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1、HarbinHarbinHarbin InstituteInstituteInstitute ofofof TechnologyTechnologyTechnology课程设计说明书课程设计说明书课程设计说明书课程设计说明书课程名称： 自动控制理论 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院 系： 电气工程系 班 级： 0806152 设 计 者： 段大坤 学 号： 1082710118 指导教师： 郭犇 设计时间： 2011.6.13-2011.6.20 哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书哈尔滨工业大学课程设计任务书姓 名： 段大坤 院 （系）：电气工程系专 业： 电气工程及其自动化
2、 班 号：0806152任务起至日期： 2011 年 6 月 13 日至 2011 年 6 月 20 日课程设计题目： 直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 小车质量 M=0.5Kg，摆杆质量 m=0.2Kg，小车摩擦系数 b=0.1N/m/s,摆杆转动轴心到杆 质心的长度 l=0.3m，摆杆惯量 I=0.06kgmm,cai，采样时间 T=0.005s。 设计要求： 设计双闭环的 PID 控制器，使得当在小车上施加 0.1N 的脉冲信号，闭环系统的响应指标 为：（1）稳定时间小于 5 秒；（2）稳态时摆角与垂直方向的夹角变化小于 0.1 弧度。 设计状态空间极点配置控制器，当小
3、车上施加 0.2N 的阶跃信号时闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移稳定时间小于 3 秒x （2）的上升时间小于 1 秒x（3）的超调量小于 0.35 弧度 （4）稳态误差小于 2%工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB 仿真及实物调试。工作计划安排：第1周（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； （2）倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真； （3）倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真。 第2周 （1）实物调试； （2）撰写课程设
4、计论文。同组设计者及分工：独立完成指导教师签字_年 月 日 教研室主任意见：教研室主任签字_年 月 日*注：此任务书由课程设计指导教师填写。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）1.11.1 数学模型建立数学模型建立数学模型的建立过程需要用到以下参数：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） ，其中分析小车水平方向所受的合力可得：（1）MxFbxN& & 由摆杆水平方向受力分析可得：（2）22(sin )dNmxldt即（3）2cos
5、sinNmxmlml& & &将（3）代入（1）可得系统的第一个运动方程：（4）2()cossinMm xbxmlmlF& & &对摆杆垂直方向的合力进行分析可得：（5）22cosdPmgmldt 即：（6）2sincosPmgmlml& &力矩平衡方程如下：（7）sincosPlNlI& &将（6） （7）合并可得第二个运动方程：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）（8）2()sincosImlmglmlx & & &1、微分方程模型由于，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角和 1（弧度）相比很小时，即时，可进行如下近似处理：，。用代表1=cos1 sin 2()0d dtu被控对象的输入力，将模
6、型线性化可得系统的微分方程表达式：F（9）2()()ImlmglmlxMm xbxmlu& & & & & &2、传递函数模型 设初始条件为 0，,对（9）进行拉普拉斯变换可得：（10）22222()( )( )( )()( )( )( )( )Imls smglsmlX s sMm X s sbX s smls sU s输出为角度，解方程组（10）的第一个方程可得：（11）22()( ) ( )ImlgX ssmls或（12）222( ( )()smls X sImlsmgl）令小车加速度则有vx & &22( ) ( )()sml V sImlsmgl将（11）式代入方程组（10）的第二个
7、方程可得22 22 22()()() ( ) ( )( )( )ImlgImlgMms sbs smls sU smlsmls以为输入量，以摆杆摆角为输出的传递函数为：u22 432( ) ()()( )mlssq b ImlMm mglbmglU sssssqqq哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）其中22()()() qMm Imlml3、状态空间数学模型取、为状态变量作出系统的状态空间方程为xx &2112222222220000 xx-(I+ml )bm glIml00xxI(M +m)+MmlI(M +m)+MmlI(M +m)+Mmlu0000-mlbmgl(M +m)ml00I(
8、M +m)+MmlI(M +m)+MmlI(M +m)+Mml & & & &10000 00100x xxyu &对于质量均匀分布的摆杆有：21 3Iml有（9）的第一个式子可得24 3mlmglmlx& & &化简得： 33 44gxll& & &设则有ux & &1 001 1 330440000xx 00xxu0000 g00ll & & & & &10000 00100x xxyu &哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）实际系统参数：小车质量，摆杆质量，小车摩擦系数,摆杆转0.5kgM m0.2kg0.1N/ m/sb 动轴心到杆质心的长度，摆杆惯量。0.3ml 20.006Ikg
9、mg摆杆角度和小车位移的传递函数：22(0.06 ( )0.0240.588ss X ss）摆杆角度和小车加速度的传递函数：2( )0.06 ( )0.0240.588s V ss摆杆角度和小车所受外力的传递函数：2432( )4.5454 ( )0.18183.11824.4545ss U sssss以外界作用力作为输入的系统状态方程为：1 0.18182.67271.8182 1 0.027231.18184.5455xx0000 xx00u0000 00 & & & & &以小车加速度作为输入的系统状态方程：1 001 1 024.52.5xx0000 xx00u0000 00 & &
10、& & &1.2、系统阶跃响应分析哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）020004000600080001000012000To: Out(1)020406080100120140160050100150To: Out(2)Step ResponseTime (sec)Amplitude由图可知摆杆的摆角是发散的，系统不稳定。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）1.21.2 双闭环双闭环 PIDPID 调节器设计调节器设计设计双闭环的 PID 控制器，使得当在小车上施加 0.1N 的脉冲信号，闭环系统的响应 指标为：（1）稳定时间小于 5 秒；（2）稳态时摆角与垂直方向的夹角变化小于 0.1
11、弧度。 （1）双闭环控制系统模型（2）内环设计内环的开环传递函数为：2( )0.06 ( )0.0240.588s V ss 其根轨迹为-6-4-20246-6-4-20246Root LocusReal AxisImaginary Axis闭环极点有一个会位于复平面的右部，可见系统不稳定。哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）可以采用 PD 反馈将内环设计成典型二阶系统，对阶跃响应误差，调整时间可调。设反馈的 PD 传递函数为，传递函数前面的 P 调节器为( )pdpdGsKK s。( )pGsP则可求得闭环传递函数为：1220.06( )0.0240.5880.060.062.5 2.52.
12、524.5pdppdpPG ssPK K sPKP sPK K sPK根据调整时间并留一定的余量设期望的，则稳定时间为0.7072n，可以满足要求。42.8s nts得22.54nP1.6P 得22.524.54pnPK7.125pK 得2.522.828pdnPK K0.099dK 所以变换传递函数变为124( )2.8284G sss 脉冲响应为：012345-0.0200.020.040.060.080.1哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）超调很小，稳态误差，在 3s 左右稳定，内环设计完成。 （3）外环设计 内环设计完成后可以将模型简化，利用方块图变换规则，可以变换为如下所示：开环传
13、递函数变为：22222224(0.0240.588)( )0.06(2.8284)1.6(24.5) (2.8284)sG sssss sss这是一个四阶非最小相位系统，其根轨迹为-6-4-20246-20-15-10-505101520Root LocusReal AxisImaginary Axis也会存在闭环极点位于复平面的右半部，使系统不稳定。可以通过 PD 调节器引入一 个零点将根轨迹变化，以使系统闭环极点都位于复平面左边。外环设为正反馈调节。PD 调节器传递函数为：( )pdpdGsKK s则可得到其闭环传递函数为：哈尔滨工业大学课程设计说明书（论文）222224321.6(24.5)( )(2.8284) 1.6(24.5)()1.6(24.5) (2.828 1.6)(4 1.6)39.239.2pddpdpsG sssssKK ss sKsKsK sK由特征方程可知存在 Kp、Kd 使系统稳定。 当选 Kp=0.01、Kd=0.05 时可得如下图：05101520253035404550-50510x 10-4051015202530354045
