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1、卜第?卷 第?期? ? ?年?月控制理论与应用? ? ! ? ? !? ? ? ?了,角。? ? ?线性空 间上的控制系统,韩京清中国科学院系统科学研究所?摘要本文将把线性控制系统芝”?,?,?看做线性空间中的一个算子、一组向量及一组泛函所组成的代数对象,用线性代数方法讨论系 统的结构?把状态反馈看做由一组泛函和一组向量决定的算子,并根据开环算子和闭环算子 之间的一种递推混合展式讨论了状态反馈问题?本文所采用的方法有筒单、便于计算、易于推广的优点?在这里,系统的状态描述与多项式描述之间联系显得很自然?一、控制系统的描述先考察线性控制系统 ?,?,?入的基本结构性质?这里,?,?,? ,?,?分
2、别为系统的状态,量测输出,被调输出,控制翰入及外输入,它们 分别是空间?二?,?,?,?,? ?邢二?,?口?中的元?在以往的系统分析中把矩阵?、?、?、?、?分别看做线性变换卜?,?,?,?,?,?,?,?,?我们 知道,系统?完全能控是指?的“列向量”在算子?作用下循环出来的空间充满?,而完全能观是指?的“行向量”在共扼算子?冲作用下循环出来的空 间充满共辆空间?这里,矩阵?确实起着一个算子 的作用,但是,矩阵?,?,?,?并不起算子的作用,而它们的列或行向量做为空 间?或?的元起相应的作用?因 此,如果?表示?所确定的算子,?,二, 玩,?,?。分别表示?和?的列向量,?,? ?,?,?
3、,分别表示?和?的行向量,那么对系统?可以给出如下代数描述?定义由线性空间?中的一个线性算子。和 两组元?,?小? ?,?公及对偶空间?中的 两组元?,? ?,?,? ?所组成的对象?本文系中国科学基金委员会资助项目。本文于?韶年? ?月?。日收到,? ?峨年?月?日收到修改稿,控制理 论与应用?卷艺?,?,?,?,?,?,?叫做线性空间?上 的控 制系统,其中,?称为系 统算子?叫做控 制输入向最,做干扰输入向量,?价?叫做量测输出泛函,? ?叫做被调输出泛函。把对象艺?,?,?,?、?,? ?叫做系 统?的对偶系统?本文讨论的就是这种对象?下面始终假定?是任意域夕上的”维线性空间,于实空间
4、了?叫?,?并不限二、向金组生成的口一不变子空间与系统的结构性质设? ?,按? ?的 记号,定义,伪?二包含?的最小子空间,?二?夕?口?一?包含?的最小。 一不变子 空 间。又设? ?,定义? ?,?,?,? ?当?,?,?,时,? ?是?的一 个?一不变子 空 间?对系统艺,子集?常取为?,七二?或 ?,?。?,?常取为?,?,?或?,?今后时常用?,?分别表示有序的向最组?,?刁,?,? ,并用?,?,?分别表示有序的 泛函组 ?, ?, ?显然,系统?由?,?完全能控 令今?,由?,?完全能观令今?。?二。?或? ?,被调输出?,?,对于干扰输入?,?。完全能抗干扰令今? ? ?口?,
5、?或? ?。由于?,? ?,且当?,? ?时,?尽争? ?,故有? 嘴势?二0,ker (a. C)=C嘴月 知(a.C= =X.,cker D.这就 是系统Z与刃.之 间的对偶性质.三、系统的多项式阵描述设.:,.,任X线性无关,且 二万,则称.,。,为X的一组生成元.这时,在向量组o je,i=1,一,r,1=O, l,中就有X的基.设卜 1期线性空间 上 的控制 系 统e;,a a一。:,。:,a2一e:;一,。r,a a一。, (3)是一组基,则口价e i,i=i,:,均 由它 们 线性表示,从而有p(s )=P:(s)夕“(:)p,r,满足PI(口)e:十+P“(a)e+pr(口)e
6、,二0,其中即, (s )(必,萝笋i, dp“(s)=d。记P(:)=P:(:)P, (: )口.rs.则P(s)行正则,且(e, e【”er,po,”“或尸“a, 三 “”、.r产(4)在 叮 r习中满足 (4 ) 的多项式阵全体是一个右理想,其中行正则而其行列式次数最小者是此理想的一个生成 元,叫做e:,e,的右最小多项式阵.在( 3)的适当线性组合中重新取X的生成元,可使其右最小多项式阵变成行、列同时首一的多项式阵(满足d:七二全 d,r c尸( s )=rr P( s )二I的阵)。在X.中取.;,e r .,满足。,“成一。卜 “,to,k=1,i=1,r,万= =1,r.(5)2
7、三k三价则e:.,er .是X.的生成元组,且 以p( s )为其左最小多项式阵:l。兮 p (口.):二卜o,或e了 .产p, (口.)=0L.;J(6)e l.,e, .称为e:,e,的对偶生成元组.命跪1设e:,e,是X的生成元组,其右最小多项式阵P(O行、列首一,对角线元次数为d:之之 d r,e:气, e .为对偶的生成元组。这时,对任意b任X和c任X .,分别有唯一的多项式向量q(s)二q:()qr(:)r和r(s)二,:(s)朴(s),满足fe,)b=e:“e,q(o)=q (a) :卜口q(s)=X嘴= = P(:), Q(s )左互质,扭.C=X.嘴今p(:), R(s)右互
8、质.证只证第一个结论.设p(s), Q(:)左互质.存在M (s), N(s ),满足P(s)万(:)+ +Q (s) N(s)=I,从而e:e,Q(a)N(a)=b: b.N(a)=ee,由此X=(口je:erc = X.又,设P(s), Q(: )非左互质,则其最大左公因子G (s)满足d(detG(s)=二 0,P(s )=G(s)P:(s ), Q(s )=G(s )Q: (s),口(detP:(s)=砚 :=,一件。, di mX:=: 铸 X.证毕在X中可选不同的生成元组.设., e r;是另一组生成元,其右最小多项式阵为P(:),则由命题i及定理z的证明,必有与p(s)左互质 的
9、V(s)满足e:e,二e:e,:V(。).由此e:e,. P(a)=e:e二:V扭)P(a)=0,而 由P (s)的右最小性知,存在U(s),满足V(s)P(:)=P(:)U(:),又由P(:)的右最小性, P(: ), U(s )必右互质.今令.t . .,几=.卜二产少(砂) .( 9 )则由尸( s), U(: )的右互质性,.认,.汽是X*的生成元组,且以P (:)为其左最小多项式阵.显然,艺在 新生成元下的多项式阵描述茗=尸( s), O(s ), R(s )满足如下关系:V(:)P(s)=P(s)U (s), Q(s)二V(s) Q(s), R(s )=R(s )U(s )0,.1
10、、 1产S/产卜、. . . . . .少 P(s)R(s)Q(s)尸(s)R(s)Q (s) (10)洲尹. . . . . . . . .气、. . . . . . . .声 、产S、夕八廿 Vl了. . . . . . .、其中v(s),下(s)左互质, p(s ), u(s )右互质.这就是F。hrma n n等价的实质.卜工期线 性空间 上的控制、系统四、系统的标准形系统I的标准形问题是从向量组a ib,蓄=1,m多了二。,1, d一1的适当线性组合和 泛函组a * i c i, i=1,介 i=。,1,价尹一l的适当线性组合中分别选X和X*的基,使a, b和口*,c在这些 基之下具
11、有 简单的 矩阵表示.前者称做刃的能控标准形,而后者称做能观标准形.设b:, b二为X的生成元组,为简单起见,设它 们的右最小多项式阵P( s )的行和列 的最高次只在对角线 上,且它们的系数均为1.记d二民尸( s)=a c;p(s).这时, P( s)可分解为 n U(_dl !J p“,尸“,o产从而尹,。:a。r=一。:、。p。 (。).i,取X的基为11)月.:口叮嘿.二理一一八U01:民之6控 制理 论与应用2卷f )10井; “ “=”,. !二!二:.l_ !O 几o)这是一种能控标准形.11,当d:互边心之1时,记产=d:,一愈5 1 9一“,一“”=。“”“S,()=乙泛
12、:只, =”阶位阵(12)今取X的基为,。、,LL、 frl“。,_、rl,、t .,_、,。”=“”“JLLoJ“口”Lo一J“,口。,“。,而P。 ( s)可表成_ f丹“1 尸,= l;“.今“,;2“2“1,监:卜“”气叹A:)从而由(11)式就得日_0_.II,11LOJ。(。):。=(。):0一A拼一人户攀期线性空间. 上的:控制系 统、 .!ls e. . . .工八UO川I,。:、)=(一 *tI拼I“一 i, I。为:一后,:阶单 位阵0这又是一种能控标准形.1 1 1,取X的基为 (。,3=。、:。小 ;: ;犷一这时, P。( s)可表成A拌拌一通“一:拌一:,.(卜,】
13、f吞:吞“一0从而又从(11)式得八U:0 . . . . . . ., . . . . . . .【。“”“”一A拌 井一0一月拼解一:一刁,一:,一:。一布一:,一:I:一A群一z,一 :一A产:一刁夕_ l,0一A: lI料一AI -b:b,= =(B):I:这又是一种能控标准形。还可选别的基及相应P。 ( s)的系数阵,形也同样方式确定。00r-从而又可给出别的标准形.当然,能观标准只五、反馈算子与混合展式系统Z中状态反馈u二Kx是X*中的m个元k,k -(K的行向量)决定,它对系统的作用是 -控制理论与应用2卷沉b:k:(x,+bok二 (x,=艺k (x,bf二1此式在X中确定一个
14、线性算子:r,x l一艺k (x)b , X一X蓄=1(13)此算子叫做反馈算子.如果把。叫做开环算子,那么反馈所得的算子口 =。 +,可称为闭环算子.状态反馈问题是选r,使闭环算子口具有希望的性质.闭环算子。的幕次和开环算子口的幕次之间有如下递推展式:叮, = =口, +a ,一1了 + a丁a,一2+r口,一,_萝=0, 1, 2, 口=浏一砂一lr一 一盯aj一 2一 f 口I一1,(14)对多变量情形,有S I(a)=S i(a)+ “+ 0 l“矛一一“1fs,千:(口)】T+lJLO)1汀+=1, 2,一o vr、!J.Sv_l(口)Sv(a)0000rs e.Lr .l. L+S,(a)= =S,(以)一 “,一于,。:一“,一石,。:。一k 0OJL 0OJ(1 5)i=1, 2,血 .昌一. .日.Vra、 . l.J一!“;1行:一!S, (
