称轴就是形心主惯性轴。截面的对称轴就是形心主惯性轴。例题例题4静矩和形心静矩和形心b=180mm,h=120mm,确定形心主惯性轴的 位置，并计算形心主惯性矩。确定形心主惯性轴的 位置，并计算形心主惯性矩。bhCyzh/3b/3bhz EB)1(hybz=hAyyzyAyI022dd123bhIy= = =hzAyzyyzdzAyzI00d)(d2422hbIyz= =例题例题4静矩和形心静矩和形心解：根据平行移轴公式，可得解：根据平行移轴公式，可得bhCyzh/3b/3362)3(12323bhbhhbhIy=AaIIcyy2+=+=363hbIz= =abAIIcczyyz+ += =7222hbIyz= =例题例题4静矩和形心静矩和形心形心主惯性轴的位置形心主惯性轴的位置464646m1048. 6,m104 .19,m1064. 8=yzzyIIIoo9 .641 .250或=或= 20. 122tan0=zyyz III bhCyzh/3b/3z0y0例题例题4静矩和形心静矩和形心形心主惯性矩形心主惯性矩o
