卫星定位原理

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1、 第第 1 页页图文解说卫星定位原理 图文解说卫星定位原理 作者：程稳平 作者：程稳平 目 录 1.双曲面坐标系的预备知识 2.卫星定位的数学分析模型 3.给地面点定位的初步原理 4.从物波源到像波源的变换 5.伪坐标实用技术应用原理 6.卫星定位技术的实施方式 7.相关测量技术的处理方式 8.卫星定位系统的时基分析 1.双曲面坐标系的预备知识1.双曲面坐标系的预备知识 由三条互相垂直的数轴构成的笛卡尔直角坐标系，是大家最熟悉和最简单的一种确定空间点位置的测量体系。 它其实是由三族相互垂直的平行平面相交构成的交点来确定出每一个具体的位置点坐标。 在解析几何里， 任何图形都是动点的运动轨迹， 而

2、由具有某种共同特性的动点轨迹可组成某些特殊图形。 比如圆是一个动点对定点作等距离运动的轨迹， 因此可以把圆看作是由无第第 2 页页数到定点的距离相等的点组成。而与 X 轴和 Y 轴相交的 XY 平面是 z0 动点运动轨迹，与 Y轴和 Z 轴相交的 YZ 平面是 x0 动点运动轨迹， 与 Z 轴和 X 轴相交的 ZX 平面是 y0 动点运动轨迹； 而与 XY 平面平行的平面是 z 等于非零常数的动点运动轨迹， 与 YZ 平面平行的平面是 x 等于非零常数的动点运动轨迹，与 ZX 平面平行的平面是 y 等于非零常数的动点运动轨迹。 换句话说，任何位置点的三个坐标值其实是由分别与 YZ 平面平行、与

3、 ZX 平面平行、与 YZ 平面平行的三个平面的方程组所确定；只因为这三个平面的代数方程表达式太简单,可以直接从它们的代数方程得知唯一解， 进而使大家容易忘记掉直角坐标值蕴涵的数学物理意义。 实际上， 任何位置点的三个坐标值也可由其它任何三个相互不平行的平面之交点来确定， 当人们使用一般的平面方程来确定空间位置点时， 所使用的数学表达方式就不再那么简单，而不能省略掉求解过程了。 在下面的示意图中，三个相互不平行的 A 平面、B 平面、C 平面的方程分别是 a1Xb1Yc1Zd10 ， a2Xb2Yc2Zd20 ， a2Xb2Yc2Zd20 ； 由它们的交点 P 确定的空间点位置坐标(x,y,z

4、)就需要通过求解上述三个线性方程构成的方程组才能得到。 第第 3 页页人们只要知道构成三个平面的特性所发生的变化规律， 就能够求解出它们的共同交点的运动变化规律。 右图是对其中最简单的运动点在移动过程中确定其坐标的三个平面跟随改变空间位置的演示。需要明确弄清楚，由三个平面或曲面相交的共同交点确定的位置点，并非必须是同一时刻呈现在该地方的事物。 例如由四个先后呈现在某个地方的波阵面相交确定的位置点， 乃是分别位于四个不同的曲面上， 属于四个动点的轨迹之交集。 有时为了俭省语言，可能使用同时处于几个空间面上的表达方式， 这使一些人误以为几个空间面必须同一时刻呈现在该地方。 基于坐标系乃是方便进行某

5、种测量的工具， 人们当然还会根据实际需要建立起其它方式的坐标系。柱面坐标系就是其中常用的一个，它由一族平行平面、一族同心圆筒和一族绕同一条轴线转动的扇形分布状平面所构成。它是平面极坐标加高度坐标轴组成的结果，主要用于机械加工中的旋转体（如螺纹）的位置测量上。 若用圆筒方程、 扇形分布状平面方程加垂直于圆筒轴线的平面方程来确定空间位置点坐标，在直角坐标系中的三个代数方程表达式分别为 X2Y2R2 ， aXbY0 ， Zh ； 由它们的交点确定的位置坐标(x,y,z)，可通过求解上述三个方程构成的方程组得到；因过于麻烦，一般不这么使用。而是采用“圆筒半径转角高度”的表达方式，也就是用平面极坐标加高

6、度坐标组成坐标参数 第第 4 页页另一个比直角坐标系发明更早 1600 年的是在球面上建立的经纬度坐标系，它由一族同心球面，一族同轴圆锥面和一族绕同一条轴线转动的扇形分布状平面所构成。其中，同心球面的球心与所有同轴圆锥面的锥点位置重合。 对具体某个球面上的位置点， 只需用扇形分布状平面的转角“经度”和同轴圆锥面偏离中间平面的夹角“维度”来做为它们的位置坐标。经纬度坐标系主要用于在地球表面确定地理位置， 若采用直角坐标来寻找地理位置将十分困难,人们想在地图上把任何一条半径圆周上的各个位置点的直角坐标值全标注出来都办不到。对生活在地面上的人来说,并不需要知道地面上各个点的直角坐标值具体是多少，只要

7、知道它们位于那两条圆周弧线的交叉处，就能准确地将它们寻找到。正因为如此，经纬度坐标系被人们最先发明出来。 若用球方程、 扇形分布状平面方程加同轴圆锥面方程来确定空间位置点坐标， 在直角坐标系中的三个代数方程表达式分别为 X2Y2R2 ， aXbY0 ， X2Y2kZ2 ； 由它们的交点确定的位置坐标(x,y,z)，可通过求解上述三个方程构成的方程组得到。 简言之， 坐标系是根据人们的实际需要制定的用来确定空间位置点的测量系统。 人们可以根据新的需要，随时制定出新的方便使用的坐标系。要点是，组成立体坐标系的三族曲面在其使用范围内，每族曲面中的任何一个曲面都必须与另一族曲面中的任何一个曲面相交。第

8、第 5 页页否则， 由它们三族曲面列立的方程组将出现无解状况， 这意味着在制定的坐标系里存在某些空间点不能被确定出位置参数。所以，并不是随意选中三族曲面，都适合用来制定坐标系。例如全部用三族同心球面来组成坐标系， 就会出现三球面不能相互有交线的无解状况。 若采用三族同轴圆锥面来组成坐标系， 只要三条轴线不在一个平面上并且相交在一点， 且该点处于三族圆锥面的包围之中， 就可以在一定的应用范围内， 保证每族曲面中的任何一个曲面都必定与另一族曲面中的任何一个曲面相交。 此外，人们具体会选用那种曲面来组成坐标系，还要依据它是否方便实际测量。由三族圆锥面组成的坐标系做数学分析当然可行，另改用三族对数旋转

9、曲面，三族抛物曲面，三族双曲面，替代三族圆锥面组成坐标系，作数学分析都同样可行。相比之下，使用三族双曲面组成坐标系在测量技术上具有特别的优点可以利用,只因为在以往的教材里没有对三族双曲面组成的坐标系作介绍，大众对它不熟悉。其实，它比上述几个先前已经被人们熟悉的坐标系更好让人们感觉到它在空间分布的坐标曲面状况。 学过物理光学的人们应该知道， 两个相干点光源发出的光线在空间发生干涉形成的明暗分布状况就呈现为一族以两个点光源为虚焦点的双曲面， 而且它就相对于光传播媒介参照系处于相对静止状态。在地面，光传播媒介参照系与地面保持相对静止。当人们把观察屏摆放在该双曲面的各个位置上时， 看到的干涉条纹正是观

10、察屏与双曲面相交处的交贯线。 需要提醒注意，使用观察屏仅是为了方面目视观察,并非是摆放了观察屏才形成干涉条纹。可直接使用微型光电探头对空间各个位置的光线强弱进行检测验证，若发生干涉的光波不是可见光， 使用观察屏也不能被人眼看见到干涉条纹， 而只能用光电探头对空间各个位置的光线强弱作出检测判断。 实验证明，由相干光形成的明暗干涉条纹，可以在 1mm 间隔里产生超过 1000 条以上条纹。为了看起来显眼，在上述演示图中未实际比例尺寸画出两个点光源的距离。实际,当看到演示图中所示的宽距离干涉条纹时， 两个点光源的距离在 0.1mm 数量级， 画出来已不能区分开。 由相干光形成的分布为双曲面的明暗干涉

11、图样， 与两个点光源连线垂直的平面是光程差为 0 的零级亮条纹分布位置处。 紧靠在它两侧， 分别是光程差为 1 倍波长的 1 级亮条纹分布位置，接下去分别是光程差为 2 倍波长的 1 级亮条纹分布位置，光程差为 3 倍波长的 1第第 6 页页级亮条纹分布位置，光程差为 N 倍波长的 N 级亮条纹分布位置， 这样，由光程差为 0 亮纹平面的和光程差为波长整数倍的各级亮纹双曲面就组成了能够把空间位置区分开的双曲面坐标系。经细分后的最小分辨能力可达一个波长的 1/100,即 6 纳米。 这样， 人们可以在地球表面选定 4 个地点作为安放三族双曲面的虚焦点位置， 将三族双曲面的公用虚焦点位置设定在中间

12、， 其余 3 个虚焦点分布在四周尽量保持对称均匀。 从而确保在三族双曲面的三个“距离差”坐标取值范围内， 每族双曲曲面中的任何一个曲面都必定与另一族双曲曲面中的任何一个曲面相交， 形成容易区分开的两个交点。 并因 4 个虚焦点不在一个平面上,三族双曲面的垂直平分面必定不相交在一条直线上，而只有一个交点。 为便于表达， 约定从公用虚焦点位置到动点的距离减去另三个虚焦点位置到动点的距离差为正向。从公用虚焦点到另三个虚焦点的直线距离分别为 2d1、2d2、2d3 ，由三族双曲面组成的空间坐标系所确定的空间点位置坐标（L1,L2,L3）,其取值范围是 L10,d1，L20,d2 ，L30,d3； 用这

13、种坐标参数确定空间位置虽然不适合人们的思维习惯， 但它在无线定位技术方面有着独特的应用优势。 2.卫星定位的数学分析模型2.卫星定位的数学分析模型 根据解析几何, 在三维立体空间里， 一动点与两个定点的距离之差保持为常数可确定出一个双曲面； 另一动点与另两个定点的距离之差保持为常数确定出另一个双曲面； 再一动点与另外两个定点的距离之差保持为常数确定出再一个双曲面； 三个双曲面的交贯线交点便是能同时出现在三个双曲面上的动点位置。 把三组定点中的三个定点合并为一， 就只需要四个定点便可给三个动点分别确定出三个双曲面。 由于三个双曲面拥有一个共同焦点， 将使得靠近共同焦点的三个双曲面的交贯线最多只有

14、两个交点。 第第 7 页页这里约定三个双曲面共用使用的焦点为号定点,另三个地面定点分别为号、号、号,它们分布在号定点周围。这里把除共同的定点之外的号、号、号三个定点确定的平面称为 U 平面， 三个双曲面上的两个交点将分别处于 U 平面两侧。 在已知卫星远离地面的情况下,三个双曲面确定的两个交点必定被U平面隔开,与号定点同在U平面一侧的交点即是发信号给地面接受的卫星像空间位置， 依据它可将多余解去掉。 适当做法是建立好地球坐标系，使地面号定点处于其中一条轴上，比如处于 Z 轴上，那就可以将求解出的 Z坐标为负值的交点舍弃。 现有一波源 A 在 to1 时刻向地面发出脉冲光波或电磁波信号， 地面上

15、序号为、 、 、的四个坐标对应为（X1,Y1,Z1）、（X2,Y2,Z2）、（X3,Y3,Z3）、（X4,Y4,Z4）的固定点，接受到该信号的时刻分别为 ta1、ta2、ta3、ta4,由光波或电磁波的传播速度恒定为 C，可得知 A 点到 4 个固定点的距离分别为 C(ta1to1)、C(ta2to1) 、C(ta3to1)、 C(ta4to1) ， A 波源点到固定点与到固定点的距离差为 C(ta1to1) C(ta2to1)C(ta1ta2)， A 波源点到固定点与到固定点的距离差为 C(ta1to1) C(ta3to1)C(ta1ta3)， A 波源点到固定点与到固定点的距离差为 C(t

16、a1to1) C(ta4to1)C(ta1ta4)， 第第 8 页页根据距离公式可得到如下方程组 (X1Xa)2(Y1Ya)2(Z1Za)2 (X2Xa)2(Y2Ya)2(Z2Za)2 C(ta1ta2) , (X1Xa)2(Y1Ya)2(Z1Za)2 (X3Xa)2(Y3Ya)2(Z3Za)2 C(ta1ta3) ， (X1Xa)2(Y1Ya)2(Z1Za)2 (X4Xa)2(Y4Ya)2(Z4Za)2 C(ta1ta4) ； 鉴于平方后再开方的方程在求解中会产生增根， 从上述方程组计算求出的解最多可达 8个，依据其中 Z 坐标为负值的根可直接舍弃，能排除 4 个不符合要求的解。剩余 4 个解，还需要依据波源到地面四个已知位置坐标的定点的距离关系式， 分别从四个定点计算出波源