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1、*第四节 平面场的复势一、用复变函数表示平面向量场二、平面流速场的复势三、静电场的复势四、小结与思考1一、用复变函数表示平面向量场平面定常向量场:向量场中的向量都平 行于某一个平面S, 而且在 垂直于S 的任何一条直线 上的所有点处的向量都是 相等的; 场中的向量也都与 时间无关.显然, 向量场在所有平行于S 的平面内的分布情况 是完全相同的, 可以用So 平面内的场表示. 23例如, 一个平面定常流速场(如河水的表面)平面电场强度向量为4二、平面流速场的复势1. 流函数:如果它在单连域 B 内是无源场(即管量场),5流线62. 势函数:等势线(或等位线)7平面流速场的复 势函数(复势)柯西
2、黎曼 方程3. 平面流速场的复势函数:在单连域内可以作一个解析函数8给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数它的复势与之对 应; 反之, 如果在某一区域(不管是否单连)内给 定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速 场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数, 得 到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图 形, 即得描绘该场的流动图象.9例1解10例2解由对称性,11因为流体不可压缩,12流过圆周的流量为13蓝色为等势线, 红色为流线.(流动图象如下)14解例3与例2类似,沿圆周的环流量为1516对比例1和例2的结果, 因此,只须将例2图中流线与等势线位置互换, 即可得
3、涡点所形成的场的流动图象.蓝色为流线, 红色为等势线.17三、静电场的复势当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋.18与讨论流速场一样, 就是说, 等值线就是向量线, 即场中电力线.1920静电场的复势 (复电位)在B内可决定一个解析函数利用静电场的复势, 可以研究场的等势线 和电力线的分布情况, 描绘出场的图象.21例4解因为导线为无限长, 因此垂直于 xoy 平面的任 何直线上各点处的电场强度是相等的.22又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段 所产生的电场强度的垂直分量相互抵消, 只剩下 与 xoy 平面平行的分量.故所产生的静电场为平面场.由库仑定律,232425四、小结与思考了解复变函数可表示平面向量场, 对于某单连通域内给定的平面无源无旋场, 可以作出一解析函数(称为该场的复势), 统一研究该场的分布和变化情况. 放映结束，按Esc退出.26
