《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案新人教b版选修2-1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3.22.3.2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质1掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)基础初探教材整理 双曲线的几何性质阅读教材 P52P54“例 1”内容，完成下列问题.标准方程1x2 a2y2 b2(a0，b0)1y2 a2x2 b2(a0，b0)图形范围_对称性对称轴：_，对称中心：_顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长_，虚轴长_离心率_性质渐近线yxb a_【答案】 xa或xa ya或ya 坐标轴 原点 2a 2b e 且e1 c ayxa b1若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是x2 4y2
2、m32_2【解析】 由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为m21，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)x2 4y2 377【答案】 (，0)，(，0)772设中心在原点的双曲线与椭圆y21 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，x2 2则该双曲线的方程是_. 【导学号：15460038】【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，双曲线的焦点为(1,0)，椭圆的离心率e，双曲线的离心率e，又c2a2b2，12a2，a2b2 ，所求双曲线方2221 2程为 2x22y21.【答案】 2x22y21质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问
3、2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型根据双曲线方程研究几何性质求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【精彩点拨】 化为标准方程形式求出a，b，c得双曲线的几何性质【自主解答】 把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，x2 my2 n由此可知，实半轴长a，m虚半轴长b，c，nmn焦点坐标为(，0)，(，0)，mnmn3离心率e .c amnm1nm顶点坐标为(，0)，(，0)mm渐近线的方程为yxx.nmmnm由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键2由标准方程确
4、定焦点位置，确定a，b的值3由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质再练一题1将本“例 1”双曲线方程改为“16x29y2144” ，试求实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【解】 方程变形为1，y2 16x2 9a4，b3，c5，实半轴长为 4，虚半轴长为 3，焦点为(0,5)，(0，5)，渐近线方程为yx，4 3顶点为(0,4)，(0，4)，离心率e .5 4求双曲线的标准方程求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；13 5(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)1 2【精彩点拨】 分析双曲线的几何性质求a，b，c确定(
5、讨论)焦点位置求双曲线的标准方程【自主解答】 (1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c13，因为 ，所以a5，b12.c a13 5c2a2故所求双曲线的标准方程为1.y2 25x2 144(2)法一 因为双曲线的渐近线方程为yx，1 24若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则 .x2 a2y2 b2b a1 2因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.4 a29 b2联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则 .y2 a2x2 b2a b1 2因为点A(2，3)在双曲线上，所以1.9 a24 b2联立，解得a28，b232.故所求双曲线的标准方程
6、为1.y2 8x2 32法二 由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为y2(0)1 2x2 22因为点A(2，3)在双曲线上，所以(3)2，即8.22 22故所求双曲线的标准方程为1.y2 8x2 321求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程求解2若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为“mx2ny21”的形式，为简单起见，常标明条件“mn0” 再练一题2已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于 ，则双曲线C的方
7、程3 2是( )5【导学号：15460039】A.1 B1x2 4y25x2 4y2 5C.1 D1x2 2y2 5x2 2y25【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c3.又离心率为 ，故a2，b2c2a232225，故双曲线C的方程为1，选 B.c a3 2x2 4y2 5【答案】 B探究共研型双曲线的离心率探究 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？【提示】 如右图，作直线 1，在双曲线1 的各支向外延伸时，与两直x ay bx2 a2y2 b2线无限接近，把这两条直线叫
8、做双曲线的渐近线；双曲线的“张口”大小取决于 的值，设e ，则 .b ac ab ae21当e的值逐渐增大时， 的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大b a双曲线1(a1，b0)的焦距为 2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点x2 a2y2 b2(1,0)到直线l的距离与点(1，0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取4 5值范围【精彩点拨】 写出直线l的方程写出点(1,0)到直线l的距离写出点(1,0)到直线l的距离依题意列出不等式求出e的范围【自主解答】 直线l的方程为 1，即bxayab0.点(1,0)到直线l的距离x ay bd1，点(1,0)到直线l的距离d2，ba1a2
9、b2ba1a2b2sd1d2，由sc，得c，2aba2b22ab c4 52ab c4 56即 5a2c2，于是得 52e2，c2a2e21即 4e425e2250，得 e25.5 4由于e1，所以e的取值范围是e.525双曲线离心率及其范围的求法1双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等2双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如a， ，|a|等非负性a再练一题3设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)
10、的左、右焦点，双曲线上存在一点Px2 a2y2 b2使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为( )A. B215C4 D17【解析】 根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又(|PF1|PF2|)2b23ab，所以 4a2b23ab，即(ab)(4ab)0，又ab0，所以b4a，所以e .c a1(ba)214217【答案】 D构建体系71已知双曲线1(a0)的离心率为 2，则a( )x2 a2y2 3A2 B62C. D152【解析】 由题意得e2，2a，a23aa23a234a2，a21，a1.【答案】 D2若一双曲线与椭圆 4x2y264 有公共的焦点，且它们的
11、离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )Ay23x236 Bx23y236C3y2x236 D3x2y236【解析】 椭圆 4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双x2 16y2 64332曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为323y23x236.【答案】 A3已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1 有相同的渐近线，x2 a2y2 b2x2 4y2 16且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_. 5【导学号：15460040】【解析】 由题意得Error!解得a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.【答案】 1 24已知双曲线1(0
12、n12)的离心率为，则n_.x2 ny2 12n3【解析】 0n12，a2n，b212n，c2a2b212，e ，c a12n3n4.8【答案】 45求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程 6【解】 渐近线方程为yx，设双曲线方程为x23y2.将(3，2)代入求得333，所以双曲线方程为y21.x2 3我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是( )A.1 B1y2 18x2 18x2 18y2 18C.1 D1x2 8y2 8y2 8x2 8【解析】 设等轴双曲线方程为1(a0)，x2 a2y2 a2a2a262，a218，故双曲线方程为1.x2 18y2 18【答案】 B2已知双曲线方程为x21，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共y2 4有l( )A4 条 B3 条C2 条 D1 条9【解析】 因为双曲线方程为x21，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过y2 4P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,
