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1、12.1.12.1.1 离散型随机变量离散型随机变量1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系.(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象.(难点)基础初探教材整理 离散型随机变量阅读教材 P40练习以上部分，完成下列问题.1.随机变量(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，表示.2.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)随机变
2、量的取值可以是有限个，也可以是无限个.( )(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中， “出现正面的次数”为随机变量.( )(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量.( )(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值.( )(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中， “出现的点数”是一个随机变量，它有 6 个取值.( )【解析】 (1) 因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个.(2) 因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，
3、的取值是 0,1.(3) 因为由随机变量的定义可知，该说法正确.2(4) 因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确.(5) 因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有 6 个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为 6 个.【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 小组合作型随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由.(1)北京国际机场候机厅中 2016 年 5 月 1
4、 日的旅客数量；(2)2016 年 5 月 1 日至 10 月 1 日期间所查酒驾的人数；(3)2016 年 6 月 1 日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为 1 000 cm3的球的半径长.【精彩点拨】 利用随机变量的定义判断.【自主解答】 (1)旅客人数可能是 0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.(2)所查酒驾的人数可能是 0,1,2，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量.(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量.(4)球的体积为 1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量.随机变量的辨析方法1.随机试验的结果具有可变性，
5、即每次试验对应的结果不尽相同.2.随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一3次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量.再练一题1.(1)下列变量中，不是随机变量的是( )A.一射击手射击一次命中的环数B.标准状态下，水沸腾时的温度C.抛掷两枚骰子，所得点数之和D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数(2)10 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率【解析】 (1)B 中水沸腾时的温度
6、是一个确定值.(2)A 中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D 也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量.【答案】 (1)B (2)C离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由.(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市 5 月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29这一范围内变化，该水位站所测水位.【精彩点拨】 随机变量的实际背景判断取值是否具有可列性得出结论【自主解答】 (1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量.(2)某超市 5
7、月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量.(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29这一范围内变化，不能按次序一一列举.“三步法”判定离散型随机变量1.依据具体情境分析变量是否为随机变量.2.由条件求解随机变量的值域.3.判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离4散型随机变量.再练一题2.一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为. 【导学号：62980032】(1)列表说明可能出现的结果与对应的的值；(2)若规定抽取 3 个球中，每抽到一个白球加 5
8、分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上 6 分，求最终得分的可能取值，并判定是否为离散型随机变量.【解】 (1)0123结果取得 3个黑球取得 1 个白球，2 个黑球取得 2 个白球，1 个黑球取得 3 个白球(2)由题意可得：56，而可能的取值范围为0,1,2,3，所以对应的各值是：506,516,526,536.故的可能取值为 6,11,16,21.显然，为离散型随机变量.探究共研型随机变量的可能取值及试验结果探究 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果.这种试验结果能用数字表示吗？【提示】 可以.用数字 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上.探究 2 在一块地里种
9、 10 棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？【提示】 X0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.探究 3 抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为，则“4”表示的随机事件是什么？【提示】 “4”表示出现的点数为 4 点，5 点，6 点.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球 10 个，白球 5 个，从袋中每次任取 1 个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张，所取卡片上的数字之和.【精彩点拨】 分析题意写出X可能取的值分别写出取值所表示的结果
10、【自主解答】 (1)设所需的取球次数为X，则X1,2,3,4，10,11，5Xi表示前i1 次取到红球，第i次取到白球，这里i1,2，11.(2)设所取卡片上的数字和为X，则X3,4,5，11.X3，表示“取出标有 1,2 的两张卡片” ；X4，表示“取出标有 1,3 的两张卡片” ；X5，表示“取出标有 2,3 或标有 1,4 的两张卡片” ；X6，表示“取出标有 2,4 或 1,5 的两张卡片” ；X7，表示“取出标有 3,4 或 2,5 或 1,6 的两张卡片” ；X8，表示“取出标有 2,6 或 3,5 的两张卡片” ；X9，表示“取出标有 3,6 或 4,5 的两张卡片” ；X10，
11、表示“取出标有 4,6 的两张卡片” ；X11，表示“取出标有 5,6 的两张卡片”.用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1.关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.2.注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果.再练一题3.写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)在 2016 年北京大学的自主招生中，参与面试的 5 名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，该射手在一次射击中的得分用表示.【
12、解】 (1)X可能取值 0,1,2,3,4,5，Xi表示面试通过的有i人，其中i0,1,2,3,4,5.(2)可能取值为 0,1，当0 时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当1 时，表明该射手在本次射击中击中目标.构建体系61.给出下列四个命题：15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量.其中正确的个数是( )A.1B.2 C.3 D.4【解析】 由随机变量定义可以直接判断都是正确的.故选 D.【答案】 D2.某人进行射击，共有 5 发子弹，击
13、中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则5表示的试验结果是( )A 第 5 次击中目标B.第 5 次未击中目标C.前 4 次均未击中目标D.第 4 次击中目标【解析】 5表示前 4 次均未击中，而第 5 次可能击中，也可能未击中，故选 C.【答案】 C3.袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是_. 【导学号：62980033】【解析】 由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5 中某个.故两次抽取球号码之和可能为 2,3,4,5,6,7
14、,8,9,10，共 9 种.【答案】 94.甲进行 3 次射击，甲击中目标的概率为 ，记甲击中目标的次数为，则的可能1 2取值为_.【解析】 甲可能在 3 次射击中，一次也未中，也可能中 1 次，2 次，3 次.7【答案】 0,1,2,35.写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中，任取 1 球，取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.【解】 (1)X的可能取值为 1,2,3，10.Xk(k1,2，10)表示取出第k号球.(2)X的可能取值为 0,1,2,3,4.Xk表示取出k个红球，4k个白球，其中k0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为 2,4,6,8,10,12.X2 表示(1,1)；X4 表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；X12 表示(6,6).X的可能取值为 2,4,6,8,10,12.我还有这些不足：(1) (2)
