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1、第四章第四章 大数定律大数定律 与中心极限定理与中心极限定理 要求：要求： 1.1.理解理解切比雪夫定律切比雪夫定律和和伯努利定律伯努利定律, , 掌握掌握切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）不等式）不等式。 2.2.理解林德伯格理解林德伯格- -列维定理（列维定理（独立同分布的独立同分布的 中心极限定理中心极限定理）和）和棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理 （二项分布以正态分布为极限）。（二项分布以正态分布为极限）。 大数定律大数定律 中心极限定理中心极限定理 引理（引理（ChebyshevsChebyshevs 不等式）：不等式）：若若r v .X具有期望具有期望
2、EX ，方差方差DX 2，则对于任意的，则对于任意的 0有有 P X 22（4 4- -1 1） 或或 P X 122（4 4- -2 2） 证明证明：( (只证连续型）设只证连续型）设X的概率密度为的概率密度为f x( )，则，则 xdxxfXP)(dxxfxx)()( 22 4.14.1 大数定律大数定律 Law of large numbersLaw of large numbers 引引入：入：第一章中，有第一章中，有()()n nfAP A ？ xdxxfXP)(dxxfxx)()( 22 22 2 2)()(1 dxxfx（1 1）上式说明随机变量上式说明随机变量X取值于开区间取值
3、于开区间)( ，的概的概率不小于率不小于221/， 显然方差显然方差2越小则越小则22 1越大，越大， 从而随从而随机变量机变量X取值于开区间取值于开区间)( ，的概率也越大。的概率也越大。即即X 的取值越集中在均值的取值越集中在均值的附近，的附近， 利用逆事件的概率公式知：利用逆事件的概率公式知：P X 122（4 4- -2 2） 这说明这说明方差方差是刻画随机变量的概率分布对均值的集中是刻画随机变量的概率分布对均值的集中程度。程度。 （2 2）设设X的分布未知，的分布未知， 记记EX ，DX 2，取，取 3，则，则 P X. 31911 90888922若取若取4，则，则 P X. 41
4、1611 160935722这就是说无论这就是说无论X服从什么分布，它落在服从什么分布，它落在4x 内的概率不小于内的概率不小于 0.930.93，这种估计在实际应用中形，这种估计在实际应用中形 成了所谓成了所谓原则。原则。 （3 3）此不等式是证明其他定理的一把此不等式是证明其他定理的一把钥匙钥匙。 马尔可夫（马尔可夫（Markov）不等式）不等式 （Markov 不等式）：不等式）：对随机变量对随机变量X和任意的和任意的 0 有有 01,XEXP取取2并用并用EXX 代替代替X，则有，则有 02,DXEXXP切比雪夫不等式切比雪夫不等式 1 1 设设随机变量随机变量X的数学期望的数学期望)
5、(XE，方差，方差2)(XD，则由切比雪夫不等式，则由切比雪夫不等式 (| 3 )P X。 2 2 设随机变量设随机变量X的方差为的方差为2, ,则由切比雪夫则由切比雪夫 不等式不等式 (|()| 2)PXE X。 1912课课 堂堂 练练 习习 3 3 设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望分别为的数学期望分别为2 和和2, ,方差分别为方差分别为1和和4, ,而相关系数为而相关系数为0.5, , 则根椐切比雪夫不等式则根椐切比雪夫不等式 6P XY。 112课课 堂堂 练练 习习 4 4 设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望分别为的数学期望分别为2 和和2, ,方差分别为方差分别为1和和
6、4, ,而相关系数为而相关系数为0.5, , 则根椐切比雪夫不等式则根椐切比雪夫不等式 6P XY。 736（5 5）设）设X为为r v，DX 0的充分必要条件是的充分必要条件是 P XC 1，CEX为常数。为常数。 证明：证明：由性质（由性质（1 1），若），若P XC 1，则，则 DX 0。 对于每一个对于每一个, 3 , 2 , 1n根据切比雪夫不等式，令根据切比雪夫不等式，令EXC ，有，有 012DXnnCXP 而事件而事件110nXCXCXCn 所以所以 110nP XCP XCn1101CXPCXPCXP 故结论得证。故结论得证。 即即 0P XC 例例 4 4- -1 1 依长
7、期积累的经验依长期积累的经验, ,正常男性成人每一毫升正常男性成人每一毫升 血液中的白细胞平均是血液中的白细胞平均是 73007300, ,均方差是均方差是 700700, ,问问 89%89%以以 上的正常男性成人的白细胞在什么范围内。上的正常男性成人的白细胞在什么范围内。 解：解：设设X代表正常男性成人每一毫升血液中的白代表正常男性成人每一毫升血液中的白 细胞数，细胞数， 则则7300EX，700DX，所以由（所以由（4 4- -2 2） 式式 89. 091170037300XP故故5200940089%PX，即即 89%89%以上的正常以上的正常 男性成人的白细胞数在男性成人的白细胞数
8、在 52005200 与与 94009400 之间之间。 8889. 0911 91322 XP例例 4 4- -2 2 设在开关电路的试验中，每次试验开或设在开关电路的试验中，每次试验开或 关的概率为关的概率为 1/21/2，欲使开的频率，欲使开的频率fAn Ann( )( ) /与与 概率概率 1/21/2 的差的绝对值小于的差的绝对值小于 0.010.01 有有 9 95 5% %的可靠性，的可靠性， 试问试验次数试问试验次数n应取多少？应取多少？ 分析：分析： 依题意， 问题化为依题意， 问题化为n取多少才能使下式成立。取多少才能使下式成立。 ()10.010.952n APn解：由切
9、比雪夫不等式知解：由切比雪夫不等式知 Pn A npDn A n( )( ) 12而而 Dn A nD n A nnpp npp n()( ()()()2211取取0011 2.，p代入上式，得代入上式，得 )(pnAnP01. 021)(nAnPn410411欲使上式左边大于欲使上式左边大于 0.90.95 5, ,只须使只须使4110.954 10n。 从而解得从而解得 50000n 所以至少要做所以至少要做 5000050000 次试验才能满足要求。次试验才能满足要求。 定理定理 4 4- -1 1（ChebyshevsChebyshevs 大数定律）大数定律）: :设相互独立的设相互独
10、立的随机变量随机变量，nXXX,21分别具有均值分别具有均值21,EXEX, ,方差方差21,DXDX，若存在常数，若存在常数 C，使，使), 2 , 1()(kCXDk则对于任意的则对于任意的0有有 111lim 11 nkknkknEXnXnP 证明：证明：由于由于(1,2,)kXk 相互独立，故有相互独立，故有 nkknkkEXnXnE 111)1( nkknkkDXnXnD 1211)1(对于任意的对于任意的0, ,考虑考虑), 2 , 1()(kCXDk, , 由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有 2111)1( 111 nkknkknkkXnD EXnXnP22211nC nn
11、C当当n时，右端的极限为时，右端的极限为 1 1，而左端由概率定而左端由概率定义知不超过义知不超过 1 1， 所以有所以有 111lim 11 nkknkknEXnXnP推论推论 设设vr，nXXX21相互独立， 且具有相同相互独立， 且具有相同 的期望和方差，即的期望和方差，即，kEX2kDX ), 2 , 1(k，作前，作前 n个随机变量的算术平均值个随机变量的算术平均值 nkknXnY 11，则对于任，则对于任意的意的 0，有，有 11lim lim 1nnknnkP YPXn 证明：证明：由于由于(1,2,)kXk 相互独立，故有相互独立，故有 nnEXnXnEnkknkk11)1(
12、11 又又2kDX), 2 , 1(k有界，所以由定理有界，所以由定理 4 4- -1 1 知知 lim nnP Y lim nk kn PnX 11 1 定义定义 4 4- -1 1: :设设Y YYn12,为为r v .序列，序列，a为常数为常数, ,若若 对对 0，有，有lim nnP Ya 1 1，则称随机序列，则称随机序列Y YYn12,依概率收敛于依概率收敛于 a，记为，记为YanP 。 依概率收敛依概率收敛 ( (1 1) )应该指出的是应该指出的是: :aYP n与高等数学中序与高等数学中序 列极限列极限n naa 是有区别的。是有区别的。0， 这里并非， 这里并非 指存在正整
13、数指存在正整数N，当，当Nn 时有时有aYn恒成立。恒成立。 而是指上述不等式成立的概率为而是指上述不等式成立的概率为 1 1，即以很大的，即以很大的 概率保证不等式概率保证不等式aYn成立。成立。 Convergent in probability 注：注： P nYa 例如例如: : 意思是意思是: :当当 a anYn时时 ),(aa内的概率为内的概率为1.1. nY落在落在 即以很大的概率保证不等式成立。即以很大的概率保证不等式成立。 YanaYa( (2 2) )具有和普通极限相似的性质具有和普通极限相似的性质 定理定理 4 4- -2 2 （BernoulliBernoulli 大
14、数定律）大数定律） : : 设设)(An为为n重重 贝努利试验中事件贝努利试验中事件A发生的次数，发生的次数，p是事件是事件A在每在每 次试验中发生的概率， 记次试验中发生的概率， 记nAnAfn)()(为事件为事件A发发 生的频率。则生的频率。则0，有，有 pAfP n)( （1)(lim pAfPnn） 证明：证明：引入随机变量引入随机变量 不发生次试验事件，第发生次试验事件，第AiAiXi01），（ni,21 则则 ）（1 , 01kqpkXPkk i， 即， 即iX服从 （服从 （0 0 1 1）分布，）分布， 且且pEXi，)1 (ppDXi。 显然显然nXXX,21，相互独立，且相
