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1、示范教案（示范教案（2.1 函数的概念函数的概念 第第 1 课时）课时）1.2.1 函数的概念函数的概念 整体设计整体设计 教学分析教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶 段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、 二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习 的函数的基本性质、基本初等函数()和基本初等函数()是学习函数的第二阶段,这是对 函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一 步深化和提高. 在学生学习用集合与对应
2、的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同 时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中 抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养 学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生 运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数 学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的
3、作 用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应 关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第第 1 课时课时 函数的概念函数的概念 导入新课导入新课 思路思路 1.北京时间 2005 年 10 月 12 日 9 时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5 天 后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的 距离 y 随
4、时间 t 是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 思路思路 2.问题:已知函数 y=1,x瘙綂下标 RQ,0,x瘙綂下标 RQ,请用初中所学函数的 定义来解释 y 与 x 的函数关系？先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节 将用新的观点来解释,引出课题. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) 一枚炮弹发射后,经过 26 s 落到地面击中目标.炮弹的射高为 845 m,且炮弹距地面的高度 为 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变化的规律是 h=130t-5t2. 时间 t 的变化范围是数集 A=t|
5、0t26,h 的变化范围是数集 B=h|0h845.则有对应f:th=130t-5t2,tA,hB.近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图 1-2-1-1 中的曲线显示了南 极上空臭氧层空洞的面积 S(单位:106 km2)随时间 t(单位:年)从 19912001 年的变化情况.图 1-2-1-1 根据图 1-2-1-1 中的曲线,可知时间 t 的变化范围是数集 A=t|1979t2001,空臭氧层空洞面 积 S 的变化范围是数集 B=S|0S26,则有对应:f:tS,tA,SB. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下 表中
6、的恩格尔系数 y 随时间 t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质 量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况时间19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔系数 y53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9根据上表,可知时间 t 的变化范围是数集 A=t|1991t2001,恩格尔系数 y 的变化范围是数 集 B=S|37.9S53.8.则有对应:f:ty,tA,yB. 以上三个对应有什么共同特点？ (2)我们把这样的对应称为函数,请用集合的观点给出函
7、数的定义. (3)函数的定义域是自变量的取值范围,那么你是如何理解这个“取值范围”的？ (4)函数有意义又指什么？ (5)函数 f:AB 的值域为 C,那么集合 B=C 吗？ 活动：活动：让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性. 解：解：(1)共同特点是:集合 A、B 都是数集,并且对于数集 A 中的每一个元素 x,在对应关系 f:AB 下,在数集 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应. (2)一般地,设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就
8、称 f:AB 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数,记作 y=f(x),xA,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数 值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 在研究函数时常会用到区间的概念,设 a,b 是两个实数,且 aa(a,bx|xa(-,ax|x0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 活动：活动： (1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则 x+30, 3x 21 x3x 有意义,则 x+20,转化解由 x+30 和 x+20 组成的不等式组.21 x(2)让学生回想
9、 f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量 x=-3 时对应的函数值,f()表示自32 32变量 x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得 f(-3),f()的值.32 32 32(3)f(a)表示自变量 x=a 时对应的函数值,f(a-1)表示自变量 x=a-1 时对应的函数值. 分别将 a,a-1 代入函数的对应法则中得 f(a),f(a-1)的值.解：解：(1)要使函数有意义,自变量 x 的取值需满足解得-3x-2, . 02, 03 xx即函数的定义域是-3,-2)(-2,+).(2)f(-3)=+=-1;33-231 f()=.322321332233 83
10、(3)a0,a-3,-2)(-2,+), 即 f(a),f(a-1)有意义.则 f(a)=+;3a 21 af(a-1)=.21131-aa112aa点评：点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号 f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值 范围,通常转化为解不等式组. f(x)是表示关于变量 x 的函数,又可以表示自变量 x 对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f(x)没有什么意义.符号 f 可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如 f(x)=x2-x+5,当 x=2 时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去 2,再加上 5;当 x 为某一代数式(或某一个函 数记号时),则
11、左右两边的所有 x 都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,fg(x)=g(x)2-g(x)+5 等等.符号 y=f(x)表示变量 y 是变量 x 的函数,它仅仅是函数符号,并不表示 y 等于 f 与 x 的乘积;符 号 f(x)与 f(m)既有区别又有联系,当 m 是变量时,函数 f(x)与函数 f(m)是同一个函数;当 m 是 常数时,f(m)表示自变量 x=m 对应的函数值,是一个常量. 已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R. (
12、2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实 数集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 变式训练变式训练1.求函数 y=的定义域.xxx11) 1(2答案：答案：x|x1,且 x-1.点评：点评：本题容易错解：解：化简函数的解析式为 y=x+1,得函数的定义域为x|x1.其原x-1-因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域
13、优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数 的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.2.2007 山东滨州二模,理 1 若 f(x)=的定义域为 M,g(x)=|x|的定义域为 N,令全集 U=R,则x1MN 等于( )A.M B.N C.M D.N 分析:由题意得 M=x|x0,N=R,则 MN=x|x0=M. 答案：答案：A 3.已知函数 f(x)的定义域是-1,1,则函数 f(2x-1)的定义域是_. 分析:要使函数 f(2x-1)有意义,自变量 x 的取值需满足-12x-11,0x1. 答案：答案：0,1 思路思路 21.2007 湖北武昌第一次调研,文 14 已知函
14、数 f(x)=,那么 f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()221xx 21 31+f(4)+f()=_.41活动：活动：观察所求式子的特点,引导学生探讨 f(a)+f()的值.a1解法一：解法一：原式=+ 22222222222222)41(1)41(414)31(1)31(313)21(1)21(212 111 21=.171 1716 101 109 51 5427解法二：解法二：由题意得 f(x)+f()=1.x12222)1(1)1(1 xx xx22211 1xxx 则原式=+1+1+1=.21 27点评：点评：本题主要考查对函数符号 f(x)的理解.对于符号 f(x),当
15、x 是一个具体的数值时,相应地 f(x)也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有 f(x)+f(),故先探讨 f(x)+f()的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,x1 x1通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特?找到规律再求解. 受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间, 得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累. 变式训练变式训练1.已知 a、bN*,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,则=_.分析:)2006()2007( )2()3( ) 1 ( )2( ff ff ffL令 a=x,b=1(xN*), 则有 f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有=2(xN*).)() 1( xfxf所以,原式=4012.434 21L2006222答案：答案：4012 2.2007 山东蓬莱一模,理 13 设函数 f(n)=k(kN*),k 是 的小数点后的第 n 位数字,=3.1415926535,则等于_.4434421L100)10(fff分析:由题意得 f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,则有=1
