导数应用中的两个重要结论

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1、WWw z h on g s h uc a 1 1 l C 0n l 中学 数学教学参考 贺 建勋 段雄 伟 ( 陕西 省榆 林市靖 边 中学 ) 自 2 0 0 4年高 中课 程 改 革 以来 ， 以导 数 为 工 具 讨 论 函数的单调性 、 求 函数的极值 和最值、 存在性 问题 的探究、 恒成立问题 的解决、 不等式 的证 明等成为高 考试 题 的 重 点 和 热 点 。这 类 题 目综 合 性 强 ， 难 度 很 大， 对数学思想方法 的要 求较高， 考查学生综合运用 数学 知识 分 析 问题 和解 决 问题 的 能 力 。解 决 这 类 问 题 经 常会 涉及 两个 结 论 ， 利

2、 用 这两 个 结论 可 以起 到化 繁为简的作用， 本文主要介绍这两个结论及其应用。 1 两个重要 结论 及其推论 结论 1 对于 任意 的 z R， e 3 2 - 4 - 1 。( 当且 仅 当 z 一0时等 号成 立 ) 证 明 ： 设 厂 ( z ) 一e 一-z 一1 ， 则 f ( ) 一e 一1 。 由 f ( z ) 一0得 z 一0 。 当 z E( 一。 。， 0 ) 时 ， f ( z ) 0 ， 厂 ( z ) 在( 0 ， +o o ) 上递 增 。 故 ， ( ) 一厂 ( 0 ) = = = 0 ， 所以对于任意的 XE R都有 厂( z ) 厂( ) 一 0

3、， 即 e z +1 。 其几 何意义如 图 1所示 ， 直 线 YX+ 1是 曲 线 y e 在 点 ( 0 ， 1 ) 处 的切 线 ， 函数 y= = ： e 的 图 像 位 于其 点 ( 0 ， 1 ) 处 切 线 y 一-z + 1的上 方 。 推论 1 对 于 任 意 的 z E R， e +口 甘 口 1 。 ( 证 明略) y y e + 1 o 图 1 推论 2 对 于任 意 的 z 0 ， e +1 甘口 1 。 证 明 ： 设 厂 ( ) 一e 一口 z一1 ， 则 f ( z ) 一e -a ， 对于任意的 z 0 ， e n +1 -厂 ( ) 7o 。 ( 1 )

4、当 n 1 时 ， f ( z ) O ， -厂 ( ) 在 0 ， +。 。 ) 上 递 增 ， _厂 ( z) 一 f( 0 ) 一 0 ， 所 以对 于 任 意 的 z 0 ， 厂( z ) -厂 ( z ) 一。成 立 。 ( 2 ) 当 a l时 ， 由 f ( ) 一0得 I n口 ， 当 E ( 0 ， l n口 ) 时 ， 厂 ( z ) 0 ， i n z z一1 。( 当且 仅 当 -z 一1时等号成立) ( 证明略) 其几何 意 义 如 图 2所示 ， 直线 z一1 是 曲线 y i n Lz 在点 ( 1 ， 0 ) 处 的切 线 ， 函 数 y i n z的图像位于其

5、点 ( 1 ， 0 ) 处 切 线 z 一1的下 方 。 y - 1 0 i 推论 1 对 于任 意 的 z 图 2 0， I n zz+a 口 一1 。( 证 明略 ) 推论 2对 于任意 的 O ， I n 口 一1 口 1 。 ( 证 明略 ) 推论 3对 于 任 意 的 1 ， I n X 口 ( z一 1 ) 甘 a 1 。 证 明 ： 对于 任意 的 z 1 ， I n z n ( z一1 ) l n z n zn 0 ( z 1 ) 。 设 -厂 ( z ) 一I n x -a x J i- a ， 则 f ( z ) 一一 1一口 。 ( 1 ) 当 a 1时 ， 对 于 任

6、意 的 z 1 ， f ( z ) 0 ， 厂 ( z ) 在 1 ， +。 。 ) 上递减 ， 所 以 -厂 ( z ) - 厂 ( 1 ) 一0 ， 即 I n z-a X + 0 ( z 1 ) 成 立 。 ( 2 ) 当 o 厂 ( 1 ) 一 0 ， 中 学 数学 教 学 参 考 ， W W zt ongs ht i cal ， I n 2 01 5 年 第 4期(I- - 旬) 即 I n a ( 1 ) ， 不 满足题 意 。 ( 3 ) 当 0时 ， f ( z ) O ， -厂 ( ) 在 1 ， +。 。 ) 上递 增 ， 所 以 厂( z ) -厂 ( 1 ) 一0 ，

7、不满 足题意 。 综 上所 述 ， 对 于任 意 的 z 1 ， i n a ( 一 1 ) 甘 n 1 。 2 两个 结论及其推论的应用 例 1 ( 2 0 1 3年 高考数 学陕 西卷 文科 第 2 1题 ) 已 知 函数 _厂 ( z ) 一e ， R。 ( I) 略 。 ( 1I ) 证明： 曲线y 一厂 ( ) 与曲线 Y 一寺z + +1 有 唯一 公共 点 。 ( II ) 设。 n， 所 以 z 0 。 设 h ( ) 一2 x e 一e 十 1 ， 则 h ( z ) 一 一 2 e ( e 一 z 一1 ) 。由结论 1及 x 0可得 e 一 1 - 0 ， 又 一2 e

8、dO ， 则 h ( z) o ， 所 以 ( ) 一 时， 由 e -， +1 可得 一z e l 。 所 以 f ( z) =e 一1 2 a x e 一1 + 2 a( e 一 1 ) 一 e 一 ( e 一 1 )( e 一 2 a)。 故 当 z ( 0 ， I n 2 a ) 时 ， 厂 ( ) 去时 ， 2 a 1 ， 由结论 1的几何意义 知 ， 直 线 一2 n z +1与 曲线 e 相交 ， 一交 点为 ( 0 ， 1 ) ， 设 另 一 交 点 为 P， 其 横 坐 标 为 3 2 。 。如 图 3所 示 ， 当 z( 0 ， 。) 时 ， e 0且 1 时 ， -厂 (

9、 ) + ， 求 k的取值 范 围 。 解 ： ( I) a 一1 ， 6 1 。解 略 。 ( ) 对于 任 意 的 x0 ， 且 l ， 厂( z ) + -厂 z 一 ( + ) o 0 ， z( 1一 z。 ) 由此可以看出， 当 k 1时 ， 若 ( 1 ， +c x 3 ) ， 则 二 二 0 ， 且 z 1 ， g ( ) g ( 1 ) =o ， o ； 当 ( 1 ， + ) 时 ， g( z ) o 。所 以 当 z 0 ， 且 x Y ： l时 ， ， ( z ) 一 ( + ) 0 ， 即， ( z ) + 。 2 01 5 年 第 4 期( 上 旬 ) ( i i )

10、 当 O ( 1 -k ) z 一1 ， 则 g ( ) 0 ， g( z ) 在( 1 ， 。 ) 上 递增 ， 所 以 当 ( 1 ， 。 )时 ， g( 1z) g ( 1 ) 一。 ， 目 口 ： 至 童 一 一 兰 里 l ， l l v - +B 2 一 。 所 以 ， 点 P 到直 线 z的距离 i v- Si c o s l 一 。 说明： 文献 3 通过构造直角三角形 ， 利用直角三 角形的面积求得点 到直线 的距离 ， 能简化一点运算 ， 但思维起点太高， 运算量也大 。文献 3 也 提到求 出 ，转化为二 次函数 的最值 求解， 但其运 算量仍特别 大。运用投 影这个知识

11、 点 ， 思维量和运 算量都 相对 少 了 。 2 9 两 条 平 行 直 线 的 距 离 公 式 的 推 导 ( 教 材 第 9 2 页 ) 一般地 ， 已知两 条平 行直 线 z ： Az +By 十C 一0 ， Z ： A x+B +C 一0 ( A。 +B 0 ， C 1 C ) ， 则 z 1 与 z 2 的距离为 一 I C - C I。 证 明： 仿点到直线的距离公式证明即可 ， 过程略。 通过以上几个 内容的介绍 ， 我们很容易看到从广 口 j 量的角度研究直线与方程 ， 比构造的方法借助平面几 何知识研究直线与方程更易于想到 ， 更易于理解和接 受 。 当然 ， 这 主要 是

12、 因 为 向量 本 身 是 数 与 形 的结 合 ， 是数与有向线段( 直线) 的有机结合 ， 对直线有关 的内 容 的研 究必 然 利 于 上 手 和理 解 。 向量 与 直 线 的 结 合 是 完美 的 ， 向量是 研究 直线 方程 的有 力武 器 。 一 参 考 文献 ： 1 丁菁 例谈对 教材的解 读与 重构一课 的教 材解读 J 中 学数学教学参考 ： 上旬 ， 2 0 1 4 ( 9 ) ： 5 - 8 2 石志群 试论 数学 教师 的数 学知 识口 数学 通讯 ， 2 0 1 4 ( 2)： 卜3 E 3 单蹲 普 通 高 中课 程标 准 实 验教 科 书 ： 数 学 2 ( 必 修 ) M 南京 ： 江苏教育 出版 社 ， 2 0 1 3 4 单撙 普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书 ： 数 学 4 ( 必 修 ) M 南京 ： 江苏教育 出版社 ， 2 0 1 3