《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学业分层测评新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学业分层测评新人教b版选修2-1（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.2.23.2.2 平面的法向量与平面的向量表示平面的法向量与平面的向量表示(建议用时：45 分钟)学业达标一、选择题1已知平面的法向量为a a(1,2，2)，平面的法向量为b b(2，4，k)，若，则k( )A4 B4 C5 D5【解析】 ，a ab b，a ab b282k0.k5.【答案】 D2已知平面的一个法向量是(2，1,1)，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )A(4,2，2) B(2,0,4)C(2，1，5) D(4，2,2)【解析】 ，的法向量与的法向量平行，又(4，2,2)2(2，1,1)，故应选 D.【答案】 D3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y
2、，3)，且BPABBCABBCBP平面ABC，则实数x，y，z分别为( )A.，4 B ，433 715 740 715 7C.，2,4 D4， ，1540 740 7【解析】 ，0，即 352z0，得z4，ABBCABBC又BP平面ABC，BPABBPBC则Error!解得Error!【答案】 B4已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是( )A(1，1,1) B(1，3，3 2)C. D(1，3，3 2)(1，3，3 2)2【解析】 对于 B，AP(1，4，1 2)则n n(3,1,2)0，AP(1，4，1 2)n n，则点P在平面
3、内AP(1，3，3 2)【答案】 B5设A是空间一定点，n n为空间内任一非零向量，满足条件n n0 的点M构成的图AM形是( )A圆 B直线 C平面 D线段【解析】 M构成的图形经过点A，且是以n n为法向量的平面【答案】 C二、填空题6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u u(1，3，z)，向量v v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】 由题意知u uv v，u uv v36z0，z9.【答案】 97已知a a(x,2，4)，b b(1，y,3)，c c(1，2，z)，且a a，b b，c c两两垂直，则(x，y，z)_.【解析】 由题意，知Error!解得x64，y26，z
4、17.【答案】 (64，26，17)8若A，B，C是平面内的三点，设平面的法(0，2，19 8)(1，1，5 8)(2，1，5 8)向量a a(x，y，z)，则xyz_. 【导学号：15460076】【解析】 因为，AB(1，3，7 4)，AC(2，1，7 4)又因为a a0，a a0，ABAC所以Error!解得Error!所以xyzyy23(4)2 3(4 3y)3【答案】 23(4)三、解答题9.如图 3219，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.2图 3219【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
5、A(， ，0)，22B(0， ，0)，D(，0,0)，F(， ，1)，M.2222(22，22，1)所以，(0, ，1)，(，0)AM(22，22，1)DF2BD22设n n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n n，n n，BDDF所以Error!Error!取y1，得x1，z.2则n n(1,1，)2因为.AM(22，22，1)所以n n ，得n n与共线2AMAM所以AM平面BDF.10底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【证明】 法一 设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0
6、,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.(1 2，1 2，1 2)4连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.(1 2，1 2，0)因为(0,0,1)，ASOE(0，0，1 2)所以.所以OEAS.OE1 2AS又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又因为OE平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.法二 设平面BDE的法向量为n n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，BDBE(1 2，1 2，1 2)所以Error!即Error!令x1，可得平面BDE的一个法向量为n n1(1,1,0)因为AS平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n n2(0,0
7、,1)AS因为n n1 1nn20，所以平面BDE平面ABCD.能力提升1如图 3220，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )图 3220A(1，2,4)5B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)【解析】 设平面AEF的一个法向量为n n(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E，F.(1，1，1 2)(1 2，0，1)故，.AE(0，1，1 2)AF(1 2，0，1)所以Error!即Error!所以Error!当z2 时，n n(
8、4,1，2)，故选 B.【答案】 B2如图 3221，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )图 3221A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(
9、0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，(0，1，1 2)A1BA1D(0，1，1 2)B1PDB1.设平面A1BD的法向量为n n(x，y，z)，则Error!取z2，则(1，1，1 2)x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则B1QB1P，因为也是平面A1BD的法向量，所以DQDB1B1Q(1，12，1 2)DQ6n n(2,1，2)与共线，于是有 成DQ(1，12，1 2)1 212 112 21 4立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选 D.【答案
10、】 D3.如图 3222，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系_图 3222【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，平面PBC的一个法向量n n(0,1,1)，(1 2，1 2，1 2)(1 2，0，0)EF(0，1 2，1 2)n n，n n，EF1 2EFEF平面PBC.【答案】 垂直4如图 3223，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.1 2图
11、3223(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】 因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系7设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，APACCD可得0，0，所以APCD，ACCD.APCDACCD又因为APACA，所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.(0，0，1 2)BE(1，0，1 2)设平面PCD的法向量是n n(x，y，z)，则Error!因为(1,1,0)，(0,2，1)，CDPD所以Error!取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n n(1,1,2)所以n n(1,1,2)0，所以n n.BE(1，0，1 2)BE因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.
