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1、沈阳工程学院第七章 常微分方程第七章 常微分方程(Differential Equation)第二节一阶微分方程(Differential Equation of First Order)教学目的：1.熟练掌握可分离变量的微分方程的解法2.一阶线性微分方程的公式求法 3.能利用微分方程解决简单的实际问题教学内容：1.可分离变量的微分方程2.一阶线性微分方程教学重点：1.可分离变量的微分方程的解法2.一阶线性微分方程的公式求法教学难点：一阶线性微分方程的公式求法教具：多媒体课件教学方法：讲授法精讲：重点讲清可分离变量的微分方程的解法和一阶线性微分方程的 公式求法。多练：在讲授后，通过练习、讨论和
2、分析归纳帮助学生自我消化、自我提高，从而培养学生的计算能力。教学过程：一阶微分方程有许多形式，这里我们只研究可化为下列形式的一阶微分方程),(yxfdxdy一、可分离变量的微分方程一般地，我们把形如)()(yNxMdxdy(1)或0)()()()(2211dyyNxMdxyNxM(2)的方程叫做可分离变量的一阶微分方程，简称可分离变量的方程。 对可分离变量的方程我们可采用“分离变量” 、 “两边积分”的方法求得它的解。如对 方程(1)可按下列步骤求解：分离变量当0)(yN时，方程(1)可化为沈阳工程学院dxxMyNdy)()(两边积分dxxMyNdy)()(若)()(,)(1)(xMxFyNy
3、G，则可得方程(1)的通解CxFyG)()(3)或化为显形式为CxFGy)(1(若)(yG有反函数)。例例 1 求方程xyxylnln2的通解。解：解：原方程可化为xydxdyln)1 (2，它是可分离变量方程。分离变量得xdxydyln12两边积分得xdxydyln12计算积分可得原方程的通解为Cxxxylnarctan，即)lntan(Cxxxy例例 2 求方程)2(xdyydxxdy满足初始条件41xy的特解。解：解：将方程)2(xdyydxxdy变形为xydxdyx2)1 (2分离变量得212 xxdx ydy 两边积分得212 xxdx ydy计算积分可得121lnlnCxy或22l
4、n1lnlnCxy(此处 C2为大于零的任意常数)沈阳工程学院因此，原方程的通解是)1 (2xCy(C 为任意常数)将条件41xy代入上式得 C2。满足初始条件故原方程41xy的特解是)1 (22xy在例 2 中，两边积分时出现了表达式1)(lnCxy，为去对数可令)0(ln221CCC，此时有)( 2xeCy，即)(xCey，这里 C 仍去任意常数。在解微分方程时，经常会遇到方程的通解为1)(lnCxy的情况，可直接将其化为)(xCey。对此，以后不再加以说明。在一些实际问题中遇到的微分方程可能不是可分离变量的微分方程，但可通过适当的变换将其化为可分离变量的方程。形如)(xyfdxdy的方程
5、若不是可分离变量方程，则可通过变化uxy化为可分离变量的微分方程。一般地，我们把方程)(xyfdxdy(4)叫做一阶齐次微分方程。在方程(4)中作变换uxy，则可得dxduxudxdy，此时方程(4)可化为)(ufdxduxu该方程是可分离变量方程，因此可求其通解，进而可求得方程(4)的解。例例 3 一曲线上任一点),(yxP处的切线与直线 OP 所成的角为4，且过点)0 , 1 (，求该曲线方程(如图 11- 1 所示)。解：解：设曲线方程为)(xyy ，由导数的几何意义可知：曲线在点),(yxP处的切线的斜率为tan)(xyk，而直线 OP 的斜率为tanxykOP，依题意可得4，因此可得
6、xyxyy 11此方程为一阶齐次方程。可作变换uxy，即xuy ，此时uxuy，将其代入上式得uuuxu11，即沈阳工程学院)1 (12uxu dxdy 这是以 u 为未知函数得可分离变量方程，分离变量可得dxxduuu1 )1 (12两边积分可得其通解为Cxuuln)1ln(21arctan2回代xyu 可得原方城的通解为Cyxxy)ln(arctan222将初始条件01xy代入上式可求出 C0，因此所求曲线方程为0)ln(arctan222yxxy二、一阶线性微分方程形如)()(xQyxPy(5)的方程叫做一阶线性微分方程，其中)(),(xQxP为已知函数。当0)(xQ时，方程(5)即为0
7、)(yxPy(6)称为一阶线性齐次微分方程。相应的0)(xQ时，方程(5)称为一阶线性非齐次微分微分方程。不难看出，一阶线性齐次微分方程是可分离变量方程，分离变量得dxxPydy)(，两边积分可得其通解为dxxPCey)(7)其中 C 是任意常数。注意注意在dxxPCey)(中，dxxP)(仅表示)(xP的一个原函数。在以后所给出的微分方程的通解公式中积分表达式均如此，不再说明。 为了求方程(5)的通解，我们采用微分方程中常用的“常数变易法” ，即将(7)式中的常数 C 用函数)(xC代替，并设dxxPexCy)()(是方程(5)的解，代入方程(5)可整理得沈阳工程学院)()()(xQexCd
8、xxP即)()()(xQexCdxxP两边积分得CdxxQexCdxxP)()()(将其代入dxxPexCy)()(便得方程(5)的通解为 CdxxQeeydxxPdxxP)()()(8)以上我们利用“常数变易法”解出了一阶线性非齐次微分方程的通解，在具体解题中 并不要求仅用此方法来求解一阶线性非齐次微分方程的通解。方程(5)的通解可化为dxxQeeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(9)此式中等号右端第一项dxxPCey)(1是一阶线性齐次微分方程的通解，而第二项dxxQeeydxxPdxxP)()()(是一阶线性非齐次微分方程的一个特解（通解中 C 取 0） 。这一结构正是所有线
9、性非齐次微分方程的通解所具有的特点。 我们可按下列步骤求一阶线性非 齐次微分方程的通解： 第一步：将方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式；第二步：求出方程重的)(xP与)(xQ；第三步：计算积分dxxPey)(；第四步：计算积分)()()(xdexQdxxP；第五步：由公式(9)写出原微分方程的通解。例例 4 求微分方程2xxy dxdy的通解。解：解：因为xxP1)(，2)(xxQ。xeeydxxdxxP1)(1计算积分 021021 1)()( 222)(xxxx dxxxxdexQdxxP由公式(8)，原方程的通解为 021021)( 3 23 1)()(xxxCxxxC CdxxQ
10、eeydxxPdxxP沈阳工程学院即3 21xCxy例例 5 求方程dxxxydyx)21 ()1 (22满足初始条件10xy的一个特解。解解：原方程可化为此方程为一阶线性微分方程，其中212)(xxxP，1)(xQ。212 )(112xeeydxxx dxxP计算积分xdxxxdexQdxxParctan11)()(2)(所以原方程的通解为xxxCyarctan)1 ()1 (22。将初始条件10xy代入上式可得1C。所以，所求特解为)arctan1)(1 (2xxy在利用公式(9)解一阶线性微分方程时，注意到dxxPe)(与)()()(xdexQdxxP中的dxxPe)(互为倒数，可使计算
11、更为简便。例例 6 一跳伞队员质量为 m，降落时空气的阻力与伞下降的速度成正比，设跳伞队员离开飞机 时的速度为零。求伞下降的速度关于时间 t 的函数。解解：设跳伞队员离开飞机 t 秒时，其速度为)(t，则该时刻所受阻力)(tkf，此时受重力为mgP 。由牛顿第二定律可知：)(t满足微分方程kvmgdtdm，且由跳伞队员离开飞机时的速度为零得0)0(，所以此问题化为求解下面的初值问题：00tvgvmk dtdv方程gvmk dtd为一阶线性非齐次微分方程，其通解为kmgCevtmk ，将条件0otv代入可得kmgC，故所求函数为)1 (tmk ekmgv由此我们可分析出：队员离开飞机后，开始阶段是在加速运动，经过一段时间后逐渐趋1122yxx dxdy沈阳工程学院近于匀速运动。练习：1、求通解 (1)dyxydx； （2）3yyx； （3）tan1yyy；2、求特解4,0xdyxydxy 小结：可分离变量的微分方程一阶线性微分方程作业:P140B组 1（1） ， （3） ；2（1） ；4
