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1、第六章第六章伯努利积分和动量定理伯努利积分和动量定理第六章第六章伯努利积分和动量定理伯努利积分和动量定理6 1 伯努利积分和拉格朗日积分伯努利积分和拉格朗日积分6.1 伯努利积分和拉格朗日积分伯努利积分和拉格朗日积分a) 伯努利积分伯努利积分2a) 伯努利积分伯努利积分gradpFvvrotVgradv12 gpgt22 V0 2 vvrotVVgrad 22V0 22 VV 2sV2 CVV 22 2条件1：无粘性重力流体条件1：无粘性重力流体条件2：不可压缩定常流动(单位质量流体)条件2：不可压缩定常流动(单位质量流体)2 pgz2v2 常数常数(沿流线沿流线) 2动能动能 重力势能重力势
2、能压强势能压强势能 重力势能重力势能b) 拉格朗日积分拉格朗日积分0rotvvgrad b) 拉格朗日积分拉格朗日积分0,rotvvgrad 2 0VgradP 02gradPt 2V( )2VPF tt 2t c) 伯努利伯努利-拉格朗日积分拉格朗日积分c) 伯努利伯努利 拉格朗日积分拉格朗日积分V2 CVV2CpV2不可压缩重流体不可压缩重流体C2不可压缩重流体不可压缩重流体CpV2可压缩均熵流体可压缩均熵流体Cp 12伯努利方程的限制条件伯努利方程的限制条件条件的放宽条件的放宽说明说明1：沿流线沿流线伯努利方程的限制条件伯努利方程的限制条件沿流束沿流束条件的放宽条件的放宽(沿流束)(沿流
3、束) 2 22 221 12 11 22pgzVpgzV222VpVpv定常流定常流不定常流（取不定常流（取121）无粘性流体无粘性流体粘性流体粘性流体21122 121d22VpVpvgzgzst22 1122 1222LVpVpgzgzh无粘性流体无粘性流体粘性流体粘性流体222dVp不可压缩流体不可压缩流体可压缩流体可压缩流体1 1d 2Vpgz常数常数6.2 伯努利积分和拉格朗日积分的应用伯努利积分和拉格朗日积分的应用a) 小孔出流小孔出流)例1很大的容器，表明自由面A静止不动，从而 这是个定常问题分析： 这是一个定常问题b) 驻点压力驻点压力)均匀气流定常地绕过某物体 流动，求O点压
4、力流动，求O点压力。前方未扰动气流压力和速度 分别为p 与V分别为p与V分析：O点为滞止点，压力为滞止压强，速度为0。分析点滞点力滞度c) 文托利管文托利管)利用压力，测流量利用压力，测流量分析分析：准一维假设，定常，可用伯努利方程求解分析分析准维假定常伯努利程求解解：解： 由连续方程和伯努利方程：6.36.3 动量定理及其应用动量定理及其应用6.36.3动量定理及其应用动量定理及其应用vdSpdFdSvvdtvSnSndSprdFrdSvvrdvr dSprdFrdSvvrdtr SnSn dSdFdSdSpdFdSvv SnSn a) 小孔出流的反推力小孔出流的反推力)b) 火箭发动机工作
5、原理火箭发动机工作原理)c) 射流冲击平板射流冲击平板)例4.6 例4.6 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-1) 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-1) 已知已知: :文丘利管如图所示文丘利管如图所示已知已知: : 文丘利管如图所示文丘利管如图所示求：求：管内流量管内流量Q设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。截面为设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件。截面为A1、A2，平均速度为，平均速度为V 1、，流体密度为流体密度为 . .取取。解：解：V 2，流体密度为流体密度为. .取取。121由沿总流的伯努利方程由沿总流的伯努利方程由沿总流的伯努利方程由沿总流的伯努利方程22 2
6、12 1pVpV(a)(a)2 221 11 22pgzpgz(a)(a)移项可得移项可得)()(22 21 12 12 2 pgzpgzVV(b)(b)例4.6 例4.6 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-2)文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-2)由于由于A1、A2截面上为缓变流，截面上的压强分布规律与截面上为缓变流，截面上的压强分布规律与U形管内静止流体一样。设形管内静止流体一样。设U形管内液体的密度为形管内液体的密度为m，液位差为，液位差为h，由压强公式可得，由压强公式可得 ()1313()ppg zz将上两式代入(b)式，并利用等压面关系式将上两式代入(b)式，并利用等压面关系
7、式 p3= p5，及及，可得可得43hzzp3p5，及及，可得可得4322 321 113()2pVVgzgzgz5 2242(h)mpgzggzgz 43h()(1) hmmgg zz ( ( ) )(1) hmg ( (c) )例4.6 例4.6 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-3) 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-3) 由连续性方程由连续性方程1 21 2VAAV ( (d) )将(d)式代入(c)式 ,整理后可得大管的平均速度为将(d)式代入(c)式 ,整理后可得大管的平均速度为2Vkg h12Vkg h上式中上式中1/ 2(/)1mk 上式中上式中2 12() (/)1m AAkk称为流速系数称为流速系数，文丘利管的流量公式为文丘利管的流量公式为k称为流速系数称为流速系数，文丘利管的流量公式为文丘利管的流量公式为12QkAg h
