《高中数学第三章空间向量与立体几何章末分层突破学案新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何章末分层突破学案新人教b版选修2-1（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何自我校对共面向量定理坐标表示加减运算坐标运算_空间向量的概念及运算1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量2空间向量的数量积2(1)空间向量的数量积的定义表达式a ab b|a a|b b|cosa a，b b及其变式cosa a，b b是两个重要公式a ab b |a a| |b b|(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a a2|a a|2，a a在
2、b b上的投影|a a|cos 等a ab b |b b|给出下列命题：若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；ABCD若a ab b0，则a a，b b为钝角；若a a是直线l的方向向量，则a a(R R)也是l的方向向量；非零向量a a，b b，c c满足a a与b b，b b与c c，c c与a a都是共面向量，则a a，b b，c c必共面其中错误命题的个数是( )A1 B2 C3 D4【精彩点拨】 紧扣空间向量的相关概念、运算法则加以判断，注意举反例的思想方法【规范解答】 错误，如在正方体ABCDA1B1C1D1中，但线段AB与A1B1ABA1B1不重合；错误，a a
3、b b0，即 cosa a，b b0，得a a，b b，而钝角的范围是 2；错误，当0 时，a a0，不是l的方向向量；错误，如在平行六面体( 2，)ABCDA1B1C1D1中，令a a，b b，c c，则它们两两共面，但， ，不共面ABADAA1ABADAA1【答案】 D再练一题1已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若xy()，则A1E1 4A1C1AEAA1ABADx_，y_.图 31【解析】 由题知 ()，AEAA1A1EAA11 4A1C1AA11 4ABAD3从而有x1，y .1 4【答案】 1 1 4空间向量与线面关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何中最重要的问题之一，利用空
4、间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决在四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由【精彩点拨】 (1)证明向量垂直于平面PAD的一个法向量即可；BM(2)假设存在点N，设出其坐标，利用，列方程求其坐标即可MNBDMNPB【规范解答】 以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则B(1,0,0)，D(
5、0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，(1)(0,1,1)，BM平面PAD的一个法向量为n n(1,0,0)，n n0，即n n，BMBM又BM平面PAD，BM平面PAD.(2)(1,2,0)，(1,0，2)，BDPB假设平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.设N(0，y，z)，则(1，y1，z1)，MN从而MNBD，MNPB，Error!即Error!Error!N，在平面PAD内存在一点N，使MN平面PBD.(0，1 2，1 2)(0，1 2，1 2)4再练一题2.如图 32 所示，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，PAAD，M，N分别为AB，PC的中
6、点求证：图 32(1)MN平面PAD；(2)平面PMC平面PDC.【证明】 (1)法一 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PAADa，ABb，则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)，M，N分别为AB，PC的中点，M，N.(b 2，0，0)(b 2，a 2，a 2)，(0,0，a)，(0，a,0)，MN(0，a 2，a 2)APAD.MN1 2AD1 2AP又MN平面PAD，MN平面PAD.法二 易知为平面PAD的一个法向量AB(b,0,0)，又，ABMN(0，a 2，a 2)
7、0，ABMN.又MN平面PAD，ABMNMN平面PAD.(2)由(1)可知，P(0,0，a)，C(b，a,0)，M，D(0，a,0)(b 2，0，0)所以(b，a，a)，PCPM(b 2，0，a)5(0，a，a)PD设平面PMC的一个法向量为n n1(x1，y1，z1)，则Error!得Error!Error!令z1b，则n n1(2a，b，b)设平面PDC的一个法向量为n n2(x2，y2，z2)，则Error!得Error!Error!令y21，则n n2(0,1,1)，n n1n n20.n n1n n2，即平面PMC平面PDC.空间向量与空间角利用空间向量只要求出直线的方向向量和平面的
8、法向量即可求解(1)若两条异面直线的方向向量分别为a a，b b，所成角为，则 cos |cosa a，b b|.(2)直线l的方向向量为u u，平面的法向量为n n，直线与平面所成角为，则 sin |cosu u，n n|.(3)二面角的平面角为，两个半平面的法向量分别为n n1，n n2，则n n1，n n2或n n1，n n2 ，根据情况确定如图 33，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图(2)所示的四2棱锥ABCDE，其中AO.3(1) (2)图 33(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角AC
9、DB的平面角的余弦值【精彩点拨】 (1)利用勾股定理可证AOOD，AOOE，从而证得AO平面BCDE；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角【规范解答】 (1)证明：由题意，得OC3，AC3，AD2.226如图，连接OD，OE，在OCD中，由余弦定理，得OD.OC2CD22OCCDcos 455由翻折不变性，知AD2，2所以AO2OD2AD2，所以AOOD.同理可证AOOE.又因为ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)如图，过点O作OHCD交CD的延长线于点H，连接AH.因为AO平面BCDE，OHCD，所以AHCD.所以AHO为二面角ACDB的平面角结合
10、图(1)可知，OH，3 22从而AH.OH2AO2302所以 cosAHO.OH AH155所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.155再练一题3如图 34，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，点E，F分别是平面2A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系试用向量方法解决下列问题：7图 34(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值【解】 (1)由题意得A(2,0,0)，F，B(2,2,0)，E(1,1, )，C(0,2,0)(1，2，22)2，(1，1, )
11、，AF(1，2，22)BE21210.AFBE直线AF和BE所成的角为 90.(2)设平面BEC的法向量为n n(x，y，z)，又(2,0,0)，(1，1, )，BCBE2则n n2x0，n nxyz0，BCBE2x0，取z1，则y，2平面BEC的一个法向量为n n(0, ，1)2cos，n n.AFAFn n|AF|n n|5 2222235 3333设直线AF和平面BEC所成的角为，则 sin ，即直线AF和平面BEC所成角5 3333的正弦值为.5 3333空间向量与立体几何中的数形结合思想空间向量是既有大小、又有方向的量，本身它就具有数形兼备的特点，因此将几何中的“形”与代数中的“数”
12、有机地结合在一起，用向量法解立体几何问题，下列等价关系是从“数”与“形”两方面建立的，它们在向量方法中有重要的作用设直线l，m的方向向量分别为a a，b b，平面，的法向量分别为u u，v v，则：lma ab b；la au ua au u0； u uv v；lma ab ba ab b0；la au u； u uv v u uv v0.如图 35，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为 4 的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.8图 35(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值
13、BD BC1【精彩点拨】 根据面面垂直的性质证明线面垂直，建立空间直角坐标系求二面角的平面角，根据向量的坐标建立方程求线段的比值【规范解答】 (1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!令z3，则x0，y4，所以n n
14、(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m m(3,4,0)所以 cosn n，m m.n nm m |n n|m m|16 25由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.16 25(3)证明：设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且.所以(x1，y13，z1)BDBC1(4，3,4)解得x14，y133，z14.所以(4，33，4)AD9由0，即 9250，解得.ADA1B9 25因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.9 25BD BC19 25再练一题4.如图 36，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为 2 的正方形，EA底面ABCD，FDEA，且FDEA1.1 2图 36(1)求多面体EABCDF的体积
