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1、1第十三讲第十三讲 经济学中的若干数学问题经济学中的若干数学问题一、考试基本要求一、考试基本要求1、了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。了解导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。2、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。3、掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。4、会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题。二、基本内容二、基本内容（一）、微积分在经济学中的应用（一）、微积分在经济学中的应用1 1、 极限在经济学中的应用极限在经济学中的应用（1 1）复利：经
2、济学中一个基本概念，它是指按本金计算的每个存）复利：经济学中一个基本概念，它是指按本金计算的每个存款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再计利息。款周期的利息在期末加入本金，并在以后的各期内再计利息。设某银行年利率为设某银行年利率为 r r，一年支付，一年支付 n n 次，初始存款为次，初始存款为 P P 元，则元，则 t t年后在银行的存款余额为年后在银行的存款余额为。nttnrPA)1 ( 称称为年有效收益，银行称之为票面率。为年有效收益，银行称之为票面率。%100 1)1(n nr由于由于，该式表示当初始存款为，该式表示当初始存款为 1 元，且元，且rtrtrnnenr )1(li
3、m每年支付次数趋于无穷时，称每年支付次数趋于无穷时，称 t 年后存款余额为按年后存款余额为按连续复利连续复利计算计算得到的存款余额。得到的存款余额。因此，当初始存款为因此，当初始存款为 P，年利率为，年利率为 r，则按连续复利计息，则按连续复利计息 t 年年后的存款余额为后的存款余额为。rtPe现实世界中有许多事物的变化都类似于连续复利，如放射性现实世界中有许多事物的变化都类似于连续复利，如放射性物质的衰变、细胞繁殖等。物质的衰变、细胞繁殖等。（2 2）将来值与现值：）将来值与现值：2现存入现存入 100100 元，按年利率为元，按年利率为 r r 计。若以年复利方式获得利息计。若以年复利方式
4、获得利息（即以年为计息基本单位，每年支付一次本息），那么一年后存款（即以年为计息基本单位，每年支付一次本息），那么一年后存款为为元。元。)1 (100r因此可以说今天的因此可以说今天的 100 元相当于一年后的存款元相当于一年后的存款元，元，)1 (100r称这称这元是元是 100 元的将来值，而元的将来值，而 100 元是元是元的元的)1 (100r)1 (100r现值。现值。一般地，称一般地，称元存款的将来值为元存款的将来值为元是指将来指定时刻原元是指将来指定时刻原元元PBP加上利息后正好为加上利息后正好为元。元。B年利息为年利息为，元存款按连续复利计算，现值与将来值关系为元存款按连续复利
5、计算，现值与将来值关系为rP或或。rtPeB rtBeP2、利用导数求解经济应用问题、利用导数求解经济应用问题“边际边际”、“弹性弹性”成本函数：成本函数：21CCC总收益函数：总收益函数：QQPQRR)()( 利润函数：利润函数：CRL弹性：弹性： “导数导数”“”“倒数倒数”yx dxdy ExEy反映随反映随的变化函数的变化函数的变化幅度的大小，即的变化幅度的大小，即对对的变化的变化x)(xf)(xfx所反映出的强烈程度或灵敏度。两点间的弹性是有方向的。所反映出的强烈程度或灵敏度。两点间的弹性是有方向的。需求弹性：需求需求弹性：需求对价格对价格的弹性，常用的弹性，常用表示表示QP)(P)
6、()()(PfPPfP用需求弹性分析总收益的变化用需求弹性分析总收益的变化 )(PfPQPR3)1)()()(1)()()(PfPfPPfPfPfPPfR、若、若（需求变动的幅度（需求变动的幅度0）。）。5试证明（试证明（1 1）,min)(lim)2( ,)(lim 0LKAxQQxQ xx （1）因为）因为)1 (ln1ln)(lnxxLKxAxQ)ln(ln)1 ()1 (ln)1 (lnlim)1 (lnlim100LKLKLKLLKK xLKxxxxxxxx所以所以QLAKxQLAKLKAxQxx 10110 )(lim)ln()ln(ln)(lnlim（2）当）当，0lim,min
7、xxKLKLKln(1)ln(1)lnlimlim (1)ln(1)ln lim(1)lnlnxxxxKLKKLL xxxxxKLxLKLK xxL K KK 因而当因而当AKxQKLK x )(lim,min同理可证当同理可证当ALxQLLK x )(lim,min因此有因此有,min)(limLKAxQ x 6例例 4 4、某商品进价为、某商品进价为（元（元/件），根据以往经验，当销售价为件），根据以往经验，当销售价为a（元（元/件）时，销售量为件）时，销售量为件（件（均为正常数，且均为正常数，且），），bccba,ab34市场调查表明，销售价每下降市场调查表明，销售价每下降 10%，销售
8、量可增加，销售量可增加 40%，现决定一，现决定一次性降价。试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出次性降价。试问：当销售价定为多少时，可获得最大利润？并求出最大利润。最大利润。解解 设 p 表示销售价，x 表示销售量, 需求函数为 mkpx 则由题设有cmbckmkbcmkbc5,4 9 . 04 . 1 即 ，或 cpbcx54xcbbp445利润函数为axpxxL)(axxcbbx2 445令 bcabxxcbabxL2)45(0245)(0由问题的实际意义或可知，为极大值点，也是最大值0)(0 xL0x点，故定价为 时，有最大利润abbcab cbbp21 85 2)45( 4
9、45（元）2 0)45(16)(abbcxL例例 5 5、设生产函数为、设生产函数为，其中，其中是产出量，是产出量，是劳动投是劳动投KALQ QL入量，入量，是资本投入量，而是资本投入量，而均为大于零的参数，则当均为大于零的参数，则当K,A时时关于关于的弹性为的弹性为 。1QKL当当时，有时，有1Q LAKKAL1 1711( )1( )ALLK LLK LAL 例例 6 （04 年）年）设某商品的需求函数为，其中价格PQ5100 ，Q 为需求量。)20, 0(P （1）求需求量对价格的弹性；)0(ddEE（2）推导（其中 R 为收益），并用弹性说明价)1 (dEQdPdRdE格在何范围内变化
10、时，降低价格反而使收益增加。解解 （1）PP QQPEd20（2）由 R=PQ, 得 ).1 ()1 (dEQQQPQQPQdPdR又由 ，得 P=10.120PPEd当 10P20 时，于是. 故当 10P20 时，降低价1dE0dPdR格反而使收益增加。例例 7、设某商品的需求函数为、设某商品的需求函数为，其中，其中为需求量，为需求量，220pQQ为价格。为价格。p（1 1）求需求弹性函数）求需求弹性函数；)(p（2）价格）价格在什么范围内变化时，总收益随在什么范围内变化时，总收益随增加而增加；增加而增加；pp在什么范围内变动时，总收益随在什么范围内变动时，总收益随增加而减少？增加而减少？
11、pp（3 3）为何值时，总收益最大，最大值为多少？为何值时，总收益最大，最大值为多少？p（4）在）在时，若价格上涨时，若价格上涨 1%，总收益是增加还是减少，将变，总收益是增加还是减少，将变4p化百分之几？化百分之几？8（1 1）pp pp pQpQp280 220)41()( （2 2）由关于需求弹性）由关于需求弹性与总收益的关系可知与总收益的关系可知)(p当当时，总收益时，总收益随价格随价格增加而增加；增加而增加；1)(0pRp当当时，总收益随价格时，总收益随价格增加而减少。增加而减少。1)(pp注意到（注意到（1）的结果便知）的结果便知当当时，总收益时，总收益随随单调增加；单调增加；96
12、4000 pRp当当时，总收益时，总收益随随单调减少。单调减少。96400pRp（3）当）当，即，即时，总收益最大。时，总收益最大。1)(p96400p由于由于27128000 220max23RpppQR（4）1762 42804)4(故总收益故总收益随随单调增加单调增加，即当价格上涨，即当价格上涨 1%时，总收益将增时，总收益将增Rp加。加。由于由于214320pR97. 07674 )4(4)4(4RREpERp所以价格上涨所以价格上涨 1%，总收益将增加，总收益将增加 097%9例例 8 8、设某商品需求量、设某商品需求量是价格是价格的单调减少函数的单调减少函数，其，其Qp)(pQQ
13、需求弹性需求弹性，0192222 pp（1 1）设）设为总收益函数，证明为总收益函数，证明；R)1 ( QdpdR（2 2）求）求时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义。6p（1 1）)1 ()1 ()()(QdpdQ QpQdpdQpQdpdRppQpR（2）2219231921)1 (pp pQpQRp dpdR EpER 54. 01376pEpER经济意义：当经济意义：当时，若价格上涨时，若价格上涨 1%，则总收益将增加，则总收益将增加6p054%例例 9 9、设某商品对价格的需求弹性为、设某商品对价格的需求弹性为 3 3，对价格的供给弹性为
14、，对价格的供给弹性为 2 2，且，且当价格当价格时，社会对该商品的需求量时，社会对该商品的需求量与供给量与供给量分别分别为为1pDS。00,SD（1）求该商品在供求平衡时的平衡价格；求该商品在供求平衡时的平衡价格；（2）若价格是时间若价格是时间 的函数，且价格的变化率与超额需求量的函数，且价格的变化率与超额需求量t成正比，与价格成正比，与价格成反比，求价格对成反比，求价格对 的函数的函数，SD pt)(tp已知已知；0)0(pP10（3）求求)(limtp t（1）由）由pdp DdD Dp dpdD33因因；300) 1 ( pDDDD由由pdp SdS Sp dpdS22因因200) 1 (pSSSS令令 51002030 SDppSpDSD（2 2）由题设与（）由题设与（1 1）的结果知）的结果知)()()(040pSpDkpSDk dttdp为比例系数。即有为比例系数。即有0k51 0550050005004)1 ()()0(tkStkSepeSDtpppkdtpSDdpp（3 3）510051 05500500)1 (lim)(lim SDepeSDtptkStkStt
