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1、2012 立体几何最新立体几何最新题题型型一、选择题1一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为( )A8 B8 C4 D422答案 B解析 球的半径 R，12122S4R28 故选 B.2已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是( )A. B. C14 D714373分析 根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算答案 A解析 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是 2，上底面是边长为 1 的正方形、下底面是边长为 2 的正方形，故其体积 V (1222)2.1312 221433设矩形的边长分别为 a，b
2、(ab)，将其按两种方式卷成高为 a 和 b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为 Va和 Vb，则( )AVaVb BVaVbCVaVb DVa和 Vb的大小不确定答案 B解析 由题意，Vb()2ba2b，Va()2ab2a，因为 ab，所以 VaVb.a214b2144(2010新课标文)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A3a2 B6a2C12a2 D24a2答案 B解析 本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径由题可知，长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点在
3、同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R，解得 Ra，所以球的表面积 S4R26a2，故选 B.4a2a2a2625已知三棱锥 OABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC1，OAx，OBy，若 xy4，则三棱锥体积的最大值是( )A. B. 1323C1 D.43答案 B解析 由条件可知 V三棱锥 OABC OAOBOC xy ()2 ，当 xy2 时，取得最大值 .161616xy223236某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( )A(16)cm3 B(163)cm3C(204)cm3 D(18)cm3分析 本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积
4、计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解答案 B解析 由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱正四棱柱的底面边长为 4cm，高为 1cm，其体积为16cm3；圆柱的底面半径为 1cm，高为 3cm，其体积为 3cm3.所以该几何体的体积为(163)cm3.7若圆锥轴截面的顶角 满足 ，则其侧面展开图中心角 满足( )32A. B. 4332C. D22答案 D解析 ，(3，2)2(6，4)sin.(12，22)又 sin，rl(12，22)其侧面展开图中心角 2(，)rl2二、填空题10(2011广东广州)将圆心角为，面积为 3 的扇形，作为圆锥的侧
5、面，则圆锥的表面积等于_23答案 4解析 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则有 rl r23，所以 r3，l2，于是圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，故表121223面积 S13124.三、解答题12已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解析 作轴截面如图，令圆柱的高为 h，底面半径为 r，侧面积为 S，则2r2R2，即 h2，(h2)R2r2S2rh4rR2r24r2 R2r2 42R2，(r2R2r22)2当且仅当 r2R2r2时取等号，此时内接圆柱底面半径为R，高为R，最大侧面积等于 2R2.22213(2010新
6、课标卷)如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH 为四棱锥的高(1)证明：平面 PAC平面 PBD；(2)若 AB，APBADB60，求四棱锥 PABCD 的体积6解析 本题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中低档题，考查处理立体几何的常规方法解：(1)因为 PH 是四棱锥 PABCD 的高，所以 ACPH.又 ACBD，PH，BD 都在平面 PBD 内，且 PHBDH，所以 AC平面 PBD，故平面 PAC平面 PBD.(2)因为 ABCD 为等腰梯形，ABC
7、D，ACBD，AB，6所以 HAHB.3因为APBADB60，所以 PAPB，HDHC1，6可得 PH，3等腰梯形 ABCD 的面积为 S ACBD2.123所以四棱锥的体积为 V (2).133332 3314已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的侧棱 AA1垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，ADAA12，ABBC1，E，F 分别为 A1D，CD 中点(1)求证：EF平面 A1ACC1；(2)求证：CD平面 A1ACC1，并求四棱锥 DA1ACC1的体积证明 (1)连 A1C，E、F 分别为 A1D，CD 中点，EFA1C，又A1C 平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1EF平面 A1ACC1(2)四边形 ABCD 为直角梯形且 ADBC，ABBC，AD2，ABBC1，ACCD，2AD2AC2CD2，CDAC，又AA1平面 ABCD，CD 平面 ABCD，CDAA1，AA1 平面 A1ACC1.AC 平面 A1ACC1，CD平面 A1ACC1CD 为四棱锥 DA1ACC1的高，V SA1ACC1CD 2 .13132243
