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1、132高等数学习题参考资料 第三篇第三篇 多元函数微积分第七章多元函数微积分第七章 多元函数微分学 1 多元函数的极限与连续多元函数微分学 1 多元函数的极限与连续习 题1. 当)0 , 0(),(yx时，下列函数的极限是否存在？若存在，求出其极限（1）;2223yxxyx +（2）; 112222+yxyx（3）;112222yxyx+（4）;)(222yxyx +（5）;)()(22yxeyx+（6）;2222yxyx +（7）;)cos(12222yxyx +（8）.222xyxx +【答案】 (1) 0; (2) 2; (3) 0; (4) 不存在;(5) 0 ; (6) 不存在; (
2、7) 0; (8) 不存在.2. 求出下列极限（1）;)ln(lim 22)0 , 1 (),(yxexyyx+（2）;)11(lim221122)0, 0(),( +yxyxeyx（3）;1lim22)3 , 2, 1 (),(xyzzyxyzyx（4）222222)0 , 0 , 0(),(limzyxzyxzyx+.【答案】 (1) 2ln; (2) 0; (3) 58; (4) 0.3. 讨论下列函数在原点O（0，0）处是否连续？（1） =; 0, 0, 0, 1 xyxyz（2） =+ =; 0, 0, 0,)sin(3333 3333yxyxyxyx z133（3） =+ =. 0
3、, 00,)sin(2222 2233yxyxyxyx z【答案】 (1) 不连续; (2) 不连续; (3) 连续.4、指出下列函数的连续范围（1）;sinsin1 yxu=（2）);1ln(22yxu=（3）22)()(1lnbyaxu+=.【解】. (1) 在kx 且ky 时函数连续; (2) 122n.【解】()222 1)2(nnixxxxnu i+=L,= iixxu()1222 12)2(+nnixxnxnL)2()(222 22 1nxxxnn+L于是成立 0 2211= + + nnxxxxxxuuuL.13、设映射f为TTvuyx),(),(a，其中的对应关系由下列函数组定
4、义，试求出 f的Jacobi矩阵及微分：（1） =;sin,cosyevyeuxx （2） =+=.arctan,ln22xyvyxu【答案】 (1) =yeyeyeyeJxxxxcossinsincos; (2) +=22222222yxx yxyyxy yxxJ.14. 计算下列映射的导数：（1）;),(22 +=yxyxyxf（2）.sincos),( = vvuvuvug【解】 (1) =yxJ2211, += =ydyxdxdydx dydxJdf22;137(2) = 10cossinsincosvuvvuvJ, += = dvvdvuvduvdvuvdudvduJdgcossin
5、sincos ;15、求曲面2242yxz+=在（2，1，12）处的切平面方程。 【答案】) 1(8)2(812+=yxz16、求螺旋线kjirtttt+=sincos2)(在点)2, 1 , 0(处的切线方程。【答案】12 01 2 =zyx17、求曲线2sin4,cos1,sintztyttx=在点)22 , 1 , 12(处的切线方程。【答案】 222 11 112=+zyx.18、求曲线32,tztytx=上切线平行于平面42=+zyx的点。【答案】 )271,91,31(),1, 1 , 1(21MM.3 链式求导法则习 题1. 设vuzln2=，其中,23,yxvyxu=求.,yz
6、 xz 【解】= xz)23(3)23ln(2222yxyx yyxx +, = yz )23(2)23ln(22222yxyx yyxx +2. 设uvyvuxyxyxw=+=+=,),sin(22求.,vw uw 【解】138= uw)1)(cos(2222vuvvuuvvu+,)1)(cos(2222uuvvuvuvuvw+=.3. 设,sin,cos,22ryrxxyyxz=求., z rz【解】)sin(coscossin32ttttrrz=,)sinsincos2_coscossin2(32323ttttttrz+= .4. 设,4,3),arccos(3tytxyxz=+=求.d
7、tdz【解】=dtdz6422162491123tttt+5. 设),arctan(xyz =而,xey =求.dxdz【解】 dxdz= xxexxe221)1 ( +.6. xeaxsin.6. 设,cos,sin,1)(2xzxayazyeuax =+=求dxdu.【解】xedxduaxsin=7. 设f具有连续一阶偏导数，求,yu xu 其中（1）);,(22xyeyxfu=（2）).,(xy yxfu =【解】 (1) = xu221fyexfxy+, 221fxeyfyuxy+=;(2) 221fxy yf xu=, 1212fxfyx yu+=.1398、设),(yxf具有连续偏
8、导数，且1)1 , 1 (=f，2)1 , 1 (=xf，3)1 , 1 (=yf。如果),(,()(xxfxfx =，求)1(。【解】),( ),( )(,( ),( )( xxfxxffxffxfxyxyx+=)1()1 , 1 ( ) 1 , 1 ( )1 , 1 ( ) 1 , 1 ( yxyxffff+=7)21 (21=+=.9、设f是可微函数，ba,为常数，),(btyatxfz+=，证明：.yzbxzatz +=【提示】xz),( 1btyatxf+=, ),( 2btyatxfzy+=,),( ),( 21btyatxbfbtyatxafzt+=, 即成立所证等式.10、设f
9、是可微函数，),(xyxfxyu+=证明：.xyuyuyxux+=+【提示】 +=2xy xyf xxyfyux+=xyfxy xyfy,yuxxyxfx1+=+=xyfx,yuyxux+=xyyfxyxfxy+xyyfyxxyu+=.11、设f是二元函数，具有二阶连续偏导数，求下列函数的:,22222yz yxz xz （1）);,(yxyfz =（2）);,(yxxfz =（3）);cos,(cosyxfz =（4）).,(22xyyxfz =【解】 (1) 2 11“yfzxx=, “11211fyfxyfzxy+=, “2“2212112fxffxzyy+=;140(2) “1“2“2
10、221211fyfyfzxx+=, +=“1“222122ffyxxfyzxy, 2“232242 fyxfyxzyy+=;(3) “sincos“112 1xfxfzxx+=, “sinsin“12yfxzxy=, “sincos“222 2yfyfzyy+=;(4) “4“22“224 123 111fyfxyxyfyfzxx+=,“2“5“222“223 1222 113 21fxyfyxyfxyfxfzxy+=,“4“4“2“2222 123 114 2fyxyfxfxxfzyy+=12、设f是具有二阶连续偏导数的三元函数，),(xyyxyxfu+=.求.,222yxu xu 【解】.
11、 321yfffux+=, 321xfffuy+=, 2 2 2 “332 2322131211fyyffyfffuxx+=,13、设=xytdteyxf 02),(，求22222 2yf xy yxf xf yx +。【解】2222,yx yyx xxefyef=, 2232“yx xxexyf=2222222“yxyx xyeyxef=,2232“yx yyyexf=,22222 2yf xy yxf xf yx +222222222222222242yxyxyxyxeyxeeyxeyx+=222yxe=14、设),(yxfu =具有各个二阶连续偏导数，).3(21),3(21tsytsx
12、+=证明：（1）;)()()()(2222 tu su yu xu +=+（2）.22222222tu su yu xu +=+【提示】 直接计算各个导数.14115、设有映射,:32RRf ,),(),(TTwvuyxa,:22RRg ,),(),(TTyxtsa其中,xywxyvyxu=+=,2222tstytssx+=+=求复合映射gfo的 Jacobi 矩阵。【解】tststswwvvuu=yxyxyxwwvvuu ssss yyxx+ + +=22222222222222222)()(2)(2 )(111tsts tssttsst tstsxxyxy+ + + +=222222222
13、22222222222222222222222)()(2 )(2)()(2 )(2)()(2 )(2tsxtsxyst tsxxsttsytstsyst tsxstytstststs tststs.16、设映射),(),(2121gggfff=其中,),(,),(22 222 1tstsftstsf=+=,arctan),(,ln),(222 1xyyxgyxyxg=+=求复合映射gfo的 Jacobi 矩阵。【解】. yxyx ffff2211+ + +=22222222)(2)(2)(2)(2yxtxys yxtyxsyxtxys yxtyxs.17、设在直角坐标系),(yx下，变量vu,满足 Cauchy-Riemann 方程：,yxvu= ,xyvu=142证明在极坐标系),(r下，上述方程相应地变换成,1vrur= rvur=1.【解】sin,cosryrx=,222yxr+=, xyarctan=, xr rx=, rxrx=,ryry=. 22yxyx+=, 22yxxy+=, 代入表达式 xxrxuruu+=,yyryuruu+=, xxrxvrvv+=,
