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1、17.27.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1 “三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根
2、有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2Error!x|xR R一元二次不等式ax2bxc0)的解集x|x10 或(xa)(xb)b(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0(0(0.( )(2)若不等式ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0 的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0 的解集为 R R.( )(4)不等式ax2bxc0 在 R R 上恒成立的条件是a0，令 3x22x20，得x1，x2，1 731 733x22x20 的解集为.(，1 73) (1 73，)题组
3、三 易错自纠4不等式x23x40 的解集为_(用区间表示)答案 (4,1)解析 由x23x40 可知，(x4)(x1)0 的解集是，则ab_.(1 2，1 3)答案 14解析 x1 ，x2 是方程ax2bx20 的两个根，1 21 3Error!解得Error!ab14.6已知关于x的不等式(a24)x2(a2)x10 的解集为空集，则实数a的取值范围为_答案 2，6 5)解析 当a240 时，a2.若a2，不等式可化为10，显然无解，满足题意；若a2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a2 时，要使不等式的解集为空集，则Error!解得20，解方程 2x2x30，得x11，x2 ，3
4、2不等式 2x2x30 的解集为(，1)，(3 2，)即原不等式的解集为(，1).(3 2，)命题点 2 含参不等式典例 解关于x的不等式ax222xax(aR R)解 原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0 时，原不等式化为x10，解得x1.当a0 时，原不等式化为(x1)0，(x2 a)解得x 或x1.2 a当a1，即a0 时，不等式的解集为Error!；当20，则a的取值范围是( )A(0,4) B0,4)C(0，) D(，4)答案 B解析 对于任意xR R，ax2ax10，则必有Error!或a0，0a0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即 7m60，(
5、x1 2)3 4又因为m(x2x1)63.故当x的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练 函数f(x)x2ax3.(1)当xR R 时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范
6、围；(3)当a4,6时，f(x)0 恒成立，求实数x的取值范围解 (1)当xR R 时，x2ax3a0 恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，实数a的取值范围是6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图像恒在x轴上方且满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图像与x轴有交点，但当x2，)时，g(x)0，即Error!即Error!可得Error!解得a.如图，g(x)的图像与x轴有交点，但当x(，2时，g(x)0.即Error!即Error!可得Error!7a6，综上，实数a的取值范围是7,28(3)令h
7、(a)xax23.当a4,6时，h(a)0 恒成立只需Error!即Error!解得x3或x3.66实数x的取值范围是(，33，)66题型三题型三 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用典例 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得的利润是 100元(5x13 x)(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求x的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解 (1)根据题意，得 2003 000，(5x13 x)整理得 5x14 0，即 5x214x30，3 x又 1x10
8、，可解得 3x10.即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x的取值范围是3,10(2)设利润为y元，则y100900 x(5x13 x)9104(51 x3 x2)9104，3(1 x1 6)261 12故当x6 时，ymax457 500 元即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品时获得的利润最大，最大利润为 457 500 元9思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中
9、自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加x成要求售价不能低于成本价8 5(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求x的取值范围解 (1)由题意，得y100100.(1x 10)(18 50x)因为售价不能低于成本价，所以 100800.(1x 10)所以yf(x)40(10x)(254x)，定义域为x0,2(2)由题意得 40(10x)(254
10、x)10 260，化简得 8x230x130，解得 x.1 213 4所以x的取值范围是.1 2，2转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f(x)x2axb(a，bR R)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)0 恒成立，则实数a的取值x22xa x范围是_思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析 (1)由题意知f(x)x2axb2b.(xa 2)a2 4f(x)的值域为0，)，b0，即b.a2 4a2 410f(x)2.(xa 2)又f(x)0 恒成立，x22xa x即x22xa0 恒成立即当x1 时，a(x
11、22x)恒成立令g(x)(x22x)，则g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上是减少的，g(x)maxg(1)3，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案 (1)9 (2)a|a31不等式(x1)(2x)0 的解集为( )Ax|1x2 Bx|x1 或x2Cx|12答案 A解析 由(x1)(2x)0 可知，(x2)(x1)0，所以不等式的解集为x|1x22(2018河北省三市联考)若集合Ax|32xx20，集合Bx|2x0 时，x2x2，0320，即x228x1921 时，不等式的解集为1，a，此时只要a3 即可，即 10 的解集是_(x1 a)答案 Error!解析 原不等式即(xa)0(
12、e 是自然对数的底数)的解集是_答案 x|ln 20，可得 0 的解集；13(2)若a0，且 00，即a(x1)(x2)0.当a0 时，不等式F(x)0 的解集为x|x2；当a0 的解集为x|10，且 00.f(x)m0 的解集解 因为(ab)x2a3b0，等价于bx2(4b2)x3b20，即x2x3 0 在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_答案 (23 5，)解析 方法一 x2ax20 在x1,5上有解，令f(x)x2ax2，14f(0)20，即 255a20，解得a.23 5方法二 由x2ax20 在x1,5上有解，可得a x在x1,5上有解2x2 x2 x又f(x) x在x1,5上
13、是减函数，2 xmin，只需a.(2 xx)23 523 514不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR R 恒成立，则实数的取值范围为_答案 8,4解析 因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR R 恒成立，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR R 恒成立，即a2ba(8)b20 恒成立，由一元二次不等式的性质可知，2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.15(2018郑州质检)已知函数f(x)Error! 若关于x的不等式f(x)2af(x)b20 恰有 1 个整数解，则实数a的最大值是( )A2 B3C5 D8答案 D解析 作出函数f(x)的图像如图实线部分所示，由f(x)2af(x)b20，得f(x)aa24b22，aa24b22若b0，则f(x)0 满足不等式，即不等式有2 个整数解，不满足题意，所以b0，所以15af(x)0，且整数解x只能是 3，当 2x4 时，8f(x)0，所以8a3，即a的最大值为 8，故选 D.16(2017宿州模拟)若关于x的不等式 4x2x1a0 在1,2上恒成立，则实数a的取值范围为_答案 (，0解析 因为不等式 4x2x1a0 在1,2上恒成立，所以 4x2x1a在1,2上恒成立令y4x2x1(2x)222x11(2x1)21.因为 1x2，所以 22x
