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1、 56 第第 7 7 章章 参数估计参数估计 -点估计点估计 一、填空题一、填空题 1、设总体X服从二项分布),(pNB，10 P，nXXX21,是其一个样本，那么矩估计量p X N. 2、 设 总 体)p, 1 (BX， 其 中 未 知 参 数 01p , XXXn12, 是 X的样本， 则 p的 矩 估 计 为_ n1iiXn1_， 样本 的 似 然 函 数 为_iiX1n1iX)p1 (p_。 3、 设 12,nX XX是 来 自 总 体 ),(NX2的 样 本， 则 有 关 于 及 2的 似 然 函 数2 12(,; ,)nL X XX _2i2)X( 21n1ie21 _。 二、计算
2、题 1、设总体X具有分布密度( ; )(1),01f xxx，其中1是未知参数，nXXX,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计. 解：因1010111dxxdxxxXEa)()()(21 211 02 |ax 令21 )(XXE XX 112为的矩估计 因似然函数1212( ,; )(1)()n nnL x xxx xx niiXnL11ln)ln(ln，由 niiXnL101lnln得， 的极大似量估计量为) ln( niiXn11 2、设总体X服从指数分布 ,0( )0,xexf x 其他，nXXX,21是来自X的样本， （1）求未知参数的矩估计； （2）求的极大似然估计. 57
3、 解： （1）由于1()E X ，令11XX，故的矩估计为1 X （2）似然函数1 12( ,)ni ix n nL x xxe 111lnlnln0ni inin i i iLnxdLnnxdx故的极大似然估计仍为1 X。 3、设总体20,XN，12,nX XX为取自X的一组简单随机样本，求2的极大似然估计； 解 (1)似然函数22211 2ixniLe 22 12222n iixn e 于是2 2 2 1lnln2ln222n iixnnL 2 224 1ln1 22ni idLnxd ， 令2ln0dL d，得2的极大似然估计：2211ni iXn. 4、设总体X服从泊松分布( )P,
4、12,nX XX为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计； （2）求的极大似然估计. 解： （1）令()E XXX，此为的矩估计。 （2）似然函数1121( ,) !ni ix nnni ieL x xx x 1111lnlnln!ln0nnii iinnii iiLxnxxxdLnxdn故的极大似然估计仍为X。 58 第七章第七章 参数估计参数估计 -点估计的评价标准点估计的评价标准 一、填空题 1 、 设321,XXX是 取 自 总 体X的 一 个 样 本 ， 则 下 面 三 个 均 值 估 计 量32133 2123211121 43 31,125 41 31,21 103
5、 51XXXuXXXuXXX都是总体均值的无偏估计，则 2 最有效. 2、 设nXXX,21是取自总体), 0(2N的样本，则可以作为2的无偏估计量是( A ). A、 niiXn121B、 niiXn12 11C、 niiXn11D、 niiXn111二、计算题 1、 设nXXX,21为从一总体中抽出的一组样本， 总体均值已知， 用 niiXn12)(11去估计总体方差2，它是否是2的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计. 解：因 niniiiXEnXnE1122)(11)(1122 1nn niiXn12)(11不是2的无偏估计 但 niiXn12)(1是2的无偏估计 2、设nXXX,2
6、1是来自总体),(2N的一个样本，若使112 1)(niiiXXC为2的无偏估计，求常数C的值。 解： 11 22 11 111 22 11 11 22222122() () 2212(1)2(1)nniiii iiniiii iniE CXXCE XXCEXEXEXEXCnCCn 59 第七章第七章 参数估计参数估计 -区间估计区间估计 一、选择题一、选择题 1、设总体),(2NX，2未知，设总体均值的置信度1的置信区间长度l，那么l与a的关系为( A ). A、a增大，l减小 B、a增大，l增大 C、a增大，l不变 D、a与l关系不确定 2、设总体),(2NX，且2已知，现在以置信度1估计
7、总体均值，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ). A、提高置信度1，增加样本容量 B、提高置信度1，减少样本容量 C、降低置信度1，增加样本容量 D、降低置信度1，减少样本容量 二二、计算题、计算题 1、设总体)9 . 0 ,(2NX，当样本容量9n时，测得5X，求未知参数的置信度为0.95 的置信区间. 解：的置信区间为22(,)XZXZnn 05. 0 9n 9 . 0 5X 0.05 21.96Z 的置信区间为)588. 5,412. 4(。 2、设总体2( ,),XN 已知0,要使总体均值的置信水平为1的置信区间的长度不大于L，问需要抽取多大容量的样本。 解：的置信区间为0022
8、(,)XZXZnn， 22 0 02 2 24 2Z ZLnLn 3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),(2NX，现从某批产品里随机抽取 6 件，测得它们的直径(单位：mm)为： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度95. 01(即05. 0) (1)若06. 02，求的置信区间 (2)若2未知，求的置信区间 (3)求方差2，均方差的置信区间. 解 ： (1)2已 知 ， 则的 置 信 区 间 为22(,)XZXZnn，60 25,0.05,1.96nZ 代入则得的置信区间)15.15,75.14( (2)2未知，则的置信区间为22(,
9、)SSXtXtnn，05. 0, 5n 查表得0.05 22.5706t，代入得的置信区间为)19.15,71.14( (3)2 2 2(1)(1)nSn 2的置信区间2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnS nn 5,05. 0n 代入得2的置信区间为：)3069. 0 ,0199. 0(。 均方差的置信区间为( 0.0199, 0.3069)(0.1411,0.2627) 4、 设从正态总体 X 中采用了 n = 31 个相互独立的观察值 , 算得样本均值 61.58X及样本方差 22)8 . 5(S, 求总体 X 的均值和方差的 90%的置信区间 解：, 8 . 5s ,31
10、n ,95. 021 ,05. 02, 9 . 01 0.05(30)1.6973t 的 90%的置信区间为 : 2(1)(56.84, 60.38)sXtnn 22 0.050.95(30)43.77(30)18.49 ，S2 = 33.64 2的 （1-a）%的置信区间为 : 222222 1(1)(1),(1)(1)nsns nn即 6 .541 .2349.188 .3330 77.4364.333022 2的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6) 5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X 服 从 正 态 分 布 N( , 2 ) , , 2未 知 , 现 从
11、中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 : 10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 , 61 求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 . 解：995. 0)(41, 6 .1151512251 ii iixxSxx 41,95. 021 ,05. 02, 9 . 01n 22 0.050.95(4)9.488,(4)0.711xx 598. 5711. 0995. 04,419. 0488. 9995. 04 2及 的 90%的 置 信 区 间 为 (0.419 , 5.598) 及 )366. 2 ,
12、647. 0()598. 5,419. 0( 6、 二正态总体 N(1 , 12) , N(2 , 22)的参数均未知 ,依次取容量为 n1=10 , n2=11的二独立样本 ,测得样本均值分别为121.2,2.8xx，样本方差分别为 29. 0,34. 02 22 1SS, (1) 求二总体均值差12的 90%的置信区间。 （2）求二总体方差比 90%的置信区间。 解：1210.9,0.05,19,1 102nn （1）29 0.34 10 0.290.313719ws，0.05(19)1.729t， 12的 90%的置信区间为 1111(1.22.8 1.7290.3137,1.22.8 1.7290.3137)10111011 ( 2.0231, 1.1769) （2）0.05(9,10)3.02F 0.95 0.0511(9,10)(10,9)3.14FF 17. 129. 034. 02 22 1SS2 22 1/的 90%的 置 信 区 间 为 : )67. 3 ,39. 0()14. 317. 1 ,02. 3117. 1 (
