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1、第 35 卷第 7 期 2005 年 7 月数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORYVol. 35 No. 7 July, 2005 基于 LMIs 的一类不确定线性 切换系统的鲁棒控制孙文安1, 2, 葛 斌1, 赵 军2( 1. 大连大学信息工程学院, 大连大学信息科学与工程辽宁省高校重点实验室, 辽宁大连 116622) ( 2. 东北大学信息科学与工程学院, 辽宁 沈阳 110004)摘 要: 基于LMIs处理方法, 研究了一类不确定线性切换系统在任意切换下的鲁棒控制问题. 利用矩阵Schur 补引理构造线性矩阵不等式, 得到该系统的鲁棒稳
2、定性的充要条件, 同时也给出了在状态反馈下的鲁棒稳定性充要条件和在输出反馈下的充分条件. 最后用数值例子对所得结果加以验证, 说明了文中结果的正确性.关键词: 线性切换系统; 线性矩阵不等式( LMIs) ; 渐进稳定性; Schur 补公式; 状态反馈; 输出反馈1 引 言收稿日期: 2004-12-06基金项目: 本文受国家自然科学基金( 60274009) ; 高等学校博士学科点专项科研基金( 20020145007) ; 辽宁省自然科学基金( 20032020) 资助切换系统是混杂系统中一类有影响的重要类型. 系统的动态可由有限个子系统或动态模型描述, 同时有一个切换规律, 使之在子系
3、统之间进行切换. 这种系统在现实工程中有着广泛的应用背景, 如在计算机磁盘驱动器, 步进电动机、 受约机器人系统, 智能高速公路系统等.近几年来, 对于切换系统的研究引起了国内外控制理论与控制工程界学者的极大兴趣, 特别是在切换系统的稳定性方面的研究已取得了相当多的成果 114. 文献 1 利用单 Lya-punov 函数和多 Lyapunov 函数技术对控制器切换的 H状态观测器设计的稳定性进行了研究, 提出了稳定性的充分条件, 文献 2 应用非线性规划问题的 Karush-Kuhn-T ucker 条件对于切换系统进行了研究, 给出了二次稳定的充分必要条件. 文献 3 4 8 利用 LMI
4、 方法给出了一类离散切换系统的鲁棒稳定性的判定条件, 文献 6 7 在非切换下对于具有多胞摄动系统的 H鲁棒稳定性分析和控制进行了研究, 文献 9 10 对于线性切换系统的二次稳定性进行了分析, 文献 11 通过控制器切换提出了鲁棒输出反馈稳定性的判定条件, 文献 12 对于切换状态反馈进行了研究.线性矩阵不等式处理方法在控制理论的研究中有着广泛的应用, 特别是随着计算机应用技术的发展, 使用 MATLAB 软件求解 LMIs 的正定解来判定切换系统的稳定性已成为一种行之有效的方法. 本文就是利用该种方法对于线性切换系统的鲁棒稳定性进行了研 究, 给出了线性切换系统渐进稳定性的几个新的 LMI
5、s 判据.2 系统的描述与准备考虑如下具有不确定性的线性切换系统x?= A?x + B?u, x( t0) = x0y = C?x( 1)其中, x ( t) Rn为系统的状态变量, u( t) Rk为系统的输入变量, y( t) Rj为系统的输出变量, ?R+ M = 1, 2, , m 是一个依赖时间 t 或状态 x 的分段常值函数, 表示系 统( 1) 的切换信号, 对于 i M, A?i, B?i, Ci为系统矩阵, A?i, B?i的结构如下: A?i B?i = Ai Bi + Di?i( t) Ei1 Ei2( 2)其中Ai, Bi, Ci为标称系统的常数阵, 假设Ci是满行秩的
6、. Di, Ei1, Ei2表示结构不确定性特征的常数矩阵, ?i( t) 是满足 ?T i( t) ?i( t) ? I 的未知参数矩阵. 设状态反馈控制律为:u = Kix( 3)则通过状态反馈形成的闭环系统如下:x?= ( A?i+ B?iKi) x , x( t0) = x0( 4)设输出反馈控制律为:u = Kiy( 5)则通过输出反馈形成的闭环系统如下:x?= ( A?i+ B?iKiCi) x, x( t0) = x0( 6)其中Ki是适当维数的反馈增益阵. 对于切换信号 ?, 有切换序列? = x0; ( i0, t0) , ( i1, t1) , , ( ij, tj) ,
7、, ?ij M, j N( 7)其中t0是初始时间, x0是初始状态. 当 tj? t 0, 使得Y + ? MMT+1 ?NTN 0和一组 正数 ?i, ?i( i = 1, 2, , m) , 满足下列不等式- P- 1I + ?iAi0DiI + ?iATi- PETi100Ei1- ?iI0DTi00- ?- 1i?- 2iI0,m 个矩阵 S1, S2, , Sm和一组正数 ?i, ?i( i = 1, 2, , m) , 使得下列不等式成立.- XX + ?i( AiX + BiSi)0DiX + ?i( AiX + BiSi)T- XQTi00Qi- ?iI0DT i00- ?-
8、 1 i?- 2 iI 0( 17)其中, Qi= Ei1X + Ei2Si, 状态反馈增益阵为 Ki= SiX- 1.证明 由引理 2知, 在状态反馈控制律( 3) 下闭环系统( 4) 渐进稳定的充要条件是下列 不等式成立- P- 1I + ?i( A?i+ B?iKi)I + ?i( A?i+ B?iKi)T- P 0( 18)对矩阵不等式( 18) 的左边矩阵分别左乘和右乘矩阵 diagI, P- 1, 并令 X = P- 1, Si=KiX, 则Ki= SiX- 1, 得到等价的矩阵不等式- XX + ?i( A?iX + B?iSi)X + ?i( A?iX + B?iSi)T- X
9、 0( 19)仿定理 1 的证明, 式( 19) 成立当且仅当存在一组正数 ?i( i = 1, 2, , m) , 使得- XX + ?i( AiX + BiSi)X + ?i( AiX + BiSi)T- X+ ?i?iDi0?iDTi 0 + ?- 1i0QTi0 Qi=- X + ?i?2 iDiDT iX + ?i( AiX + BiSi)X + ?i( AiX + BiSi)T- X + ?- 1iQTiQi 0( 20)其中Qi= Ei1X + Ei2Si, 对于不等式( 20) 进一步应用 Schur 补引理, 得到等价的矩阵不等式 - XX + ?i( AiX + BiSi)
10、0DiX + ?i( AiX + BiSi)T- XQT i00Qi- ?iI0DTi00- ?- 1i?- 2iI 0( 21)定理 2 得证. 定理 3 输出反馈控制律( 5) 稳定化闭环系统( 6) 的充分条件是存在一个对称正定矩阵X, 矩阵 Ui, Vi和一组正数 ?i, ?i( i = 1, 2, , m) , 使得下列不等式成立.- XX + ?i( AiX + BiUiCi)0DiX + ?i( AiX + BiUiCi)T- XQTi00Qi- ?iI0DTi00- ?- 1i?- 2iI 0( 22)其中, Qi= Ei1X + Ei2UiCi, 输出反馈增益阵为Ki= Ui
11、V- 1i( 23)并且1877 期孙文安, 等: 基于LMIs的一类不确定线性切换系统的鲁棒控制ViCi= CiX( 24)证明 因为 Ci满行秩和 X 正定, 由( 24) 式知 Vi可逆, 于是输出反馈律有效. 从( 23) 和 ( 24) 可得 UiCi= KiCiX , 代入( 22) 并令Zi= Ei1X + Ei2KiCiX, Hi= AiX + BiKiCiX, 应用Schur 补引理得到等价的矩阵不等式:- X + ?i?2 iDiDT iX + ?iHiX + ?iHTi- X + ?- 1iZTiZi 0( 25)( 25) 可以改写为- X + ?i?2iDiDTiX
12、+ ?iHiX + ?iHTi- X + ?- 1iZTiZi=- XX + ?iHiX + ?iHT i- X+ ?i?iDi0?iDTi 0 + ?- 1 i0ZTi0 Zi 0( 26)利用引理 1, ( 26) 成立当且仅当- XX + ?iHiX + ?iHTi- X+?iDi0?i0 Zi+0ZTi?Ti?iDTi 0 0( 27)进一步整理得到下面的不等式 - XX + ?i( A?iX + B?iKiCiX)X + ?i( A?iX + B?iKiCiX )T- X 0( 28)令 X = P- 1, 并对矩阵不等式( 28) 的左边矩阵分别左乘和右乘矩阵 diagI, P ,
13、 得到等价的矩阵不等式- P- 1I + ?i( A?i+ B?iKiCi)I + ?i( A?i+ B?iKiCi)T- P 0( 29)由引理 2 知, 系统( 1) 在输出反馈控制律( 5) 和( 23) 下渐进稳定. 定理 3 得证.4 仿真例子考虑由两个子系统组成的切换系统 x?= A?ix + B?iu, i = 1, 2( 30)其中A1=- 110- 1, B1=0. 1000. 2, D1=0. 30. 20. 20. 5,?1( t) =sin( t)0 0cos( t), E11=0. 50. 1 0. 20. 5, E12=0. 50 00. 5,A2=- 201- 1
14、, B2=00. 10. 10, D2=0. 10. 60. 50. 2,?2( t) =cos( t)00sin( t), E21=0. 30. 10. 50. 3, E22=0. 1000. 1,?1= 0. 15, ?2= 0. 3, ?1= 0. 3, ?2= 0. 4, 通过求解矩阵不等式( 17) , 得到正定矩阵 X 和矩阵 S1, S2以及反馈增益矩阵 K1, K2:X =1. 3613- 0. 5793- 0. 57931. 4955, X- 1=0. 87960. 34070. 34070. 8007,188数 学 的 实 践 与 认 识35 卷S1=- 1. 166600
15、- 1. 1666, S2=- 4. 007200- 4. 0072,K1=- 1. 0262- 0. 3975- 0. 3975- 0. 9341, K2=- 3. 5247- 1. 3653- 1. 3653- 3. 2084,图 1 系统( 30)的状态响应根据定理 2 知, 在任意切换策略下系统( 30) 是渐进稳定的. 选取初值为 x0= 2 - 4T, 系统( 30) 的状态响应如图 1所示.5 结 语本文针对不确定线性切换系统的鲁 棒稳定性分析与控制进行了研究, 建立了相应系统以线性矩阵不等式( LMIs) 作为判定鲁棒稳定性的充要条件和充分条 件. 特别是在状态反馈和输出反馈的
16、情况下, 不仅仅拘泥于求解单一的 Lya-punov 矩阵, 而引入多个矩阵变量, 这种检验方法大大降低了判断的保守性. 最后用数值例子对所得结果加以验证, 说明了文中结果的正确性.参考文献: 1 Nie H, Zhao J, Hu Y. Robust Hstate observer design for a class of nonlinear systems via switching A . Pro-ceedings of the 2003 IEEE International Symposium on Intelligent Control C . Houston, T exas, 2003. 782787. 2 Zhao J, Dimirovski G M. Quadratic stability of a class of sw
