高等数学讲义之积分表公式推导

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1、Daniel Lau高等数学高等数学高等数学高等数学积积积积分分分分表表表表公公公公式式式式推推推推导导导导高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau目目目目录录录录（一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19） 1 1（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018） 5 5（三）含有（三）含有（三）含有（三）含有22ax的积分的积分的积分的积分（1921） 9 9（四）含有（四）含有（四）含有（四）含

2、有) 0( 2+abax的积分的积分的积分的积分（2228） 1111（五）含有（五）含有（五）含有（五）含有) 0( 2+acbxax的积分的积分的积分的积分（2930） 1414（六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0( 22+aax的积分的积分的积分的积分（3144） 1515（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0( 22aax的积分的积分的积分的积分（4558） 2424（八）含有（八）含有（八）含有（八）含有)0( 22axa的积分的积分的积分的积分（5972） 3737（九）含有（九）含有（九）含有（九）含有)0( 2+acbxa的积分的积分的积分的积分（7378） 48

3、48（十）含有（十）含有（十）含有（十）含有或或或或)(xbax的积分的积分的积分的积分（7982） 5151（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（83112） 5555（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中0a) ) ) )（113121） 6868（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（122131） 7373（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分

4、（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（132136） 7878（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（137141） 8080（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142147） 8181附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式 8585说明说明说明说明 8686团队人员团队人员团队人员团队人员 8787bxax高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau高等数学讲义积分公

5、式By D a n i e l La uDaniel Lau- 1 -（一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19）CbaxlnabaxdxbaxtC t lnadttabaxdxdtadx,adxdtttb axabxxbax)x(fCbaxlnabaxdx.+=+=+=+=+=+=+ 1 1 11 1 )0( | 1 1 1代入上式得：将，则令的定义域为被积函数证明：CbaxadxbaxbaxtC tadttadxbaxdtadx,adxdttbaxCbaxadxbax.+=+=+=+=+=+111)() 1( 1)( ) 1( 1 1)( 1 , 1)(

6、 )() 1( 1)( 2代入上式得：将则令证明：()()()()()C bax lnbbaxadxbaxxbaxtC t lnbtaC t lnabat dttbadtadttb1adtatbtadxbaxx dtadx ,btax,t tbaxabx|xbaxx)x(fC bax lnbbaxadxbaxx.22222222+=+=+=+=+=+=+=+1 1 11111 11 )0( 1 3代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 2 -CbaxlnbbaxbbaxadxbaxxCbaxlnabbaxdba

7、xabdxbaxbaCbaxlnabxabbaxdbaxabdxabaxdbaxbbaxabdxbaxabxaCbaxadxbaxadxbaxbadxbaxabxadxbaxadxbaxbabxbaxadxbaxxCbaxlnbbaxbbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ )( 2)(211 )(11 22 )(122 )(221 )(21)(1 121)(1 )2)(1 )( 2)(211 . 4223233232222323323321232222222222232由以上各式整理得：证明：CxbaxlnbCbaxxlnbCbaxlnbxlnb)bax(dbaxbd

8、xxbdxbaxbadxxbdx)bax(babxbaxxdxbabAbBAabxaxbaxbaxBxbaxxabx|xbaxx)x(fCxbaxlnbbaxxdx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 1 1 1 1 1111 1111)( B1A 10 AB)(AB)A(1 , A)(1 )(1 1)( 5于是有则设的定义域为被积函数证明：blogblogaa=1 提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 3 -CxbaxlnbabxCbaxlnbabxxlnbabaxdbaxbadxxbdxxbadxbaxbadxxbdxxba

9、baxxdxbaCbbaBbaBAbCAabaBAbxaxCxbaxbaxxbaxCxBxbaxxabxxbaxxxfCxbaxlnbabxbaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 1 1 )(1111 1111)( 1BA 100 1B)( C)(A )B()( A1 , A)(1 | )(1)( 1)( . 6222222222222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：CbaxbbaxlnaCbaxabbaxlnabaxdbaxabbaxdbaxadxbaxabdxbaxadxbaxxabBaBAbAaxBAbaxbaxxbaxBbaxAbaxxabx|

10、xbaxx)x(fCbaxbbaxlnadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 1 )( 1 )( )(1 )(11 )(1 11)( 1A 01 )(A B)A( ,)( )( )( 1)( 72222222222222于是有即则设的定义域为被积函数证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 4 -()C baxb bax lnbbaxadxbaxxbaxtCtb t lnbtaC t lnabtatabdttabdtadttabdttabttbdxbaxx tabttbtatbbaxxdtadx ,btax,t tbaxabx|

11、xbaxx)x(fC baxb bax lnbbaxadxbaxx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+23222333323323223222222222222222232221)( )2(1 21 12112)( 2)()( 11 )0( )( 21)( 8代入上式得：将则令的定义域为被积函数证明：C|xbax|lnbbaxb Cbaxbb|axlnb|x|lnb dxbaxbadxbaxbadxxbbaxxdxbaDbaBbA 1Ab0DBbAab20BaAa AbDBbAab2xBaAaxDxBbxBaxAabx2AbxAa DxbaxBxbaxA1 baxDbaxBxAbaxx

12、abx|xbaxx)x(fC|xbax|lnbbaxbbaxxdx.22222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+2222222222221)(11111)(1111)( 1 )()( )()( )()(1 )(1 1)(1)( 9于是有则设：的定义域为证明：被积函数高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 5 -（二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018）CbaxaCbaxabaxdbaxadxbaxCbaxadxbax+=+=+=+=+3121213)(32 )(21111)()(1 )(

13、32 .10证明：CbaxbaxaCbaxbbaxadxbaxxbaxtCbtatCtabtadtabdtadtbttadtattabtdxbaxxtabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+32322233252325224222232)()23(152 )(5)( 3152 )53(152 32523252 )(22 , 2 , , )0( )()23(152 .11代入上式得：将则令证明：CbaxbabxxaabaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtabtabtaCtabtabtadttabdtt

14、abdttadtbttbttadxbaxxabttbttabtbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+3222322223322243353332731432132163432326332532232522222322232)()81215(1052 )(4235301515 )(1052 )423515(1052 543272 411421126112 422 )2(2 2)( , 2 , , )0( )()81215(1052 .12代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uD

15、aniel Lau- 6 -CbaxbaxaCbaxabbaxbaxadxbaxxbaxtCtabtaCtabtabdtadttadtatatbtdxbaxxdtatdxabtxttbaxCbaxbaxadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+)()2(32 )(2)()(32 232 22112 22 2 , 2 , , )0( )()2(32 .132222322122222222代入上式得：将则令证明：CbaxbabxxaaCbaxbaxbbabxbxabaxadxbaxxbaxtCbtbtatCtbtbtadttabdtbadttadtbtbtadtattabtdxbaxxdtatd

16、xabtxttbaxCbaxbabxxaadxbaxx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)()843(152 )()(1015)2(3)(152 )10153(152 )3251(2 422 )2(2 21)( , 2 , , )0( )()843(152 .142223222232224332532323432243222222232代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 7 -+=+=+=+=+=+=+=+)0( 2)0( 1 2 , 1 2 t 2 )(122 0 . 2 1 1 )(122 0b . 1 2 21 ,

17、 2 , , )0( )0( 2)0( 1 .15222222222bCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdxCbbaxarctanbbaxxdxbaxtCbarctanbdtbtdtbtbCbbaxbbaxlnbbaxxdxbaxtCbtbtlnbdtbtdtbtdtbtdtattabtbaxxdxdtatdxabtxttbaxbCbbaxarctanbbCbbaxbbaxlnbbaxxdx得：综合讨论代入上式得：将，时当代入上式得：将，时当则令证明：Caxaxlnaaxdx+= 21 21 22：公式Caxarctanaaxdx+=+1 19 22：公式高等数学讲义积

18、分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 8 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbabxbaxdxbaxxbabxbaxdxbaxxbadxbaxaxbbxbaxdxbaxxbabaxdxbbxbaxdxbaxxbaxdbaxbdxbaxxbadxxbaxbdxbaxxbabaxxdxbbaBbBaAbaxxxbaxBbaxxbaxxbaxxdxbabxbaxbaxxdx 2 121 )(2111 111 1 11 11 1BA 10 )B( A1 , A1 2 .162122222于是有则设证明： 2 212 )(2 2122 122 1 ,

19、122 122 2 2 2 2 , , )0( 2 .172222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxdxbbaxdxbaxabbaxbbaxdxxbaxbaxtdxtabtbtdtbtbtdxxbaxdtbtRbdtbtbtdtbtbdtdtbtbbtdtbttdtatbtatdxxbaxdtatdxabtxttbaxbaxxdxbbaxdxxbax代入上式得：将不能明确积分符号可正可负取值为则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 9 -（三）含有（三）含有（三）含有（三）含有22ax的积分的积分的积分的积分

20、（1921） 2 2)(1 1 1 2 .182122+=+=+=+=+=+baxxdxaxbaxdxabaxxxbaxbaxdxxbaxxdbaxdxxbaxbaxxdxaxbaxdxxbax证明：Caxarctanaaxdxaxarctantaxarctan ttanta xCtadtat dtsecatsecaaxdxtsecattanadxaxt dtsecatantaddxttantaxCaxarctanaaxdx2222222+=+=+=+=+=+=+abax的积分的积分的积分的积分（2228） )0( 21)0( 1 2 , 1 21 121 )(11 1)(11)(11 0 .

21、 2 1 C1 )(11 1)(1111 0b . 1 )( )0( 21)0( 1 .222222222222222222+=+=+=+=+=+bCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdxCbxabxalnabCabxabxlnaabdxabxabaxdxaabxaabxbaxbCxbaarctanabxbaarctanbaadxabxabaxdxaabxaabxbax0abCbxabxalnabbCxbaarctanabbaxdx得：综合讨论，时当，时当证明：Cb axlnabaxdbaxadxbaxdxbaxxaCbaxlnadxbaxx22+=+=+=+=+ 21 )(

22、121 121 )0( 21 .23222222证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 12 -+=+=+=+=+=+baxdxabaxdxbaxabdxbabdxbaxbabdxbbaxaxabdxbaxxabaxdxabaxdxbaxx2222222222 11 )11( 1 )0( .24证明： C21 21 21 )(12112112121)(121)( 11 )()(1 )(1 )(121 )()( )( C21)( .25222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+baxxlnbCbax ln

23、 bxlnbbaxdbaxbdxxb dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0abaxxlnbbaxxdx22222222222222于是有则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 13 -+=+=+=+=+=+=+=+=+baxdxbabx dxbaxbadxxb dxbaxbabxbaxxdxbaBbA Ab0BAaAbBAax BxbaxAbaxBxAbaxxabaxdxbabxbaxxdx222222222222

24、1 111 )(1)( 11 )()(1 )(1 0)( 1)( .2622222于是有则设：证明：CbxxbaxlnbaCbax ln babxxlnbadxbaxbadxxbdxxbabaxxdxbaCbaAbB BbBaAbCAaBbxBaAbxCAaCxbaxBbaxAxbaxCxBxAbaxxdxbaxxdxbaxxxbaxxdx0aCbxxbaxlnbabaxxdx222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+22222222222224222322244244244322223212 221 2 1212112 )( 1100 )()( )()(1 )(1

25、 )(121 )()( )( 212)( .27于是有则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 14 -（五）含有（五）含有（五）含有（五）含有) 0( 2+acbxax的积分的积分的积分的积分（2930）+=+=+=+=+baxdxbbaxbxdxbaxbbbaxabxbbaxdxbaxbbabxbaxaxdxbaxbbdxxabbaxaxdxbaxbabxbaxaxbBbA AbBaAa Abx)BaAa(BaxbaxAbaxBaxAbaxaxdxaxbaxbaxaxaxdbaxbaxaxbaxdaxbaxdx0abaxdxbbaxbxb

26、axdx.222222222222222222222222222上式于是有，则设：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 15 -（六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0( 22+aax的积分的积分的积分的积分（3144）+=+=+=+=+=+cbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxabcbxaxdcbxaxadxcbxaxbadxcbxaxbaxadxcbxaxbbaxadxcbxaxxacbxaxdxabcbxaxlnadxcbxaxx222222222222 2 21 12)(121 21221 221 )0( 2 21 .30

27、证明：C)( , 1 |AB| , |AC| BRt 1 , 01 , 22 | , ) )22( 1 )0( C)( 31222222322222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxdx0xaxC xax lnClna xax lnC axax lnC tant sect lnaxdxaxtant aaxcostsectaxx,a|BC| ,tABCC tant sect lndtsectdtt seca sectaaxdx sectaaxcostsectt sectaaxtdt secatanta(ddx

28、,ttantaxRx|xax)x(faaxxlnCaxarshaxdx.22则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：Cttantseclntdtsec+=| 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 16 - 1)( |AB|AC|sint |AB| , |AC|, | , BRt 1cos1 11 1)( )( , 01 , 22 |)( , ) ( , )22( |)(1)( )0( )( .3222223222222222322322322322222322CaxaxCsintaaxdxaxxaxxaBCtABCCsintatdtadt

29、sectadtt secat secaaxdxt secaaxcostsecttt secaaxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxfaCaxaxaxdx23333332+=+=+=+=+=+=+=+=+=+则中，设在则可令的定义域为被积函数证明：CaxdxaxxaxtCtdtdtatttatdxaxxdtatttdtatdxatxttaxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+22222222222222212222222222 2)(21 , )0( )0( .33代入上式得：将则令证明：CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+

30、=+=+=+=+2223122222322223222322322223221 )(231121 )()(21 )(21)()( )0( 1)( .34证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 17 - C)( 22 C)( )( 22 31)( C)( 1 39)( C)( 22 1 )0( C)( 22 .35222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaaxxaxxlnaaxxlnaaxxdxaxxaxxlnxdaxaxxlnaaxxdxaxxdaxa

31、dxaxdxaxaaxdxaxxaaxxlnaaxxdxaxx公式公式证明： C)( )( )( 1, |AB| , |AC|, | , BRt cos1 1 )( )( , 01 , 22 )( ) ( , )22( |)()( )0( C)( )( .362222322222222222223222222222322232223222322222223222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+axxlnaxxdxaxx0xaxClnaaxx xax lnCaxx axax lnCsint tant sectlndxaxxaaxcost sect ,axtant axxsint

32、axxaBCtABCCsint tant sectlndttdtsectdtsectdtsectdtsecttsecdtsectttantdt secat secattandxaxxt secattanaxxcostsectt| t seca|ttanaaxxtdt secatantaddx ttantaxRxxaxxxfaaxxlnaxxdxaxx1111222323233222则中，设在，则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 18 - 1 )( 21 )(

33、21 )( 21 21 1 1 2)(21 , )0( )0( 1 .3722222222222222222222222222222212222222222CxaaxlnaCxaax lnaCaaxaax lnaaxxdxaxtCatat lnaCatat lnadtatdtattattaxxdxdtatttdtatdxatxttaxaCxaaxlnaaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式bnlogblogana= 提示： 1 11 )1 (211121 )1 (1121 1221 11111 1 , )0( 1

34、11 )0( .3822222222221122222222222222222222222222222CxaaxaxxdxxtCtaaCtaatadtaadttataadttatdtatxdaxtxtxtxdaxaxxdxaCxaaxaxxdx+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 19 - Caxxln2aax2xdxaxaxxlnaaxxdxaxCaxxlnadxaxadxaxxdxaxaxxdxaxxdxaxdxaxxaxxaxdxaxxdxaxa Caxxln2aax2xdx

36、2dtantsectasectdtdtantsectdtcostdttcoscostdttcostcos dttcostsintantdtsecttant tantdsect tantdsectatantsecta dtantsectatantasectdadxaxsectaaxtcostsec,2t2,sectattanaax 2t2tantax0a Caxxln2aax2xdxax.222222222222222222222222222212222323222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+)( )( 2121 1 Rt 11 87 )(

37、1 1111 )( , 01 1 )( 2 )()( 39综合得则，中，可设在联立有）（公式又联立有又，则令：证法tsecttan221 =+提示：)0( )(131+=+a Caxxlndxax2222：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 20 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxCxaxln83aax8xa3axaxxCaxaxlna83axaax8a3axaaxaxatantdtsecaaaxt sect ,axtant axxaBCtABCCtantsectlna83tantsec

38、ta83tanttsecatantdtsecaCtantsectlntantsect dtsecttantsecttantdtseca dttsectantdsect dtsectdttsectantsectsectdttsectantsectsectdtttantantsectsectdtanttantsecttantdsecttantdsectatanttsecatantdtsecatantdsectatantdtsecatanttsecatantdsecttsecatanttsecatantdsectttanatanttsecadttsecttanatanttsecadttantsect

39、tsectantatanttsecatsecdtantatanttsecatantdtsecatantadtsecadxaxtsecaaxcostsecttt secaax ttantaxRxxaxxfaCaxxlnaaxaxxdxax4333333223333232332323333333333)( 83)52(8 )( )(4 4 cos1 |AB| , |AC|, | , BRt 41 21 21 21 21 ) 1( ) 3 (41 3 3 ) 1(3 3 3 3 ) ( )( )( , 01 , 22 |)( , )22( |)()( )0( )( 83)52(8 )( .40224

40、22223222222222221224224223224422221444414444444444444444443223223223222242222322则中，设在联立得联立得：又移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 21 -CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx+=+=+=+=+=+32221122222122221222232222)(31 )(211121 )()(21 )(21 )0( )(31 .41证明：高等数

41、学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 22 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+CaxxlnaaxaxxdxaxxaxxlnaxaxlnaxaxCxaxlnaaxaxxCaxxxaxlnaaxxaCaaxaxaaxaxlnaaaxaxatdsectsectantaaaxt sect ,axtant axxaBCtABCCsectttanatantsectlnatantsectatdsectsectantaCtantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant

42、 dtsecttantsectdtsectttan dtsecttantsectsectdtttantantsecttdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtanttsecttanatdsectantatsecttanatdsectantatdsectsectantadsecttanttsecatsecttanatdsectantadtttantsecatsecttanatdsectantatdtantsecatsecttanatdsectantatdsecttanatdsectantatdsecttantantatdsectsectantatdtsecttan

43、atantdsectttanatantadsectttanadxaxxsectttanaaxxcostsectt sectattanaaxx ttantaxRxxaxxxfaCaxxlnaaxaxxdxaxx23222333232333322322222)( 8)2(8 )( 8 8 0 8)2(8 4 88 4 88 cos1 |AB| , |AC|, | , BRt 4 88 21 21 21 21 )1 ( 4 4 ) (41 3 3 )1 ( ) ( )( )( , 01 , 22 |)( , )22( |)( )0( )( 8)2(8 .42224222222222422422224

44、222222232242241223342242244222214444144444244434444444444443222322222222222242222222，则中，设在联立得：移项并整理得：移项并整理的：则可令的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 23 - )( )( 2 )( 2 21 1 2)(21 , )0( 0|)( )0( .4322222222222222222222222222222222222222222222122222222222222

45、CxaaxlnaaxCxaax lnaaxCaaxaax lnaaxdxxaxaxtCatat lnatCatat lnaatdtatadtdtataatdtattdtattattdxxaxdtatttdtatdxatxatttaxxxxaxxfaCxaaxlnaaxdxxax+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+代入上式得：将则且令的定义域为被积函数证明：C)( 2 , 1 C)( , 0 2. C)( 0 1 |AB| , |AC|, | , BRt 1 1 1 )1 ( , 01 , 20 , ) ( , )20( , 0 1. 0|)( )0( C)( .44222222222

46、22222222222222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+xaxlnxaxdxxaxxaxlnxaxdxxaxxxaxlnxaxdxxaxxaxClna xax lnxaxCxax axax lndxxaxaaxcost sect ,axtant ,axxsintaxxaBCtABCCsint tant sectlndsinttsindtsectdttsincostdtsectdttsintcoscostdtsectdtttansectdtsectdtttanttansecttd

47、t secattan asectdxxaxttan asectxaxcostsecttttan a secta xaxtdt secatantaddx ttantaxxxxxaxxfaaxxlnxaxdxxax1112222222222222得：综合讨论同理可证得：时当则中，设在，则可令时当的定义域为被积函数证明：Ctantsectlndtt+=| | sec 87 ：公式C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 24 -（七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0( 22aax的积分的积分的积分的积分（

48、4558） 2 1 | | |1| | 1 . 2 1 Rt 20 )20( . 1 1 1 )0( 453 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,CaxxlnCaaxxlnCaxxln CaxxlnCalnadaxdxx,xax,axC|axx|ln|aaxx|ln| ttantsec|lnaxdxaax|BC|AC|ttan,axtcostsecax|AC| ,x|AB|a|BC| , tBABCC |tantsect|ln sectdtdttantatantsectaaxdx tantaaxt tanta1tsecaax tantdtsectadxtsectax,axaxa

49、x|xaxf(x)a C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx.22122522422242242242222222222222222222222222222122+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证法Cttantseclntdtsec+=| 87 ：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 25 - 2 1 | | |1)( | 1 . 2 | . 1 1 2 )0( 45 C|axx|lnCa|x|arsh|x|xaxdx,Caxx

51、 26 -Caxaxaxdx,CaxaxaxdxxCaaadadaxdxx,xax,axCaxaxaxdxxaxtsinax|AC| ,x|AB|a|BC| , tBABCCtsinasintdtsinadttsintcosadttsintcostcosa dtttansectadtttanatantsectaaxdx ttanaaxtantt ttanaax tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxf(x)a Caxaxaxdx.222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=232323332322222222323333333

52、33323)( 2 1 )( )()( 1 )()( . 2 )( Rt 1 11 111 1)( )( , 0 20 )( )20( . 1 )(1 )0( )( 46得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明 )(211121 )()(21 )(21 )0( .47211222221221CaxCaxaxdaxdxaxdxaxxaCaxdxaxx222222222222+=+=+=：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 27 - 1)( 2 1 1)( 1)( 1 )()( . 2 11

53、)( Rt 11 11 1 )( )( 20 )( )20( . 1 )( )0( 1)( 48333333222232332333333 Caxdxaxx, CaxdxaxxxCadadadxaxxx,xax,axCaxCaxaadxaxxaxatcotax|AC| ,x|AB|a|BC| , tBABCCtcotatdtcscadttsinadtttantsecadttantsectattanasectdxaxx ttanasectaxxt ttanasectaaxx tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxxf(x)a Caxdxaxx.22222222222222

54、222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=得：综合讨论代入得：将可知由讨论即时，令即当则，中，可设在，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明CaxxlnaaxxdxaxxCaxxlnaaxdxaCaxxlnaaxxdxaxdxaxadxaxdxaxaaxdxaxaaxdxaxxa Caxxlnaaxxdxaxx.22222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+= 22 45)( 53)( 22 1 )( )0( 22 49222222222222222得：由公式公式证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l

55、 La uDaniel Lau- 28 -Caxxlnaxxdxaxx ,CaxxlnaxxCxaxlnalnaxxCxaxxaxlnaxxCxaxxaxxaxlnaxxdxaxxCaxxlnaxxdxaxxxCalnadadadxaxxx,xax,axCaxxlnaxxCaaxxlnaxxdxaxxaxtsecaaxttanxaxtsinax|AC| ,x|AB|a|BC| ,tBABCCtsecttanlntsinCtcostsinlntsinCtsintsinlntsinCtsintsinlntsinCtsinlntsinlntsintsindtsintsindtsintsindtsin

56、tsindtsintsintsindtsintsindtsintsindtsintsindtsintsindtsintsindtsintsintsindtsintsindttcostsintcosdttcostsindttsintcostcosdtttantsecdttantsectattanatsecdxaxx ttanatsecaxxt ttanatsecaaxx tantdtsectadxtsectax,axaxax|xaxxf(x)a Caxxlnaxxdxaxx.2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

57、222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+= )( 2 1 1 2 )( )( )( )( )( 1 )()( . 2 )( , , Rt 1 1)(1( 211 11( 211 11 211 1 21 1 211 )1(1121) 1(1121 1 )1111(21 1 11 111 1 )11 1()(1 1 11 )( )( 20 )( )20( . 1 )( )0( )( 503223232323232232212212211222222222222222323323232323322323232得：综合讨论代入得：将可知由

58、讨论即时，令即当则，中，可设在），则，可设时当或的定义域为被积函数：证明blognblogana=提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 29 - | 1 2 1 1 1 1 . 2 1 1 1 20 . 1 1 1 )0( | 1 511222 Cxaarccosaaxxdx,CxaarccosaCaarccosaadaxxdxx,xax,axCxaarccosaaxxdxxaarccost,xacostsect,ax Cta dtadttantsectatanttsecaaxxdx tdtantsectadx ,tantsecta1tsect

59、secaaxx )t(sectax,axaxax|xaxxf(x)a Cxaarccosaaxxdx.222222222222222222+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当则，可设时当或的定义域为被积函数：证法高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 30 - 1 2 1 1 1 1 . 2 1) ( 1 ) ( , ) ( Rt 1 ) ( 1111111 )0( . 1 1 2 )0( | 1 51 C|x|a arccosaaxxdx,Cxaarccosa Caarccosaadaxxdxx,xax,axCxa arcc

60、osaCshtarctanaaxxdx Cxaarccos)arctan(sht xashtarctan coscosyxa|AB|BC|cosy x|BC|AC|AB|ax|AC|shtarctany a|BC| ,yB,aaxshttanyABCaaxtch sht ,axcht cht,ax Cshtarctana dshttshadttchchta dtchtadtshtchtashtaaxxdx dt shtadx ,shtchtashtachtaaxx ttchax,axaxax|xaxxf(x)a Cxaarccosaaxxdx.2222222222222222222222222

61、2222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成综合讨论可知由讨论即时，令即当即中，设在则，可设时当或的定义域为被积函数：证法Caxarctanaaxdx+=+ 1 19 22：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 31 - 2 1 1 . 2 0 1 1 )1(11 1 , 1 1 )1 (211121 )1 ()1 (21 )1 (21 1 )1( 111 , 1 )10( 1 . 1 1 )0( 522222222222222222222211222222122222122222223222322222Cxaaxaxxdx,Cxaa

62、xaxxdxxCaaadaxxdxx,xax,axCxaaxaxxdxaxCxaxaCxaxaCxaaaxxdxxttxCataCtaatadtaadttadttatdtttataxxdx tataxx dttdxattx,axaxax|xaxxf(x)a Cxaaxaxxdx.2222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=得：综合讨论代入上式得：将可知由讨论即时，令即当代入上式得：即将则，可设时当或的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 32 -Caxxlnaaxxdx

63、ax ,tsectaxax Caxxlnaaxxaxaxlnaaxaaxatsecdttanadxaxaxtsecaaxttanax|AC| ,x|AB|a|BC| ,tBABCttantseclnatsecttanatsecdttanatsecdttanattantseclnatsecttanatsecdttanadttsecatsecttanadtttantsecadttsecatsecttanadtttantsecatsecttanadttsecatsecttanattandtsecatsecttanatsecdttanasectadttanadxax ttanaaxt ttanaaxt

64、sectax,axaxax|xaxf(x)a Caxxlnaaxxdxax.2222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+= 22 2 1 )02( . 2 22 C 22 , Rt C 22 )(1 )( 20 )20( . 1 )0( 22 53221222122222222222222223222222得：综合讨论同理可证时，可设当则，中，可设在移项并整理得：，则，可设时当或的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 33 -CaxxlnaaxaxxCaxxlnaaxaxaxxa

65、xCaxxlnaaxaxaxxdxaxCaxxlnaaxxxdaxxdaxaaxxdxax xdaxaxdaxaxxxdaxaaxaxxxdaxxaxxxdaxxxaxxaxxdaxxdxaxaCaxxlnaaxaxxdxax.+=+=+=+=+=+= 83)52(8 8383)44( 8383)(4 )( 53) ( 22 )( )(43)(4 )( )(3 )(3)( )(3)( )(3)( )()2(23)( )( )( )( )0( 83)52(8 )( 542242222224222222322422223223222222221222122223223222122223222322

66、2122222232221222232221222322232223223222242222322联立得：公式又移项并整理得：证明：C )(31 )(211121 )( )(21 21 )0( C )(31 55322211222221222222232222+=+=+=+axCaxaxdaxdxaxdxaxxaaxdxaxx.证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 34 -Caxxlnaaxaxxdxaxx,CaxxlnaaxaxxdxaxxxCalnaa)a(dadxaxxx, xax,axCaxxlnaaxaxxCaxxlnaaxxaaxa

67、xxCaaxxlnaaxaaxaaxaaxaxadtttandtsecaaxtcos sect ,aaxtant axx,a|BC| ,tABCCtantsectlnatantsectasectttanadtttandtsecaCtantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant dtsecttantsectdtsectttan dtsecttantsectsectdtttantantsecttdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtanttsecdttanattantsecadtttandtsecatsec

68、dttanadttsecttanattantsecatsecdttanatsectdsecttanattantsecatsecdtsecttanattantsecatsecdttanattantsecattandsectadtttantsecsecta dtttandtsecasecta d tanttsecadxaxxtanttsecaaxxttanttant atsecaaxx ,tsectaxaxaxax|xaxx)x(faCaxxlnaaxaxxdxaxx.2332322323223222+=+=+=+= 8)2(8 21 8)2(8 828 1 2. 8)2(8 88)(4 884

69、1 |AC| , |AB| BRt 884 21 21 21 21 )1 ( 44 3 33 3 33 ) 1( 33 33 3 33 ) ( , 0 , 20 | )20( 1. )0( 8)2(8 5622422222222242222222224222222222222422222224222222212242242232244222214444143444324344243424343434342443222322222222222242222222得：综合讨论代入上式得：将得：由讨论则时，令即当则中，设在将式代入式得：移项并整理得：又移项并整理得：则可令时，当或的定义域为被积函数证明

70、：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 35 - Cxaarccosaaxdxxax,Cxa arccosaax Ca arccosaadadxxax x,xax,ax Cxa arccosaax Ctatantadxxax aax|BC|AC|tant ax|AC|x|AB|a, tABCxaarccost ,xacost sect,ax Ctatanta dtdttcosadttcostcosadttcostsina tdttanadtsectatantsectatantadxxax t d tantsectadx ,sectatantaxax

71、)2t(0 sectax,axaxax|xxaxf(x)a Cxaarccosaaxdxxax.222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=| 2 1 1 . 2 , |BC|BRt 11 , . 1 1 )0( | 57，可写成：综合讨论可知由讨论即时，令即当，则中，设在则可设时当或的定义域为被积函数：证法高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 36 -chttshshtchttshtch22=)( )( 1 ：提示Caxarctanaaxdx22+=+ 1 19 ：公式 2 1 1 . 2 )

72、 () ( , ) ( Rt 1)(111 0 . 1 2 )0( 57C|x|aarccosaaxdxxax,Cxaarccosaax Caarccosaadadxxaxx,xax,axCxaarccosaaxdxxax xaarccosshtarctan xashtarctan coscosyxa|AB|BC|cosy x|BC|AC|AB|ax|AC|shtarctany a|BC| ,yB,aaxshttanyABCaaxtch sht ,axcht cht,ax C shtarctanashta dshttshachtdta dttchchtachtdtadtchttcha dtch

73、ttshadt shtachtshtdxxax dt shtadx ,chtsht chtashtaxax )t(tchax,axaxax|xxaxf(x)a C|x|aarccosaaxdxxax.222222222222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=，可写成：综合讨论可知由讨论即时，令即当即中，设在则，可设时当或的定义域为被积函数：证法高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 37 -（八）含有（八）含有（八）含有（八）含有)0( 22axa的积分的积分的积分的积分（5972）Caxxlnaxd

74、x+= 452222：公式CaxarcsinxadxaxarcsinttsinaxCtdtdttcosatcosaxadx tcosaxa tcos ,t tcosaxadttcosadxtsintaxaxa|xxa)x(fa Caxarcsinxadx.2222+=+=+=22222222 1110 22 11 , )22( 1 )0( 59则，可设的定义域为被积函数：证明CaxxlnxaxdxaxxaxdxaxxxxaxaxdxxaxxdaxdxxaxaCaxxlnxaxdxxax.+=+=+=+=+= 1 )(2211 1 1 )0( 58222222222122222222222222

75、222222证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 38 -Cxaaxxadxxaxttanxa|BC| ,x|AC|a|AB| , tBABCCttanadttsecadttcosadttcosatcosaxadx tcosaxa tcos ,t tcosaxadttcosadxtsintaxaxa|xxa)x(fa Cxaaxxadx.2222+=+=+=22232222222333223332233322322222322)( Rt 1 1 1 1)(1)(10 22 1)(1 , )22( )(1 )0( )( 60则，中，设在则，可设的

76、定义域为被积函数：证明C )(211121 )( )(21 )(21 )0( C .6122211222212222122222222+=+=+=xaCxaxadxadxxadxxaxaxadxxax证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 39 -C 1 )(231121 )( )(21 )(21 )( )0( C 1 )( .6222231222223222232232222322+=+=+=xaCxaxadxadxxadxxaxaxadxxax证明：Caxarcsinaxaxdxxaxaxa , costaxsintxaBCxACaABtBA

77、BCCcostsintataCsin2tatatdtadtadttadttsinadttacosttsinadxxaxcosttsinaxaxt tcost atsinaxaxdttadxtsint axaxaxxaxxf0aCaxarcsinaxaxdxxax2222222+=+=+=+=22 |, | |, Rt 22 42 )2( 2cos42 22cos1 cos 0cos , 22 , cos )22( | )( )( 22 .632222222222222222222222222222222222则，中，设在则，可设的定义域为被积函数：证明costsint sin2t t2sin

78、tsintcoscos2t222=21 提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 40 -CaxarcsinxaxdxxaxxaxtantxaBCxACaABtBABCCttantdttantddtdttcosdttcostcosdttcostsindttatcosatsindxxaxtcosatsinxaxt tt cos atsinaxaxdttadxtsint axaxaxxaxxf0aCaxarcsinxaxdxxax22222222222+=+=+=223222223222332223332223222223222 )( |, | |,

79、Rt 1 1 cos )( 0cos , 22 )( , cos )22( | )()( )( )( .64则，中，设在则，可设的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 41 - 1 2 1 ),20( 0 2 1 0 1 ) 1( 1 1 1 , Rt 1 1 1 1 21 ) 1(11 21 11 21 1 21 1 21 1 11211 1121 11 1121 111 1 11 10 02 )02( 0 1. 0 1 )( 1 652222222232222222212211222222222222222Cxxaalnax

80、axdx,tsint axax.CxxaalnaxaxdxxaaCxxaalnaCxxaalnaCxaxalnaxaxdxxasintcsctxxacottxa|BC| ,x|AC|a|AB| ,tBABCCcsctcottlnaCsintcostlnaCtsin)cost(lnaCtcos)cost(lnaCcostcostlnaCcostlnacostlna)tcos(dcosta)t(cosdcostatcosd)costcost(atcosdtcosadttsinsintadtsintadttcosatcossintaxaxdx tcossintaxax tcos ,t | tcosa

81、|sintaxax dttcosadxtsint axxaxaxa|xxax)x(f0a Cxxaalnaxaxdx.22222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=得：综合讨论同理可证可设时，当则，中，设在则，可设时，当且的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 42 -Cxaxaxaxdxtsint axaxCxaxaxaxdxxxacottxaBCxACaABtBABCCcottadttcscadttsinadttacosttsinaxaxdxcosttsinaxaxt ttatsinaxax

82、dttadxtsint axxaxaxaxxaxxf0aCxaxaxaxdx223232+=+=222222222222222222222222222222222222222 2 , 1 ),20( 0 . 2 |, | |, Rt 1 1 11 cos 1 11 0cos , 22 cos 111 , cos )02( 0 1. 0| 1)( )( .66得：综合讨论同理可证可设时，当则，中，设在则，可设时，当且的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 43 -CaxarcsinaxaxCaxaxaaaxarcsinadxxaa

83、xa , costaxsintxa|BC| ,x|AC|a|AB| ,tBABCCcostsintatadxxacostsintatacostsintadtadxxadttsinacostsinta d costsintacostsintasintdcostadttcosadxxadttsinadtadt)tsin(adttcosadttcosatcosadxxa tcosaxa tcos ,t tcosaxadttcosadxtsint axaxa|xxa)x(f0a Caxarcsinaxaxdxxa.2222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=22 22 Rt 22

84、 2 1 0 22 , )22( )( 22 672222222222222222222222222222222222则，中，设在得：由又则，可设的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 44 -CaxarcsinaxaxaxCaxarcsinaxaaxxaxxaCaxarcsinaxaaxxaxdxxaCaxarcsinaxaxxdxaxdxaaxaxdxxa xdxaaxdxaxaxxdxaaaxxaxxdxaxxaxxdxaxxxaxxaxdxaxdxxaaCaxarcsinaxaxaxdxxa+=+=+=+=+=+=+=+

85、=+=422224222223242222322322222212221222232232221222232223222122222232221222232221222322232223223224222232283)25(8 8383)44( 8383)(4 )( 67) ( 22 )( )(43)(4 )( )(3 )(3)( )(3)( )(3)( )()2(23)( )( )( )( )0( 83)25(8 )( .68联立得：公式又移项并整理得：证明：CxaCtsinadxxaxaxaaxatsinax sinttsint a xCtsinaCtcosa dcosttcosasint

86、 dttadttacostsintadxxaxcost sintaxaxt ttataxaxdttadxtsint axaxaxxaxxfaCxadxxax22232+=+=+=32223322332223222232333323222222222232222)(31 )1 ( 3 )()()(1 , )22( )1 (3 3 cos cos 0cos , 22 |cos|sin , cos )22( | )( )0( )(31 .69则，可设的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 45 -CaxarcsinaxaaxxCaxa

87、rcsinaaxaxaaaxaxaadxxaxax sint ,axacost xaxaBtABCtacostsintatsintadxxaxtcostsintdtcostsintcostdsint dttsincostdsint dttsindtcostsintdttsin costsintdttcostsintsintdcostcostsintcostdsintd costsintatsinta dttcostsinadxxaxdttcostsinad costsintatsintad costtcossintad costsintatsintad costtcossintatsintat

88、 d costsinatsintatsindtcosa dttcostcostsina dttcostsinasinta d costtsinadxxaxcosttsinaxaxttcost atsinaxax tsintaxaxaxxaxxfaCaxarcsinaxaaxxdxxax22222222233222222+=+=+=+=+=+=+=+=8)2(8 884 |BC| , |AC|, |A| , BRt C8 8cos4 C21 21 21 21 ) 1 ( cos 4cos4 3 3cos3 3 3cos3 )(13cos3 3cos3 3 33 )( , 0cos , 22 |

89、, )22( |)( )0( 8)2(8 .7042222422433224222222244342221434422224434443443443444432223222222222242222222则中，设在联立得：联立得：又移项并整理得：则可令的定义域为被积函数证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 46 - 2 , 1 ),20( 0 . 2 0 1 )1( , 1 , |, | |, Rt cos cos 1 cos ) 1( 2 cos ) 1(1) 1( 2 cos 11 2 cos 1 2 1 2 )1( 112) 1(cos 1

90、12 cos)11 11(2 11 1 1 cos coscos cos 0cos , 02 |cos| cos )02( 0 1. 0| 1)( )( .7122222222222222322222222222222222222222222122112222222222222222Cxxaalnaxadxxxatsint axaxCxxaalnaxadxxxaxaaCaxaaxxaalnaCaxaaxxaalnaCaxaaxaxalnadxxxaaxacostxasintcsctxxacottxaBCxACaABtBABCCtacsctcottlnaCtasintcostlnaCtatsin

91、costlnaCtatcoscostlnaCtacostcostlnaCtacostlnacostlnadtsintacostdcostatdcostadtsintatdcostcostadtsinta dcosttcosadtsintadttsinsintadtsintadtsintadtsinttsinadtsinttadttasinttdxxxasinttxxat t sintataxxadttadxtsint axxaxaxaxxaxxf0aCxxaalnaxadxxxa222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=得：综合讨论同理可证可设时，当则，中，设在则，可设时，当且

92、的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 47 -Caxarcsinxxadxxxatsint axaxCaxarcsinxxadxxxaxxacottxaBCxACaABtBABCCtcott dttdtcscdttsintsindttsintcosdttatsinatdxxxatsinatxxat ttsinataxxadttadxtsint axxaxaxaxxxaxf0aCaxarcsinxxadxxxa22222222+=+=22222222222222222222222222222222 2 , 1 ),20( 0 .

93、 2 |, | |, Rt 1 cos cos cos 0cos , 02 cos , cos )02( 0 1. 0| )( )( .72得：综合讨论同理可证可设时，当则，中，设在则，可设时，当且的定义域为被积函数：证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 48 -（九）含有（九）含有（九）含有（九）含有)0( 2+acbxa的积分的积分的积分的积分（7378）C22 1 )(42 1 )()2(2 1 )2()()2(11 )2()()2(122 )()2(12 )()2(41 4)2(41 0 0 01 )0( C22 1 . 73222222

94、22222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ cbxaxabaxln aC cbxaxabaxln aC 4acbbaxbaxln abaxd4acbbaxabaxd4acbbaxaadx4acbbaxacbxaxdx4acbbaxabacbaxacbxax4acbacbxaxcbxaxf(x)a cbxaxabaxln acbxaxdx222222恒成立成立，则若被积函数证明：C cbxaxabaxln ab4accbxaxabaxC cbxaxabaxln ab4accbxaxabaxaC 4acbbaxbaxln ab4accbxaxabaxa 4acbba

95、xbaxln 4acb4acbbaxbaxaabaxd4acbbaxaadx4acbbaxadxcbxax4acbbaxabacbaxacbxax4acbacbxaxcbxaxf(x)a cbxaxabaxln abaccbxaxabaxdxcbxax22222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+23223232232322222222222222222322222 842 )(42 822241)()2(2 822241)()2(2 2)()2(2241 )2()()2(221 )()2(21 )()2(41 4)2(41 0 0 0 )0( C22 8442 .74恒

96、成立成立，则若被积函数证明： Caxxlnaaxxdxax222222+= 22 53 2：公式C|axx|lnaxdx2222+= 45：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 49 -()()C22 21 22 2 )73 ( 22 1212 121 12)(21 122121 2221 )2()( ) 0( C22 21 .7523221231222222212222222322+=+=+=+=+=+=+=+=+ cbxaxabaxln abcbxaxadxcbxaxxC cbxaxabaxlnabC cbxaxabaxlnaabdxcbxa

97、xabdxcbxaxabcbxaxadxcbxaxabcbxaxdcbxaxadxcbxaxabdxbaxcbxaxadxababaxcbxaxdxcbxaxxdxbaxcbxaxda cbxaxabaxlnabcbxaxadxcbxaxx公式又上式变换成可将证明： C21 )2()(12 4)2(4 )2(41 0 0 01 )0( C21 . 672222222222+=+=+=+=+=+=+=+4acbbaxarcsinadxbax4acbaaxbxcdxabaxa4acbcbaxbaaxbxc4acbaaxbxcaxbxcf(x)a4acbbaxarcsinaaxbxcdx22222有

98、解成立，则若被积函数证明：有误原题： C212+=+4acbbaxarcisnaaxbxcdx2高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 50 -C2882 28)(482 22)2()(2241 )2( )2()(221 )2()(21 4)2(4 )2(41 0 0 0 )0( C2882 . 773232322322222222222322+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+4acbbaxarcsina4acbaxbxcabaxC4acbbaxarcsina4acbaxbxcaabaxC4acbbaxarcsin4acbbax4acbbaxa

99、baxdbax4acbaadxbax4acbadxaxbxcabaxa4acbcbaxbaaxbxc4acbaaxbxcaxbxcf(x)a4acbbaxarcsina4acbaxbxcabaxdxaxbxc2222222222222有解成立，则若被积函数证明： 22 6722222Caxarcsinaxaxdxxa+=：公式C221 22)(421 22)2()(21 )2( )2()(12)2( )2()(221 )2( )2()(221212 )2()(2 )2(41 )2(41 0 0 0 )0( C221 . 8732323322322322322222222222322+=+=+=

100、+=+=+=+=+=+=+=+=+4acbbaxarcsinabaxbxcaC4acbbaxarcsinabaxbxcaaC4acbbaxarcsinabbax4acbabaxdbax4acbabbaxdbax4acbbaxabaxdbax4acbbbaxaaadxbax4acbxadxaxbxcxbax4acbacbaxbaaxbxc4acbaaxbxcaxbxcxf(x)a4acbbaxarcsinabaxbxcadxaxbxcx22222222222有解成立，则若被积函数证明：Caxarcsinxadx+=22 : 59公式C 612222+=xadxxax：公式高等数学讲义积分公式By

101、 D a n i e l La uDaniel Lau- 51 -（十）含有（十）含有（十）含有（十）含有或或或或)(xbax的积分的积分的积分的积分（7982）bxaxC )( )()( C )( )()( C )()( C)( )( C) 1()( 11 )( C1)( 11 )( 11 )( C) 1(2 11 21)(2 11 )( 1 , 1 , 11 , 11 |AB| 1|AC| 1 |BC| B Rt 21 2112121 112121 111 1) 1(1 , ) 1( )2(0 )0( ) 1(1 )1 (1 )1 (1)(2 11 )( )1 (1)(2 11 21)(2

102、 )1 (1)(211)(2 )1 (1)(211)(2 )1 (111)(2)1 (11)(2 )1 ()(2)1 ()(2 )1 ()(2 1 )0( 0 : C )( )()( 79111122122122222222233232442242222222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=bxaxlnabbxaxbxbxaxlnabablnbabxaxbxbxaxablnbabxaxbxabbxbxaxbabxbxaxbxablnbadxbxaxbxaxtttbattlnbattbattlnbattlnbattttlnbat

103、tlnbadxbxaxttksintkcostkcotttksinkcsct tk ABCksinkcoscotk cscklndkksinksinkcosdkksindkksinksinkcosdkksindkksindkksinksindkksinkcosdkktankseckdktanksecktandttkdktanksecksecdktantkksecttdttdttdttbattlnbadttbattlnbadttbadttbadttabdttabdtttabdtttabdtttbadttbattdxbxaxdttbat dxtbtaxtbxaxtbxaxbxaxlnabbxaxb

104、xdxbxax.代入上式得：将，则，中，在，则可令对于，则，令可证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 52 -C)()( C)()( C)( )( C1)(1)( C111)(1)( 1 , 11 1|AB| 1|AC| 1 |BC| B Rt )()( 2412)(2)(2 2412 22121)2(121 11 )1 (1 , ) 1( )2(0 )0( )1 (1 )1 (1)(2 11 )( )1 (1)(2 11 21)(2 )1 (1)(2)(2 )1 (1)(211)(2 )1 (111)(2)1 (11)(2 )1 ()(2)1

105、()(2 )1 ()(2 1 )0( 0 : C )()( 80111221222222111222422242222222222222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=xbaxbxabaxarcsinabxbaxxbabaxarcsinababxbxbaxabxbaxabxbarcsinabdxxbaxxbaxtttabttarcsinabtttabttarcsinabdxxbaxttksintkcost k ABCCkcosksinabkabCksinkabkabdxxbaxCksinkdkkc

106、oskddkkcosdkkcosdkkseckdksecksecdttkdksecdtksectkktanttdttdttbattlnbadttbattlnbadttbaarcsintabdttabdttabdtttabdtttabdtttabdttabttdxxbaxdttabt dxtbtaxtxbaxtxbaxabaxarcsinabxbaxbxdxxbax.代入上式得：将，则，中，在，则可令对于，则，令可证明高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 53 - 2)( |BC|AC|AB| |BC| |AC| B Rt 2 )19 ( 2112 )

107、1 ()(211 |1 1)(| , )1 ()(2 1)( | 1 |1)( : )( 2)( 81222222222222222Cabaxarcsinxbaxdxabaxarcsin, abaxsinab xbax ABCxbaxarctanxbaxtanCxbaxarctanCtarctandttdttabttttabdxxbaxaxttabaxabdttabt dxttabaxtbtaxxbaxtdxxbaxaxxbaxdxbaCabaxarcsinxb)(axdx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=，中，在，则令公式于是，则，令证明高等数学讲义积分公式By D a n i

108、e l La uDaniel Lau- 54 -C 4)()(42)( C) 1() 1(1(4)( C) 1() 1(1(4)( )11111 11111(4)()( 11 , 1 1|AB| |AC| 1 |BC| B Rt C)(4)( C)(81)(2)( 81818 )44(3218 43218 4412281 241)2(41 )1 ( , ) 1( )2(0 )0( )1 ( )1 ()(2 )1 ()(21)( 1 11 )1 ()(2)1 ()(2)1 (2 1 )0( 0 )( : )( C 4)()(42)( 8222222222223222222222222223323

109、3233332222422623222632322322222222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+babxtanaarctanbaxsinbadxxtantbabatarctanbabatdbabatbatdbabatbababatdbabatdtbabatadtaababtadtabttadttbttatxsinbadxtbttatbtaxsinbadttdxdxtdxxtandxxsecdxxtandtttxtanxtanxcosxsinxsinxtantbababxtana

110、arctanbaxsinbadx.代入上式得：将时即，当则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 63 -C 21 2122+=axaxlnaaxdx：公式C 22 1 2 212 )( )( )( 12 )( )( )( 12)( )( )( 12 0 )( )( )( 12 )( )( 12 )( 12 2 12 122)1 ( 1 12)1 ( 12 , 12 )1 (21 )21 (21221) 2( 122122222 , 2 )( C 22 1 10422222222222222222222222222222222222222222

111、22222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+2 2 2 2 12 2 2 12()(2 | )()(2 12 21112212212 1)()(11 112121 2 )b( 2 2 10522222222222222222222代入上式得：将时即，当则，令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 65 -() () 22 1 2 1 1 1) 1( 1 212 12 12 )()(2()(2 0 | )()(2 12 21112212212 1)()(11

112、112121 2 )b( 22 1 10622222222222222222222222CabbaxtanabbaxtanlnabbabaxcosbadxxtantCabbatabbatlnabbabaCabbatabbatlnabbabaCabbatabbatlnabbaCabbatabbatlnbaabbaCabbatabbatlnbaabbadtabbatbadttabbaabdtabtbadtb)atbaabba,badtbatbaxcosbadxdttdxdxtdxxcosdxxcosdxxsecxtanddttbatbattbaxcosbattxtanxtanxcosxtantaC

113、abbaxtanabbaxtanlnabbabaxcosbadx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=a) ) ) )（113121）CxaaxarcsinxCxaaxarcsinxxadxaaxarcsinxdxxaaxarcsinxdxxaxaxarcsinxdxaaxxaxarcsinxaxarcsindxaxarcsinxdxaxarcsinaCxaaxarcsinxdxaxarcsin.+=+=+=+=222112222212222222222 )(211121 )()(21 121 1)(11 )0( 113证明： 4 )42( 4 4 2 4

114、4 2 , Rt 442 4) 1(24 2824 2 2824 2424 2 4 22 )( , )0( 4 )42( 1142222222222222222222222222222222CxaxaxarcsinaxCxaxaxarcsinaaxarcsinaxCaxaaxaaxarcsinaaxaaxarcsinadxaxarcsinxaxtsinaxatcosxa|BC| ,x|AC|a|AB| , tBABCCtcostsinatatcostaCtcostsinatcostaCtsinatcostatdtcosatcostadttcosatcostatcosdtadttsintadt

115、costtsintatsinadttsinadxaxarcsinxtsinaxaxarcsintaCxaxaxarcsinaxdxaxarcsinx.2222222222+=+=+=+=+=+=+=+=+=则，中，可设在则令证明：12 2 22 222=xcosxsinxcosxcosxcosxsinxsin提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 69 -CxaaxaxarcsinxCxaxaxaaaxarcsinxCxaaxaaaxaaaxaxarcsinadxaxarcsinxaxtsinaxatcosxa|BC| ,x|AC|a|AB| ,

116、 tBABCCtcosatcosatsintaCtcosatcosatsintatcosdtcosatcosatsintadttcostsinadttsinatsintadttcostsinatsintadttsinatsintatsindtadt costtsintatsinadttsinadxaxarcsinxtsinaxaxarcsintaCxaaxaxarcsinxdxaxarcsinx.2222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=2222323333333233333333332333323333233333333323222222232)2(91 3 93 3

117、93 3 , Rt 933 211333 333 3 33 )1 ( 33 33 3 )( , )0( )2(91 3 115则，中，可设在则令证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 70 -CxaaxarccosxCxaaxarccosxxadxaaxarccosxdxxaaxarccosxdxxaxaxarccosxdxaaxxaxarccosxaxarccosdxaxarccosxdxaxarccosaCxaaxarccosxdxaxarccos.+=+=+=+=+=+=222112222212222222222 )(211121 )()(

118、21 121 1)(11 )0( 116证明： 4 )42( 4 4 2 4 4 2 , Rt 442 4) 1(24 2824 2 2824 2424 2 4 22 )( , )0( 4 )42( 11722222222222222222222222222222CxaxaxarcsinaxCxaxaxarcsinaaxarcsinxCaxaaxaaxarcsinaaxaxarcsinadxaxarccosxaxtcosaxatsinxa|AC| ,x|BC|a|AB| ,tBABCCtcostsinatatcostaCtcostsinatcostaCtsinatcostatdtcosatco

119、stadttcosatcostatcosdtadttsintadttsin tcostatcosadttcosadxaxarccosxtcosaxaxarccostaCxaxaxarccosaxdxaxarccosx.2222222222+=+=+=+=+=+=+=则，中，可设在则令证明：12 2 22 222=xcosxsinxcosxcosxcosxsinxsin提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 71 -CxaaxaxarcsinxCxaxaxaaaxarcsinxCxaaxaaaxaaaxaxarcsinadxaxarccosxaxt

120、cosaxatsinxa|AC| ,x|BC|a|AB| , tBABCCtsinatsinatcostaCtsinatsinatcostatsindtsinatsinatcostadttsintcosadttcosatcostadttsintcosatcostadttcosatcostatcosdtadttsin tcostatcosadttcosadxaxarccosxtcosaxaxarccostaCxaaxaxarccosxdxaxarccosx.2222222222222222+=+=+=+=+=+=+=+=22223233333332333333333323333233332333

121、33333323222222232)2(91 3 93 3 93 3 , Rt 933 211333 333 3 33 )1 ( 33 33 3 )( , )0( )2(91 3 118则，中，可设在则令证明：CxalnaaxarctanxdxaxarctanxaCxalnaaxarctanxxadxaaaxarctanxdxxaaaxarctanxdxxaxaaxarctanxdxaaxxaxarctanxaxarctanxdxaxarctanxdxaxarctanaCxalnaaxarctanxdxaxarctan.+=+=+=+=+=+=+=)( 2 0 2 )(12 12 1)(11

122、)0( )( 2 119222222222222222222证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 72 -CxaaxarctanxaCaxaaxaaxarctanadxaxarctanxaxttanaxatcostsecxa|AB| ,x|AC|a|BC| ,tBABCCttanatsectadttsecatsectatsecdtadtttan tsectattanadtttanadxaxarctanxttanaxaxarctantaCxaaxarctanxadxaxarctanx.2222222+=+=+=+=+=+=2 )(21 2 2 ,

123、 1 Rt 22 22 2 )( , )0( 2 )(21 12022222222222222222则，中，可设在则令证明：CxalnaxaaxarctanxdxaxarctanxxaCxalnaxaaxarctanxaxdxaadxaaxarctanxdxxaaadxaaxarctanxdxxaaaxaaxarctanxdxxaxaaxarctanxdxxaxaaxarctanxdxaaxxaxarctanxdxaxarctandxaxarctanxaCxalnaxaaxarctanxdxaxarctanx.+=+=+=+=+=+=+=+=+=)( 66 3 0 66 3 )(166 3 6

124、6 3 6 3 6 3 3 3 1)(1131 3 31 )0( )( 66 3 12122323222223232222323222223222222322223223323332223232证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 73 -（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（122131）CaalndaalndxaaalnaalnaadxaalnalndxaCaalndxa.xxxxxxxxxxx+=+=1 1 , )( 1 1 122的原函数为即证明：CeaCeadeadx

125、eda , dxax axCeadxe.axaxaxax+=+=+=1 11 1 , 1 123则令证明：CeaxaCeaexadaxeaexadxeaexadexadxexCeaxadxex.axaxaxaxaxaxaxaxaxaxax+=+=+=) 1(1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1(1 1242222证明：dxexanexadxeaexadexadxexdxexanexadxex.axnaxnnaxaxnaxnaxnaxnaxnaxn=11 1 1 1 1 1 125证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 74 -Caalnaxal

126、ndxaalnaxalndaxalndxaxCaalnaalnxdxax.xxxxxxxxx+=+=22)(1 1 1 1 1 )(1 126证明：Caalndxaxx+=1 122：公式dxaxalnnaxalndxaalnaxalndaxalndxaxdxaxalnnaxalndxax.xnxnnxxnxnxnxnxnxn=111 1 1 1 1 127证明：CbxcosbbxsinaebaCbxsinebaabxcosebabdxbxsineCbxsinebabxcosebdxbxsinebbadebxsinbabxsinebabxcosebdebxsinbabxsinebabxcose

127、bdebxcosbbxcosebbxcosdebdxbxsineCbxcosbbxsinaebadxbxsine.axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax+=+=+=+=+=+=+=)(1 1 1 1 11 1 )(1 1282222222222222222移项并整理得：证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 75 -Cbxcosabxsinbebabxdxcosebxcosebabxsinebbxdxcosebbabxdxcosebabxdxcosebabxcosebabxsinebebxdcosbabxco

128、sebabxsinebbxcosdebabxsinebdxebxsinbabxsinebdebxsinbbxsinebbxsindebbxdxcoseCbxcosabxsinbebabxdxcose.axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax+=+=+=+=+=+=+=)(1 1)1 ( 1 1 1 1 11 1 )(1 1292222222222222222证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 76 -+=+=+=+=+=+=+=+=dxbxsinenbabnnbxcosnbbxsinabxsin

129、enbabxsinenbaabxsinbxcosenbabndxbxsinenbabnnbxsinebnnbxsinbxcosenbdxbxsinenbabnndxbxsinedxebxsinnnbnbabxsinennbabxsinbxcosenbdxbxsinedxbxsinedxebxsinnnbnbabxsinennbabxsinbxcosenbdxbxcosbxsinedxebxsinbnnbabxsinebnadxebxsinbdxebxsinbnabxsinebnabxcosedbxsindxebxsinbnabxsinebndxbxcosbxsinedxbxcosbxsinen

130、dxebxsinbabxsinebdxebxcosbxsinnbbxsineabxsinbbxsinebbxsinedbxsinbbxsinebbxsindbxsinebdxbxcosbxsinedxebxsinbdxbxcosbxsineadxebxsinbbxcoseabxsinbxcosedbxsinbxcosedbxsinnbbxsinbxcosenbbxsindbxcosenbdxbxcosbxsinedxbxcosbxsinedxbxsinedxbxcosbxsinedxbxsinbxsinedxbxsinedxbxsinenbabnnbxcosnbbxsinabxsinenbad

131、xbxsine.naxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxaxnnaxnaxnaxnaxaxnnaxnaxnaxaxnnaxaxnaxnnaxaxnaxnnaxnaxnaxaxnnaxaxnnaxnaxnaxnaxnaxnaxaxnnaxaxaxnaxnaxnnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnax 1)( )(1 1)( 1)(1) 1(1 1)( ) 1() 1( ) 1(1 ) 1() 1( ) 1(1 )( 1 ) 1(1 ) 1( 11 )( 11 1 )( )( )( ) 1(1) 1(1 ) 1(1 )(1 1)( )(1 130222221

132、2222221222222222122222222212222212222211121111111111222222222222221222移项并整理得：式代入式得：将将式代入式得：将式代入式的得：移项并整理得：又又又证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 77 -+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=dxbxcosenbabnnbxsinnbbxcosabxcosenbabxcosenbaabxcosbxsinenbabndxbxcosenbabnnbxcosebnnabxcosbxsinenbdxbxcosenbabnndxbx

133、cosedxebxcosnnbnbabxcosennbabxcosbxsinenbdxbxcosedxbxcosedxebxcosnnbnbabxcosennbabxcosbxsinenbdxbxsinbxcosedxebxcosbnnbabxcosebnadxebxcosbdxebxcosbnabxcosebnabxsinedbxcosdxebxcosbnabxcosebndxbxsinbxcosedxbxsinbxcosendxebxcosbabxcosebdxebxsinbxcosnbbxcoseabxcosbbxcosebbxcosedbxcosbbxcosebbxcosdbxcose

134、bdxbxsinbxcosedxebxcosbdxbxsinbxcoseadxebxcosbbxsineabxcosbxsinedbxcosbxsinedbxcosnbbxcosbxsinenbbxcosdbxsinenbdxbxsinbxcosedxbxsinbxcosedxbxcosedxbxsinbxcosedxbxcosbxcosedxbxcosedxbxcosenbabnnbxsinnbbxcosabxcosenbadxbxcose.naxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxaxnnaxnaxnaxnaxaxnnaxnaxnaxaxnnaxaxnaxnnaxaxnaxnn

135、axnaxnaxaxnnaxaxnnaxnaxnaxnaxnaxnaxaxnnaxaxaxnaxnaxnnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnaxnax 1)( )(1 1)( )(1)(11 )(1 ) 1() 1( )(11 )(1)(1 )(11 )( 1 ) 1(1 ) 1( 11 )( 11 1 )( )( )( )(11)(11 )(11 )(1 1)( )( 1 1312222212222221222222222122222222212222212222211121111111111222222222222221222移项并整理得：式代入式得：将将式代入式得：将

136、式代入式的得：移项并整理得：又又又证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 78 -（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（132136）CxxlnxdxxlnxdxxxxlnxxlndxxlnxxdxlnCxxlnxxdxln.+=+= 1 132证明：CxlnlnxlndxlndxxlnxdxCxlnlndxxlnxdx.+=+= 1 133证明：xxln1)( =提示：CnxlnxnCxnxnxlndxxnxnxlnxlndxnxnxlndxnxlndxxnnxlndxxlnx

137、Cnxlnxndxxlnx.nnnnnnn!nnnnn+=+=+=+=+=+=+=+)11(11 )11(1 111 111 1 ) 1(1 )11(11 13411211111证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 79 -kknnkknknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkknnknnnlnxknxxlnxnnnxlnxnnnxlnxnnnlnx)kn(nnn)(lnxnnnlnxxnnlnxxnlnxxdxlnxnnnlnxxnnlnxxnlnxxdxlnxnnlnxxnlnxxx)lnxd(nlnxxnlnxxdxlnxnlnx

138、xdxxx)ln(nxlnxxx)lnxd(lnxxdxlnxlnxknxdxlnxnlnxxdxlnx.)() 1( )(123)2() 1(1)( )(234)2() 1(1)( )(345) 2() 1(1)( )(1)2() 1(1 )(2() 1()() 1()()( )()2() 1()() 1()()( )() 1()()( )()( )()( 1)( )()( )() 1( )()()( 135011012113232132121111101=+=+=+=+=！证明：！.+=+=+=+=+=dxxlnxmxlnxmdxxxlnxmxlnxmxlndxmxlnxmdxxlnmdx

139、xlnxdxxlnxmxlnxmdxxlnx.mmmmmmmmmmm )(1n)(11 1)(1n)(11 )( 11)(11 )(11 )( )(1n)(11 )( 1361nn11n1n1n1n11nn1nn1n证明：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 80 -（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（137141）CshxshxddxxchchxshxchxshxCshxdxxch.+=+= , )( 138的原函数为即证明：CchxchxddxshxshxchxshxchxCc

140、hxdxshx.+=+= , )( 137的原函数为即证明：CchxlnchxdchxdxchxshxdxxthCchxlndxxth.+=+= 1 139证明：)( 2 )( 2 双曲余弦双曲余弦：提示xxxxeeshxeechx=+=CxshxCeexCxeedxeedxeedxxshCxshxdxxsh.xxxxxxxx+=+=+=+=+=2 412 2412 288 )2(41 2 2 412 140222222222证明：CxshxCeexCxeedxeedxeedxxchCxshxdxxch.xxxxxxxx+=+=+=+=+=+=2 412 2412 288 )2(41 2 2

141、412 141222222222证明：)( 2 )( 2 双曲余弦双曲余弦：提示xxxxeeshxeechx=+=高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 81 -（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142147）0 0 )( 1)( 1 )(1 1 0 )( 2 )( 1)( 1 )(1 1 0 142=+=dxnxsindxnxcosncosnncosnnxcosndnxnxsinndxnxsinnsinnnsinnnsinnnxsinndnxnxcosndxnxcosdxnxsindxnxcos.综合证明得：证明：证明：0 2

142、 1 0 )2(241 241 2 241 221 2. 000 )()()(21)()()(21 )()(21)()(21 1. 0 143=+=+=+=dxnxsinmxcosdxnxcos,mcosmcosmmxcosmmxdmxsinmmxdmxsinmdxmxsinmxcosdxnxsinmxcosnmmncosmncosmnnmcosnmcosnmxmncosmnxnmcosnmdxnxsinmxcosnmdxnxsinmxcos.得：综合讨论时当时当证明：C)()(21 )()(21 100+=xbacosbaxbacosbadxbxcosaxsin：公式xcosxsinxsin

143、= 22 提示：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 82 -=+=+=+=+=nmnmdxnxcosmxcos,msinmsinmmxmmxsinmmxdmxcosmdxmxcosmxcosdxnxcosmxcosnmnmsinnmsinnmnmsinnmsinnmxnmsinnmxnmsinnmdxnxcosmxcosnmnmnmdxnxcosmxcos. 0 2 1 22)2( 241 21241 1 2. 000 )( )( )(21)( )( )(21 )( )(21)( )(21 1. 0 1442，得：综合讨论时当时当证明：，+=Cxs

144、inxdxxcos2412 942：公式C)( )(21 )( )(21 102 +=xbasinbaxbasinbadxbxcosaxcos：公式=+=+=+=+=nmnmdxnxsinmxsin,msinmsinmmxsinmmxmmxdmxsinmdxmxsindxnxsinmxsinnmnmsinnmsinnmnmsinnmsinnmxnmsinnmxnmsinnmdxnxsinmxsinnmnmnmdxnxsinmxsin. 0 2 1 22)2( 241 24121 1 2. 000 )( )( )(21)( )( )(21 )( )(21)( )(21 1. 0 14522，得：

145、综合讨论时当时当证明：，+=Cxsinxdxxsin2412 932：公式C)( )(21 )( )(21 101+=xbasinbaxbasinbadxbxsinaxsin：公式高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 83 -=+=+=+=+=+=+=+=+=+=nmnmdxnxcosmxcosdxnxsinmxsin,sinmsinmmxmmxsinmmxdmxcosmdxmxcosmxcosdxnxcosmxcossinmsinmmxsinmmxmmxdmxsinmdxmxsindxnxsinmxsinnmsinnmsinnmsinnmsinnm

146、xnmsinnmxnmsinnmdxnxcosmxcossinnmsinnmsinnmsinnmxnmsinnmxnmsinnmdxnxsinmxsinnmnmnmdxnxcosmxcosdxnxsinmxsin. 2 0 2 1 2 020 241 21241 1 2 020 241 24121 1 2. 000 0 )( )(210 )( )(21 )( )(21)( )(21 000 0 )( )(210 )( )(21 )( )(21)( )(21 1. 2 0 14600000200000202000000000，得：综合讨论时当时当证明：，+=+=+=+=CxsinxdxxcosC

147、xsinxdxxsinxbasinbaxbasinbadxbxcosaxcosxbasinbaxbasinbadxbxsinaxsin2412 942412 93C)( )(21 )( )(21 102 C)( )(21 )( )(21 10122：公式：公式：公式：公式以上所用公式：高等数学讲义积分公式By D a n i e l La uDaniel Lau- 84 -亦同理可证证明：时，特别的，当为正偶数时当时，特别的，当为正奇数时当证明：为正偶数的正奇数为大于dxxcosIxdxxsinInnnnnxnnnndxxsinnnnnInxcosdxxsinInnnnnxcosnnnndxx

148、sinnnnnInInndxxsinnndxxsinnncossincossinndxxsinnnxcosxsinndxxsinIInnnnnInnnnnInnIdxxcosdxxsinI.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 2)( 0 22143231 )(2143231 2143231 1)( 1 13254231 )(3254231 3254231 1 1 1)0022(1 11 2 , )( 221432311 , )1( 3254231 1 14720202002020020202020220220211202201200122020=+=+=高等数学讲义积分公式By D a

149、n i e l La uDaniel Lau- 85 -附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式2222axxxx221xarccotx.xarctanx.xarccosx.xarcsinx.xlnx.alnaxxlog.ee.alnaaa.cotxcscxcscx.tanxsecxsecx7.xcsccotx6.xsectanx5sinxcosx.cosxsinx3.0)(xxx .C 0C.+=+=11)( 1611)( 1511)( 1411)( 131)( 120)( 1)( 11) ( 10)( ) ( 9)( 8)( )( )( .)( 4)( )( 2)( ) ( 1为常数为常数高等数学讲义积分公式By D a n i e l La u

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