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1、学科素养培优八 求椭圆方程的几种常用方法在解析几何的以椭圆为载体的解答题中,第一问往往是先求椭圆方程,能否正确求出椭圆方程是解题的先决条件,下面我们总结求椭圆方程的几个常用方法.方法一 定义法【例1】 导学号 49612220 已知圆C:(x-3)2+y2=100及点A(-3,0),P是圆C上任一点,线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点,则Q点的轨迹方程是 . 思路点拨:线段中垂线上的任意一点到线段两个端点的距离相等,对于点Q,则|QA|=|QP|,P,C,Q三点共线,可得点Q到两个定点A,C的距离之和等于常数,根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数.反思归纳 当动点满足到两定点距离之和为常数时(
2、该常数大于两定点之间的距离),动点的轨迹为椭圆,可以在特定的坐标系中直接得出椭圆方程的系数,写出椭圆方程.方法二 待定系数法思路点拨:(1)即在a=3b的情况下,椭圆过点A(3,0),分焦点在x,y轴分类求解;【例2】 (1)已知椭圆的长轴是短轴的3倍,且过点A(3,0),并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的标准方程;思路点拨:(2)椭圆的焦点位置不确定,可以设椭圆方程为一般形式mx2+ny2=1(m0,n0,mn),根据椭圆过两个点得到两个独立的方程,通过这两个独立的方程求解待定的系数即可求出椭圆方程.反思归纳 (1)求解椭圆标准方程时,如果不能确定椭圆焦点的位置,要有分类讨论的思想意识;(2)当
3、椭圆的焦点位置不确定时可以设椭圆方程的一般形式mx2+ny2=1(m0,n0,mn),根据题目的其他已知条件得到两个独立的方程,通过方程确定椭圆方程中的系数,这种待定系数的方法是求解椭圆方程的基本方法之一.方法三 代入法思路点拨:动点M的轨迹为圆,建立动点T的坐标与动点M的坐标之间的关系,代入动点M的轨迹方程得出动点T的轨迹的方程.反思归纳 方法四 交轨法思路点拨:设出动点坐标,利用斜率之积得出方程,化简整理方程即得.反思归纳 当所求的曲线是由两条动直线的交点P(x,y)所形成的,既然是动直线,那么这两条直线的方程就必然含有变动的参数,通过解两直线方程所组成的方程组,就能将交点P(x,y)的坐标用这些参数表达出来,也就求出了动点P(x,y)所形成的曲线的参数方程,消掉参数就得到了动点P(x,y)所形成的曲线的普通方程.
