直升机旋翼颤振的一种有限元分析_符长青

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1、直升机旋翼颇振的一种有限元分析符长青料摘要本文用基于最小位能原理的有限元方法研完了直 升机 悬停 时旋髯装”一 卜挥舞一摆振揭合颤振。利用准定常二维片条理论求出气动载荷。由非线性运动方程求出定常状 态桨叶变形,假定桨叶 绕定常状 态解运动为小扰动,确定颤振边界。最后,给出了无铰旋翼桨叶 的一个数 字例子。引言直升机发展中面临的气动弹性力学问题特 别突出l。颤振 属于气动弹性问题中的稳定性问题,是一种破坏性很 强的自激振 功。直 升机旋翼颤 振是气动弹性力学领域中最复杂的 问题之一。近年来 的研究表 明,非线性乃 是直 升机旋翼气动弹性问题的 固有特性2 1 ,当旋翼桨叶的数学模 型考虑了基于小

2、应变和有限斜率假设的中等变形 时,非 线性项就会出现在桨叶的结构算子,惯性算子和空气动 力算子中,最后得出的桨叶运动方程 是非线性、非自伴 和非保守的。直 升机旋翼弹性桨叶基本的藕合运动方程已由Houbo lt和Br。ks“l推导出来了,以后又 由Hodges和Dowell汇41,Ros e n和Friedman nl“1加以推广,使能 包括 结构非线性。直升机旋翼 桨叶颤振计算,过去大多采 用 整体模 态法(如伽 辽金法),利用旋转桨叶藕合 或不祸合自由振型 的线性迭 加来 表示 桨叶的 位移矢量,假定平 衡变形挠度大,颤振运动绕平衡解为小扰 动l 7 。整体模 态方法的缺点是很难适用于非均

3、匀特性桨叶,代数运算工作量过于庞大复杂,以致 使得人 们无法利用 它来处理真实旋翼桨叶的现实问题。用有限元方 法分析桨叶 颤振,能起到 直接离散桨叶非线性方程的作用,可以大大减少求解过程中的代数运算工作量,计算要比整体模态 法简单得多.有限元方法可以准确地反映桨叶的外形、质量 和刚度分布,还可以很方便地考虑各种参数对桨叶颤振边界的影响.有限元方法的适 应性广,灵活性大,使用方便,可以很 容易 地用来处理各种旋翼桨叶形式。在本文中,利用 基于变分原理 的有限 元公 式,研究了直升机悬停时旋翼桨叶的挥舞一振颤振问题。桨叶被划分为若干简单的梁元素,每个元素有两个节点,每个节点有4个自由度,元素矩阵是

4、应 用最小位能原理得到 的。借助于节点自由度,集合所有元素矩阵,可得到桨叶的运动方程。将运动方程绕静平衡位置线化,获得桨叶线化颤振方程,再利用 正交振 型法减少方程 的数目,最后 根据所求出的特征位,确定桨叶的颤振 边界。本文于1984年9月收到。.作者为本院直升机专业的博士研究生。南京航空学院学报本文采用准定常片条理论来获得气动载荷,但忽略了视在质量项 的影响。还假定轴向惯性力和哥氏力可以忽略,从而可使扭转中心的轴向位移这个未知量从位能表达式中消去。本文 的公式既适用子无铰桨件犷也适用 于铰接式桨叶,给出的数字结果是一个具有均匀特性的无铰桨叶的 简单例子。值得说明的是,本文 采取挥舞一摆振藕

5、合 运动方 程,主 要是作为一个例子,来说明基 于最小位 能原理 的有限元方法在旋翼颤振 计算中的应 用,因此 没有考虑扭转自由度的影响。桨叶总位能直升机旋翼桨叶可以看作是 一根弹性梁,它的内侧 一端安装在桨毅上,而它的外侧一端是自由的。选 取直角坐标系x,z固定在桨毅上,以角速度Q随桨毅一起转动,如图1所示。桨叶剖面上取 局部坐标刀,雪,原点位于弹性轴上,刁轴 沿剖面主中性轴,如 图2所示.图1桨叶坐标系剖面位移通过弹性轴沿x,梦,z方向上的位移u ,数。图2剖面坐标系。,二分 量来确定,u,。,叨均是:的函由图3可知,桨叶变形前剖面上一点坐标x,部坐标冲,g的关系:,=叮C oss 一二s

6、inoz=冲5ino+互eossz与局(1)其中O为沿桨叶展向变化的剖面桨距角。桨叶变形后 该点的 坐标x 1,功,z ;为:图3任意点f的位移x,=x+。一v(叮c os口一互sins)一、(l lsino+亡e oso)夕:=”+。cQs口一雪sino(2)之l一脚+叮5in口 +亡eoso忽略桨叶线应 变表达 式中的三次及更高次小量,有。一(。刁一。) (。 “coso +二“Sino)+亡(。,sin。一。, Coso)。一冬(。,2+、“)(3)乙直升机旋翼颤振的一种有限元分析飞1其中e一1月。“。“/“; A为承受轴向力的剖面 面积。1.应变能 桨叶应变能包 括刊始正应力Q。引起的

7、位能和振动弓!起的应 变能,两部分相加得到应变能的线 密度为:Ul一,。一d。“+1 !,喜E。呈d:心石一喜T(。犯十w,2)乙+喜百,:(。, ,c 。50+山, ,51no)乙2+澳百了,(。 “51no一切尸,eoso)“(4)其中犷一、 。台 轴。力,丁一!:。之川“一为单位一:度一: 的质量,“为桨叶半径。几负一1,;2。J:;Bl一!1。(。2+;2)J。、;J J,一“2“叮“,。2+“2“2.离心 力位 能单位 长度上桨叶具有的 离心力位能为UZ-一城恤“。l ( r一。d )。、:一喜。2,、乙,J厂乙l“2+“2(K “Zc o “2“ +K 盖,51n 20+2*。(K

8、 盖:一K 孟,)5inoeoso+田2(K 2 5nZ“+K I cosZ“,(5)其中尸为剖面质量 分布面积,p。为质量密度,r,r 1分别 表示 微元面 积在桨叶变形前后至旋转轴 的垂直 距离。爪一;。, 。、:;K 2一j;。,。2“。“、/阴K ;1一!;。八2“:“/川3.惬性位 能由方程(2)式,求出桨叶上任一 点的相对加速度,然后 可得 到桨叶单位 长度 上惯性载荷沿,z轴方向的分量凡,尸:,以及惯性力矩伪,q:为:尸,一!:。,:断1“。“一石尸2一l;、芝1“。“一肠(6)、一1;、荃1dod;一(、;25nZ“+K 1一“);,十。(贾点:一尤 盖,)5in口coso莎、

9、:一【_。:l、。、;一。(贾:2一、;,)51。eo 、o汤,J户一。(贾器Z e os 20+K 柔,ssn28)莎12其中南京航空学院学报一!;。”了,“d/” 贾晨:K 点:一。“、,产饭,产了QU了.、Z、惯性位能的线密度为:U3二 一(尸:。一q,叨r+尸,。+q:v)根据方 程(4),(5 ),(7)式,可得桨叶总位能表达 式:n一!:0(“!+UZ+U3,d+J班尸d工其中R。为桨很音j面 的x坐标,研尸为外载荷的位 能,将方 程(s )中右边第一项记为U。运动方程桨叶的运动方 程可以用最小位能原理得到。由于假没在对位移取变分 时各个力保持为常数,载荷所作的功班的变分与该载荷的

10、 位能的变分有以下关系:占不- 一J附。(8)最小位能原理 是:dll= dU一j沙二0(1 0)其中d砰的表 达式是“研一!:。L“+Ld?,“ (11)其中L。 ,L山分别为单位长度气动载荷在摆振 和挥舞方向上的分量。将d U,d班的表达式除以。QZR3就可以使运动方程无 量纲化,其中。是参照质量,一般取12 /展长处(o.SR)的。值。根据 无 量纲位移。/R,山/R的阶次为。,忽略所有高阶小量,最后可得到无量纲化的运动方程。气动载荷采 用二维翼 型准定 常理 论,忽略视 在质量项的影响,可求出沿桨叶展长分布的气动载荷.准定常升力取Theodo rse n升力环量滞后函数。(K)一 1,

11、有“一“pU刁b“仁V刁。+(普一牙刁)b“(12)M。二“p厂,(6) R2乙仁厂难十左十。户厂月(bR)“(1一 又刁)bR。(牙刁一喜)石其中L,M。分别为单位 长度的升力和力矩,a为二维 升力线斜率,户空气密度,弦长,a迎角,人翼 型沉浮速度,xA剖面气动中心 到弹性轴距离牙月一x Ab /R。(13)b无量纲半元二一Up二 一山一g R 之厂月一UT二公+ Qx(14)。二0其中U尸,U,分别为相对气流 速度垂直 于和 平行于桨 毅平面 的分量,之来流比.直升机旋翼颤振的一种有限元分析由此得到_,n;:,:。;:、.,3二;r乙。- 一尸uo八飞U尸气L JrU一L JP少卞L一污一

12、潇刀_曰 乙尸bR。+半;,n。;:。;:.,3一、,nn,乙切二“P L J丁Ol tL曰TU一U尸十七布一x月少U仄各 口 石U芬(15)(16)M。二a户U了 (bR)ZE牙、,(U了O一U*)+(1一 牙:) (灭r; 一0.5)b Rg夕(17)用。9“R“除以L。 ,L。,用。Q“R3除以M。得到 无量纲 化方 程代入方程(11 )式中。用下面公式计算来流比,它等效于取桨叶3/4展长处的诱 导速度来代表整个桨盘上的诱 导速度。aaI一 乙二一I了LVI+2480 一一工6C了 Un二月一Jj 几 aa(18)(19)其中O。是3/4展长处的桨距角,C:为拉力系数,a是实度。有限 元

13、离散桨叶被划分为若干梁元素,每个元素由两个节点组成,每个节点有4个自由度,。,。,叨,训,对于每个元素最小位能原理 写为:6U一6牙,二0(20) 全(。g,一。附)一 。(2 1)二1其中n表示 元素数目,表 示第i个元素.每个元素上 的。,。表达式为、,廿、矛沙、夕产, 山,Jd,习口白乙今了、了气了、挤一万3“其中N 为形状函数,王时是节点自由度矢量.。N一!NINZN3N400000000N2NZNsNg=v,v,选取Herm i te多项式作为元素形状函数:口 2口2wz田1切2叨2,TNr=1 一3 一二万一g一十“2a考NZ二N3=2。.1互一万丁一互十二万自“ 遥“f3。 ,2

14、。 , 可弓“一可白(25)1。.1 zv=一百白“十可自”其中a为梁元素长度,舀为元素的局部坐标。1 4类似地,有南京航空学院学含乙卜仁 万 。“(2 6)将方程(22),(2 6)代入方程(20 )式,可得 到元索 的)一义 质量 矩阵,J、义 阻尼矩阵,广义刚度矩阵和广 义载荷矢量。然后将元素矩阵组合得到整体矩阵。由方 程(2 1)式可写出桨叶运动方程:M (g)口十C(叮)空+仁K(口)3叮一Q (27)运动方程 是非线性的。求解消去方程(2 7)中所有与时间有关的项,得到定 常状 态方程:K。(g。)q。二Q。(25)采用New ton迭代法求解方 程(28),其线性解作为初始位。在

15、得出静平衡位置笼qo后,假定颤振运动绕平衡位 置有一个很小的扰 动升:笼叮=笼g。+夕(29)由此 可得到颤振方程:厉(g。)夕+仁口(叮。)夕+雳(口。) 空二魂。(3 0)把方程(30 )式中所有气动载荷项和阻尼矩阵去掉,可得到桨叶藕合的旋转自然振型方程:。,二r艺,:。二,二、八、(3 1)M,夕+K;夕一0、J占,由方程(3 1)式可求出频率(实特 征值)和前N个特 征值矢量矩阵【小,再由下式 把颤振方程(30)转换到模态空间。咬空=中尹(32)其中p是模态空间中N个广 义 坐标矢量,根据振型 的正交特性,方程(30 )变为M 夕+C户+K 夕二0(3 3)方程(33)作为一个代数特征 遭问题求解,得到复特征值。由于运动方程 的推导基于能量原理,因而力的边界条件包含在公 式中了,不必再单独考虑。根部位移边界条件是 由旋翼形式 决定 的。无铰 桨叶v。二二二沙=0;铰接式桨叶。二田= O。当桨叶存在着结 构预扭角和桨距角时,桨r十挥舞运动和摆振运 功之间就有弹性藕合。挥舞一摆振弹性祸合项不仅取决于桨叶的变距角和弯曲刚度分布,而且主要取 决于桨叶变距轴承内侧和外侧部分 的相对刚度。这是 因为当桨叶变距 时,变 距轴承内侧部分不动,而外侧部分转动了0角。弹性藕合项对旋翼桨叶的稳定性有很大 的影响,但是 要想精确地