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1、1第二章第二章 概率概率自我校对pi0，i1,2，ni1n i1p二点分布超几何分布P(B|A)PAB PA0P(B|A)1P(BC|A)P(B|A)P(C|A)(B，C互斥)P(AB)P(A)P(B)A与B相互独立，则 与B，A与 ， 与 相互独立ABABP(Xk)Cpk(1p)nkk n(k0,1,2，n)E(aXb)aE(X)bE(X)pE(X)np2D(X)p(1p)D(X)np(1p)D(aXb)a2D(X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P(B|A)；PAB
2、 PA(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题，求：(1)第 1 次抽到理科题的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；(3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率.【精彩点拨】 本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可.【规范解答】 设“第 1 次抽到理科题”为事件A， “第 2 题抽到理科题”为事件B，则“第 1 次和第 2 次都抽到理科题”为事件AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为n()A 20.2 5根据分步乘法计数原理，n(A)A A
3、12.1 31 4于是P(A) .nA n12 203 5(2)因为n(AB)A 6，2 33所以P(AB).nAB n6 203 10(3)法一 由(1)(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率P(B|A) .PAB PA3 10 3 51 2法二 因为n(AB)6，n(A)12，所以P(B|A) .nAB nA6 121 2再练一题1.掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出 6 点，问“掷出点数之和大于或等于 10”的概率.【解】 设“掷出的点数之和大于或等于 10”为事件A， “第一颗骰子掷出 6 点”为事件B.法一 P(A|B) .PAB PB3 36 6
4、361 2法二 “第一颗骰子掷出 6 点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 6 种，故n(B)6.“掷出的点数之和大于或等于 10”且“第一颗掷出 6 点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 3 种，即n(AB)3.从而P(A|B) .nAB nB3 61 2相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成
5、立.(2)若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成立.甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为 ，且各自能否被选中互不11 203 101 3影响.4(1)求 3 人同时被选中的概率；(2)求恰好有 2 人被选中的概率；(3)求 3 人中至少有 1 人被选中的概率.【精彩点拨】 根据相互独立事件的概率解决.【规范解答】 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)(1P(B)P(B)(1P(A)，P(A)P(B)，11 203 10P(A) ，P(B) ，P(C) .2 53 41 3(
6、1)3 人同时被选中的概率P1P(ABC)P(A)P(B)P(C) .2 53 41 31 10(2)恰有 2 人被选中的概率P2P(AB )P(A C)P( BC).CBA23 60(3)3 人中至少有 1 人被选中的概率P31P( )1 .ABC3 51 42 39 10再练一题2.某同学参加科普知识竞赛，需回答 3 个问题，竞赛规则规定：答对第 1,2,3 个问题分别得 100 分，100 分，200 分，答错得零分.假设这名同学答对第 1,2,3 个问题的概率分别为 0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得 300 分的概率；(2)求这名同学至少得 3
7、00 分的概率.【解】 记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)0.8，P(A2)0.7，P(A3)0.6.(1)这名同学得 300 分的概率为：P1P(A12A3)P(1A2A3)P(A1)P(2)P(A3)AAAP(1)AP(A2)P(A3)0.80.30.60.20.70.60.228.(2)这名同学至少得 300 分的概率为：P2P1P(A1A2A3)P1P(A1)P(A2)P(A3)0.2280.80.70.60.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.2.应用范围：均值和方差在实际优化问题
8、中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.53.求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算.计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解.若离散型随机变量服从特殊分布(如二点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差.甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，没有平局.已知乙队胜丙队的概率为 ，甲
9、队获得第一1 5名的概率为 ，乙队获得第一名的概率为.1 61 15(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列及数学期望、方差.【精彩点拨】 (1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分的可能取值，然后再求出的分布列，最后再求出数学期望和方差.【规范解答】 (1)设“甲队胜乙队”的概率为P1， “甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P1P2 .1 6乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1P1) .1 51 15解，得P1 ，代入，得P
10、2 ，2 31 4所以甲队胜乙队的概率为 ，甲队胜丙队的概率为 .2 31 4(2)的可能取值为 0,3,6.当0 时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(0) ；(12 3) (11 4)1 4当3 时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3) ；2 3(11 4)1 4(12 3)7 12当6 时，甲队两场皆胜，其概率为P(6) .2 31 41 6所以的分布列为0366P1 47 121 6所以E()0 36 .1 47 121 611 4D()2 22 .(011 4)1 4(311 4)7 12(611 4)1 659 16再练一题3.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队
11、参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.(1)设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【解】 (1)由已知，有P(A).C2 2C2 3C2 3C2 3 C4 86 35所以，事件A发生的概率为.6 35(2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4).Ck5C4k3 C4 8所以，随机变量X的分布列为X1234
12、P1 143 73 71 14随机变量X的数学期望E(X)12 3 4 .1 143 73 71 145 2正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率.正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.某学校高三 2
13、500 名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在 550600 分的人数.7【精彩点拨】 根据正态分布的性质求出P(550x600)，即可解决在 550600 分的人数.【规范解答】 考生成绩XN(500,502)，500，50，P(550X600) P(500250X500250)P(50050X50050)1 2 (0.954 40.682 6)0.135 9，1 2考生成绩在 550600 分的人数为 2 5000.135 9340(人).再练一题4.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至19 岁的
14、高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图 21 所示.若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数是( )图 21A.997B.954 C.819 D.683【解析】 由题意，可知60.5，2，故P(58.5X62.5)P(X)0.682 6，从而属于正常情况的人数是 1 0000.682 6683.【答案】 D1.若样本数据x1，x2，x10的标准差为 8，则数据 2x11,2x21，2x101 的标准差为( )A.8B.15 C.16 D.32【解析】 已知样本数
15、据x1，x2，x10的标准差为s8，则s264，数据2x11,2x21，2x101 的方差为 22s22264，所以其标准差为2816，故选 C.22 64【答案】 C2.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )8A.0.648B.0.432 C.0.36D.0.312【解析】 3 次投篮投中 2 次的概率为P(k2)C 0.62(10.6)，投中 3 次的概2 3率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C 0.62(10.6)2 30.630.648.故选 A.【答案】 A3.已知随机变量X服从二项分布B(n，p).若E(X)30，D(X)20，则p_.【解析】 由E(X)30，D(X)20，可得Error!解得p
