《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第49讲圆锥曲线的综合问题优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第49讲圆锥曲线的综合问题优选学案（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4949 讲讲 圆锥曲线的综合圆锥曲线的综合问题问题考纲要求考情分析命题趋势2017北京卷，192016全国卷，202016全国卷，212016全国卷，201.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法2理解数形结合的思想3了解圆锥曲线的简单应用 分值：1214 分1.求直线或曲线所过的定点2求与圆锥曲线有关的定值问题3求与圆锥曲线相关的面积、距离等的最值4探求与圆锥曲线有关的存在性问题1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：_无公共点_、_仅有一个公共点_及有两个_相异的公共点_.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次
2、方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0.由Error!消元(如消去y)，得ax2bxc0.若_a0_，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)2若a0，设b24ac.当_0_时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；当_0_时，直线和圆锥曲线相切于一点；当_0_时，直线和圆锥曲线没有公共点2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2(11 k2)y1y224y1y
3、2_ _.11 k2|y1y2|(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)3圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在椭圆1 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k_ _；x2 a2y2 b2b2x0 a2y0在双曲线1 中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k_ _；在抛x2 a2y2 b2b2x0 a2y0物线y22px(p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率_ k _.在使用根与p y0系数的关系时，要注意使用条件是0.4(1)直线ykxm表示过点(0，m)且不包括垂直于x轴的直线，故设直线y
4、kxm时，必须先讨论过点(0，m)且垂直于x轴的直线是否符合题设要求(2)直线xmyn表示过点(n,0)且不包括垂直于y轴的直线，故设直线xmyn时，必须先讨论过点(n,0)且垂直于y轴的直线是否符合题设要求注：过y轴上一点(0，m)的直线通常设为ykxm；过x轴上一点(n,0)的直线通常设为xmyn.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点( )(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点( )(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是直线l与抛物线C只有一个公共点( )(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x
5、1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|.( )1t2|y1y2|(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立3消元后得到的一元二次方程的判别式0.( )解析 (1)正确直线l与椭圆C只有一个公共点，则直线l与椭圆C相切，反之亦成立(2)错误因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切(3)错误因为直线l与抛物线C的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切(4)正确.，又x1ty1a，x2ty2a，所以|AB|x1x22y1y22|AB|.ty1aty2a2y1y22t2y1y22y1y221t2|y1y2|(5)错
6、误应是以l为垂直平分线的段线AB所在的直线l与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式0.2过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于 2，则这样的直线( B B )A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析 设该抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA xB|AB|AF|FB|p 2xAxB12132p2.所以符合条件的直线有且只有两条故选 B.p 23直线l：yx3 与曲线1 交点的个数为( D D )y2 9x|x| 4A0 B1 C2 D3解析 当x0 时，曲线为1；当x0 时，曲线为1，如图所示y2 9
7、x2 4y2 9x2 4直线l：yx3 过(0,3)，又由于双曲线1 的渐近线yx的斜率 1，故y2 9x2 43 23 2直线l与曲线1(x0)有两个交点，显然l与椭圆1(x0)有两个交点，y2 9x2 4y2 9x2 4又(0,3)是椭圆与双曲线的公共点，所以共 3 个交点4已知双曲线x21 的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，y2 34的最小值为( A A )PA1PF2A2 B81 16C1 D0解析 设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y23(x21)(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)PA1PF2y2x2y2x2x2
8、3(x21)x24x2x542，其中x1.因此，(x1 8)81 16当x1 时，取得最小值2.PA1PF25已知F1，F2是椭圆 16x225y2 1 600 的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1PF2，则F1PF2的面积为_64_.解析 由题意可得2a20，2224c2144(|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|PF1|)222022，解得128，|PF2|PF1|PF2|PF1|PF2|PF1|PF2|所以F1PF2的面积为 12864.1 2|PF1|PF2|1 2一 直线与圆锥曲线的位置关系解直线与圆锥曲线相交问题的方法(1)直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题，解题时
9、注意应用韦达定理及“设而不求”的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题(2)运用“点差法”解决弦的中点问题，主要是求出过中点弦的直线的斜率，用“点差法”的计算量较少，但是此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式加以检验【例 1】 已知P(1,1)为椭圆1 内一定点，经过P引一条弦，使此弦被点P平x2 4y2 2分，则此弦所在的直线方程为_x2y30_.解析 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 1，x2 1 4y2 1 21，x2 2 4y2 2 25得0.x1x2x1x24y1y2y1y22x1x22，y1y22，y1y20.x1x
10、2 2k .y1y2 x1x21 2此弦所在的直线方程为y1 (x1)，经检验知此直线与椭圆相交，即所求为1 2x2y30.【例 2】 已知椭圆1(ab0)的离心率为，右焦点到直线xy0 的x2 a2y2 b2326距离为 2.3(1)求椭圆的方程；(2)过点M(0，1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于点N，且满足，NA7 5NB求直线l的方程解析 (1)设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)(c0)，则2，c2，c或c3(舍去)|c 6|236666又离心率 ，故a2，b，c a326a322a2c22故椭圆的方程为1.x2 8y2 2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0,0)
11、，因为，NA7 5NB所以(x1x0，y1) (x2x0，y2)，y1y2.7 57 5易知当直线l的斜率不存在或斜率为 0 时，不成立，于是设直线l的方程为ykx1(k0)，联立方程Error!消去x得(4k21)y22y18k20，因为0，所以直线与椭圆相交，于是y1y2，2 4k21y1y2，18k2 4k21由，得y2，y1，5 4k217 4k21代入整理得 8k4k290，k21，k1，6所以直线l的方程是yx1 或yx1.二 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法；一是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行
12、求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解【例 3】 已知椭圆C：1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三x2 a2y2 b2角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，直线过定点D(1,0)交椭圆于M，N两点，求AMN面积的最大值解析 (1)由题意可知a2b,2a4，所以a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.x2 4(2)点A坐标为(2,0)，直线MN过定点D(1,0)，令直线MN的方程为xmy1，联立Error!消去x得(m24
13、)y22my30.y1y2，y1y2，2m m243 m24SAMN1 2|AD|y1y2|1 2y1y224y1y22.1 24m2m24212 m24m23m242令tm23，t3，SAMN222.tt121t1t21313232当且仅当tm233，即m0 时，AMN面积的最大值为.32三 圆锥曲线的范围问题求解范围问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系，确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立7等量关系(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用基本不等式求出参数的取值范围(5)利用函数值域的求法
14、，确定参数的取值范围【例 4】 已知F1，F2分别是椭圆y21 的左、右焦点x2 4(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点， ，求点P坐标；PF1PF25 4(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围解析 (1)由椭圆方程为y2 1，知a2，b1，c，x2 43F1(，0)，F2(，0)33设P(x，y)(x0，y0)，则(x，y)(x，y)PF1PF233x2y23 ，5 4又y21，联立Error!x2 4解得Error!Error!P.(1，32)(2)显然x0 不满足题意，可设l的方程为ykx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立Error!得(14k2)x216kx120.x1x2，x1x2，且(16k)24(14k2)120，k2 .12 14k216k 14k23 4又AOB为锐角，0，x1x2y1y20，OAOBx1x2(kx12)(kx22)0，(1k2)x1x22k(x1x2)
