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1、2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承 诺诺 书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员 (打印并签名) ：1. 孙国力 2. 薛飞
2、3. 刘伟 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 9 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评 阅 人评 分备 注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1城市土壤表层重金属污染分析摘要本文是针对城市表层土壤重金属污染分析的问题。 针对问题 1，结合附件 1 中所给的土壤重金属的浓度数据，利用 Excel 软 件绘制出五个区域
3、中各重金属元素浓度均值直方图及高中低三段海拔与元素浓 度均值关系的直方图，通过两幅图反映出 8 种元素在该城区的空间分布情况。 结合附件中所给出的土壤重金属元素浓度背景值信息，建立地质累积污染指数 模型计算出该城区内不同区域重金属的污染程度。通过结果分析可以得到：砷 在除山区和交通区外的浓度都达到了中度污染级别；镉在除山区外的其余各区 域均达到了中度污染级别；铬在生活区和交通区达到了中度污染级别；铜除山 区外，工业和交通区均达到了重度污染，其余各区为中度污染；汞在工业区为 重度污染级别，其余除山区外均受到中度污染；镍在五个区域中未造成污染； 铅和锌除山区外其余各区均受到中度污染。 针对问题 2
4、，通过对问题一中不同区域内重金属元素污染程度的指标类别， 金属污染物间的相关关系和重金属元素扩散途径的各项数据进行分析，确定出 各种金属元素污染的主要原因分别是：造成砷污染的主要原因是工业区的工业 三废；镉污染的主要原因是汽车尾气的排放和工业三废；铬污染的主要原因是 汽车尾气与工业三废；铜污染的主要原因是生活垃圾和含铜的工业废水；汞污 染主要原因是工业三废；铅污染的主要原因是工业废气和汽车尾气；锌污染的 主要原因是工业三废。 针对问题 3，首先根据 8 种重金属元素的传播特征，建立加权平均模型， 依据每种重金属元素传播特征的不同，分别给海拔和污染物浓度赋予不同的权 重，以每种重金属元素浓度排名
5、最高的前三个作为取样点，分别以取样点为中 心建立半边长为 1600 米的正方形网格，计算出不同网格中各个采样点浓度的加 权平均值，通过比较得到浓度最大值所在区域即为污染源。通过对加权平均模 型求解得到：砷的污染源位于 84 号取样点所在的网格区域的交通区；镉的污染 源位于 95 号取样点所在的网格区域内的交通区；铬的污染源位于 49 号取样点 所在的网格区域内的工业区；铜的污染源位于 6 号取样点所在的网格区域内的 工业区；汞的污染源位于 9 号取样点所在的网格区域内的工业区；铅的污染源 位于 8 号取样点所在的网格区域内的工业区；锌的污染源位于 36 号取样点所在 的网格区内的工业区。 针对
6、问题 4，分析所建的地质污染累积指数模型及线性加权模型的优缺点， 为了能够更好的研究城市地质环境的演变模式，还应收集时间和水流通量密度 对金属离子在土壤中迁移的影响参数以及城市的风向，历年地表河流状况，不 同时期对不同元素离子浓度的测定值等信息，建立金属离子浓度迁移模型解决 对地质环境的演变的分析。关键字：金属污染物 加权平均模型 污染源 空间分布 金属离子浓度迁移模型2一、 问题重述伴随着城市经济的快速发展与城市人口的不断增加，人类活动对城市环境 质量的影响日益突出。如何应用海量数据资料对城市环境质量进行评价，研究 人类活动下城市地质环境的演变日益成为人们关注的焦点。 城区按照功能一般可分为
7、生活区、工业区、山区、主干道区（交通区）及 公园绿地区等，此题中将其分别依次记为 15 类区域。现对某城市的土壤地质 环境进行调查，将城区划分为间距一公里左右的网格子区域，对土壤表层中的 重金属元素进行取样，编号，同时以远离人群及工业活动的自然区取样，作为 该城区表层土壤中重金属的背景值。 现要求通过数学建模来完成以下任务： 1、给出 8 种主要重金属元素在该区域的空间分布，并分析该城区内不同区 域重金属的污染程度。 2、通过对数据的分析，说明重金属污染的主要原因。 3、分析重金属的污染物的传播特征，对此建立模型，确定污染源的位置。 4、分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模
8、式，还 应该收集什么信息，来建立模型解题。二、问题分析问题要求对该城区重金属的污染状况进行详细分析，且不同的区域污染情 况各不相同。文中所涉及的 8 种重金属分别是:、。AsCdCrCuHgNiPbZn针对问题 1，要给出 8 种主要重金属元素在该城区的空间分布并分析不同 区域的污染程度。由于采用二维平面难以体现出各采集点的海拔差异，因此， 先对不同类的区域所包含的采集点进行统计，对不同重金属在不同区域的浓度 量纲进行标准化处理，再使用平均值法算出各重金属在不同区域的含量均值， 之后绘制相应的柱状图，并结合不同的海拔高度进行描述分析，以体现重金属 元素的空间分布规律。在对城区内不同区域重金属污
9、染程度分析时，建立地质 累积指数1模型，运用地质累积指数分级标准与污染程度的关系，进行污染程 度的判定和划分。 针对问题 2，需通过对数据的分析，来说明重金属污染的主要原因。结合 问题一中对不同区域污染程度的划分级别和重金属间的相关关系，对 8 种重金 属进行分析。在不同的区域中同种重金属的浓度差异较大，针对受污染的区域 按其功能不同，再结合重金属的产生途径，从而推断出造成该区域重金属污染 的主要原因。 对于问题 3，需分析重金属污染物传播的特征建立模型，确定污染源的位 置。由题中已知的各取样点的坐标和海拔高度与该区域重金属的污染程度以及 重金属的传播特性相结合，进行综合评价确定位置。首先，将
10、同种重金属元素 按所给取样点浓度由高到低进行排序，对 8 种不同的重金属元素排列后,由于重 金属污染源的浓度相对较高，但浓度最高的也不一定为污染源，因此，取其浓 度靠前的前三个取样点，以每个点为中心，做半边长为 1600 米2的正方形网格。 将网格中的每个点与浓度最高点的投影距离运用两点间距离公式进行计算；由 于金属污染程度与污染程度较高点的距离成反比关系，因此，先对求出距离的3倒数，依据距离的不同求出所包含各点的距离权重值，再将各点浓度与权重相 乘求和得到每一个正方形网格的特殊值，依据此种方法，对每个不同网格都求 出其特殊值，之后，结合不同海拔高度，对海拔和污染浓度特殊值分别按照重 金属传播
11、特性赋予不同权值，统一量纲后，计算出海拔和特殊值分别与权值积 的和后比较此数据大小，选出最大者并确定此种重金属所属网格，此网格即为 此种重金属的污染源。 对于问题 4，需要分析出所建模型的优缺点，研究城市地质环境的演变模 式，说明缺少的信息，并建立模型说明问题。首先对题中所建立的模型进行优 缺点的细致分析，优点保留，缺点予以改进，由于信息量有限，会造成模型求 解结果与实际有较大的偏差，据此分析缺少的信息，如时间对重金属离子在土 壤中迁移的影响，水的通量密度对金属离子在土壤中迁移的影响等。对土壤中 的重金属浓度利用迁移公式建立模型，在此基础上作出合理的外推，模拟重金 属在土壤中的迁移行为和浓度分
12、布，解决相关问题。三、 问题假设1、假设各取样点的数据可信度较高。 2、忽略土壤值对重金属元素的影响。PH 3、假设此城市中一种重金属只有一个主要的污染源。 4、假设重金属元素在此城区符合其自身的传播特性。四、 符号说明：地质累积污染指数geoI：不同取样点的重金属浓度测量均值nC：不同重金属浓度在该城区的背景值nBE：指 8 种重金属的编号n：两取样点的平面距离D：指不同中心点的横坐标ix：指方形网格内取样点的横坐标jx：指不同中心点纵坐标iy：指方形网格内取样点的纵坐标jy：网格内的中心点标号i：网格内取样点的标号j：网格内不同点与中心点距离权重m4：统一量纲后的数值tK：方格区域内所取取
13、样点标号t：指归一化处理前的不同数据gK： 个不同类数据点各自未归一前的数值rKr：网格中浓度的特殊值s：加权平均所得数值L：浓度特殊值的权重a：海拔高度的权重b：取样点海拔高度h：重金属污染物浓度最高点A：重金属污染物浓度次高点B；重金属污染物浓度较高点C五、 模型的建立与求解5.1 重金属空间分布与各区域内重金属污染程度分析 5.1.1 八种重金属空间分布 利用 Excel 求出各重金属在五个不同区域的浓度均值，绘制柱状图如下：图 1 8 种重金属元素在不同区域污染物浓度分布（）：/mg kg50.0050.00100.00150.00200.00250.00300.00As CdCr C
14、u Hg Ni Pb Zn 生活区 工业区 山区 交通区 公园绿地依据图中所提供的信息分析表明：在五块区域中的含量基本一致，这说As明该城区分布大致均匀，约维持在 5.9左右，无过高地区；五块区域As/mg kg中，重金属的含量相差不大，但相对来说，除山区外，其余各区均比其高出Cr 一部分；从图 1 可以明显看出在工业区分布较多，山区分部最少，其余各区Cu 分布介于二者之间；的分布在各区基本相同，没有因为地理的分布不同而出Ni现局部过高的情况，基本维持在 17.3；在工业区含量较多，达到/mg kgPb93.0，其余各区含量相对减少，尤其是山区，其含量较低，仅为 36.6/mg kg；从图中可
15、以看出重金属在工业区，生活区，主干道（交通区）的/mg kgZn含量相对较高，最高达到了 277.9，而同时，山区的含量却相对较低，/mg kgZn仅有 73.3；的含量山区最低为 152.3，其余各区差异较小，/mg kgCd/mg kg约为 360.2,；而在生活区和公园绿地区的部分基本相同约为 102.5/mg kgHg左右，在工业区，的含量却很高，达到了 642.4的浓度，在/mg kgHg/mg kg交通区其含量也达到了 449.65的高浓度。/mg kg运用 Excel 先将所有取样点海拔分为高、中、低三段，并对每段海拔内各 金属元素浓度求出均值，绘制柱状图如下：图 2 8 种重金
16、属元素在不同海拔的污染物浓度分布（）：/mg kg60.0050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.00As CdCr Cu Hg Ni Pb Zn 高海拔 中海拔 低海拔对各区域的海拔以高、中、低三段进行分析可发现：、和的分布AsCdNi 受海拔的影响非常小；但、和在高海拔地区明显比中、低海拔地区明CrCuZn 显高出许多，说明在高海拔地区其分布较中低海拔偏多；而在高海拔地区相Pb对比中低海拔地区略高。对于重金属从图中可以明显看出在中海拔地区其Hg浓度异常高，说明该地区的中海拔地带污染较重。Hg由于各种金属元素间有一定的相关性，分布有一定的规律，据此，根据各个不同重金属取样点的浓度运用 SPSS 软件进行
