复杂数据统计过程的若干研究

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1、 邹长亮 ： 复杂数据统计过程 的若干研究 的抽样点上， 我们所得到的观测值可以看作一些变量的回归曲线 这样的问题我们称为 p r o fi l e数据问 题 如何使用 S P C方法对这样的生产过程进行监控， 就是 p r o fi l e数据的质量控制 问题 很多情况下， 准确地用参数回归函数描述 p r o fi l e 是相当困难的， 尤其当一个 p r o fi l e比较复杂、 p r o fi l e数据内的观测 是相关的时候 1 假设在受控数据集中有 m 个 p r o fi l e s ， 第 i 个 p r o fi l e s 有 n 个观测 引入非参数混合效应模型来 刻

2、画 p r o fi l e Y i j=g ( x i j ) +f i ( X i j ) +e i j ， J=1 ， 2 ， n i ， i =1 ， 2 ， ， m， ( 2 1 ) 其中 g是总体 p r o fi l e函数 ( 即固定效应项) ， 是随机效应项， s t j是均值为 0方差为 盯 的独立同分 布随机误差项 在模型 ( 2 1 )中， 通常假设随机效应 。 与误差 是相互独立的， 且 的期望为 0 ， 协 方差函数为 7 ( 1 ， 2 ) =E ( 1 ) f i ( x 2 ) 不失一般性， 我们进一步假设 t 0 ， 1 模型 ( 2 1 ) 相当灵 活，

3、它包括了很多常见的相关性结构作为特殊情况例如， 当 。 ( ) = i 并且 t 是均值为 0的随机 变量时， p r o fi l e内的相关性结构具有复合对称形式 当 C o r r ( f i ( x 1 ) ， ( 2 ) ) =p ( I x 一X 2 l ； ) ， 则对某些 相关性函数 P和系数 相关性结构包括 了非齐次 O r n s t e i n U h l e n b e c k过程和 G a u s s 相关性模型 为 了建立控制图， 需要确定受控时的 g ， 7和 盯 0 ， 相关估计方法及性质参见文献 f 2 1 对于任何 s 0 ， 1 ， 考虑如下的加权局部似然

4、： s ) Kh ( X i j s ) ( 1 一 ) 卜 2 2 ( z ) 其中 是权重参数， ( ) = ( ， X ) + 是响应的方差函数WL( a ， 6 ； 8 ， ， t )同时使用了在指数加权 移动平均 ( e x p o n e n t i a l l y w e i g h t e d mo v i n g a v e r a g e ， E WMA )模型中采用的 ( 1 一 ) 卜 形式的指数权重 和局部线性光滑方法 3 与此同时， 利用 1 2 x ) 进一步考虑到观测的异方差性 对 WL( a ， b ； s ， A ， t ) 进 行最小化， 可以得到局部线性

5、核估计 g ( s ) 有如下表达式： 其中 ( s ) = ( s ) 物 ： ( s ) m ( ) ( 2( i J ) 2 。 J ( 2 2 ) t 忆z r nf， ( s ) = E( 1 一 ) 一 i E( x t， 一 s ) K h ( x 巧 s ) ( ) ， ： 0 ， 1 ， 2 ( 2 3 ) =1 J =1 在时刻 t ， ， h ， A ( s ) 利用了所有观察， 把不同的p r o fi l e 所提供的信息整合在一起 令 =Y ij 一 ( 巧 ) 】 通过用岛 替代Y 后， 己 ，h ， ( s ) 可以由上面的 估计方法相应得到 如此变换后， 己

6、， h ， ( s ) 在受控情况 下的分布就与 g 0 独立了， 如下定义的控制图受控情况下的分布 以及与这相关的统计量 ( 控制线)的分 布都与g 0 相互独立， 这样就简化了 控制图的设计和计算 当过程处于可控状态时， 15 ，h ， ( s ) I 应该很小 所以， 很 自然得到如下统计量： 74 2 一， _ s 一 m = ， L发生报警， 其中 L0是可以达到受控情况下的平均运行长度 ( AR L ) ( 记为 A RL o )的控制线 下面给 出 的一些渐近特性 定理 2 1 假设过程是受控的， 在一定的正则条件下可得到如下结果： ( 1 ) 如果 n i h是有界的， 那么，

7、 对于每个 i ， ( T t ， ， 一声 ) 与( 0 ， 1 ) ， 其中 _ - ( 2 ) 如果 n i h_ 。 。 ， 则 1 一D 1 r l 1 “ ， 其中 表示依分布渐近等价于 d t o ,t , = t o + l ( 1 一 ) 。 (t l - i ) n b ， e 是一个均值0 协方差矩阵为 Q 的 n 0维多元正态随机 向量， Q =( 从定理 2 1 ， 我们发现 T t ， ， 渐近地独立于讨厌参数 7 ( ， ) 和 盯 以下定理研究失控模型下的 T th A 的渐近特性 如果 1i 7 - ， 如果 i 7 _ ， 其中 丁是一个未知的变点， g l

8、 ( ) =-g 0 ( ) + ( ) 是失控情况下的回归函数 采用 以下记号 =仆 + z 一 。 (u ) d ， ( 2 = ” (u )2 r 1 (u )d 钆 ( 2 4 ) 定理 2 2 在一定的正则条件下且 ( 2 0满足的话， 可 以得到 ( 1 ) 如果对于每个 i ， n i h是有界的， C O 佗 1 亏 K = 0使得对所有 7 ， a = 0 ； 在区间 ( + 1 ， )中， 活动集 ( 7 ) = ： s g n a 】 0 ) ， 并 且 符号向 量s ( 7 ) = s g n o ( 1 ， s g n 4 “ ) 不随 而改 变 由 于 活 动集 在

9、每个 处改变， 我们称 彳 为转移点由于在实际中 P o也是未知 的， 我们建议联合所有的 ， 其中J =1 ， q 来构造我们的检验 这里 m 是序列 ， 1 ， )中的最后 个指标 此时， 相 应的活动集恰好包括 J个元素 下面的渐近结果从使用转移点的角度上告诉我们怎样选择 定理3 2 在日 1 下， 假设m in t t U ) ， J p o ) =o ( n ) ， 其中一 r ) 的期望经历了一个大小为 o的跳跃漂移 如果 在变点 7 - 之后， i的分布从 ( 0 ， 。 ) 改变为 ( o +( i 一7 ) o ， 0- 。 ) ( 00 ) ， 则我们称过程发生了 d r

10、i ft 漂移或者线性趋势漂移 假设变点 丁 ， 和 0未知， 0和 0-是已知的， 且不失一般性， 我们假设 0 =0 和 0-=1 为了简化， 我们考虑上侧单边控制方案， 即 0或者 00 在 d r i f t的备选假设下， 应用检测变点的经典似然方程， 我们得到 自然对数似然比 R( 丁 ， I ) =2 1 n一12 ! 兰 旦 二 萎 三 i 1 =下+ z 由于 丁和 0未知， 这个检验可 以在给定样本观测时， 通过对于所有可能的 ( 丁 ， 0 ) 最大化 R( T ， 0 l ) 易 证 n l a x o 0 ， 使得 AR L 。 ( L R L ) e c 2 2 失控

11、状态下的 AR L逼近 A R L ( T G L 一 L )由如下的定理给 出 定理 4 2 如果 AR L o T G L R - L ) _ 。 。或者 c _ 。 。 ， 则 ( 1 ) 对 于 0 ， 0 = 0 ， A R L ( 咒L R L ) = i4 岳 ( 1 + 0 ( ) ) ； ( 2 ) 对于 00 ， =0 ， A R L o (T G L R -L ) ( ) ( + 。 ( ) ) 下面的定理显示了在 d r i ft漂移下 GL R - L与 E WMA， C US UM ( c u mu l a t i v e s u m) ， GE WMA ( g e

12、 n e r a l i z e d E WMA ) 和 GL R( g e n e r a l i z e d l i k e l i h o o d r a t i o )的控制方案 ( 定义参见文献 【 9 )的渐近比较 7 4 6 中国科学 ： 数 学第 4 3卷第 8期 定理 4 3 如果 A R L o ( T c ) =A R L o ( T E ) =A R L o ( T G E ) =A R L o ( T G L R - S ) =A R L o ( T G L R - L ) _ 。 。 ， 那 么， 对 于 00和 =0 ， AR L e ( T G L R L )

13、1 = + ” 叫 + 十 一 = l l + 一 一一 舣 m d g m = d 邹长亮：复杂数据统计过程的若干研究 ( 2 ) ( 5 3 )是相合估计 正如模型 ( 5 1 ) 所描述的， 假设漂移发生在某一阶段 c时， 凰 被拒绝， 其中 这个检验模型将二项分割方法、 两样本均值检验和方 向信息有机地结合在一起 进一步地得到 和 丁 的估计如下： _ m a x ( d T W - l t A 2 1 p 0 V V宇0 下面的定理确立了变点估计和漂移发生阶段估计 的的渐进相合性 定理 5 2 假设 0c ) ， 这是因为我们可以任意选 择参数 d ， 0 和 的值 为了近似 P r

14、 ( c ) ， 有必要研究 G f 的分布性质 我们进一步有如下结论 定理 5 4 当过程是可控 的， 统计量 G2 与下述统计量同分布： ( + ) 其 中 F 1 和 F 2是两个独立的 F分布，自由度分别为 ( 1 ， mP一1 ) 和 ( P一1 ， mP ) 进一步， 类似于文献 1 2 ， 定理1 3 1 】 j 我们可得到 的渐进零分布 7 48 黑 中国科学 ： 数学第 4 3卷第 8期 定理 5 5 当过程是可控 的， 对于任意的 =1 ， P ， l i ll l P r A ( 1 o g m) t 4 - D ( 1o g m) =e x p ( 一 2 e ) ， ( 5 8 ) 其 中 A( x ) =( 2 l o g x ) ， D( x ) =2 l o g x+ l o g l o g x一 l o g 7 r 在变点问题 中， 基于二项分割的检验统计量的分布收敛速度往往很慢 注意到 ( 5 8 ) 给出的 的 渐进分布等价于传统的似然 比检验统计量 Z _m( 作均值检验) 的渐进分布， 而 C s 6 r g 5和 H o r v a t h 1 2 给 出了后者的一个更加精确的近似结果： P r ( ) x e x p ( - x一2 2 ) in (s ) 一 1 in (s ) + 刍 ) ， (5 _9 ) 其 中