勾股定理常见练习题

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1、第 1 页（一）情境引入（一）情境引入如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面 10m 处折断倒下，树顶落在离树根 24m 处. 大树在折断之前高多少？（二）合作探究（二）合作探究（1）观察下面两幅图并填表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）左图右图（2）问：、图形 A、B、C 的面积有何关系？、图形 A、B、C 的面积与三角形的边长有何关系？、由、可得出直角三角形三边长有什么结论？勾股定理勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么abc222abc 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高

2、定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三 角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家 商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形 的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 . .勾股定理的证明勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：常见方法如下：ABCCBAcbaHGFEDCBA第 2 页方法一：方法一：，化简可证4EF

3、GHSSS正方形正方形ABC D2214()2abbac方法二：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422Sabcabc大正方形面积为 222()2Sabaabb所以222abc方法三：方法三：，化简得证1() ()2Sabab梯形2112S222ADEABESSabc梯形. .勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐 角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对 象是直角三角形 .勾股定理的应用勾股定

4、理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则ABC90C，22cab22bca22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股 定理解决一些实际问题 .勾股数勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，222abc ， ， 为正整数时，称 ， ， 为一组勾股数abcabc 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；3,4,56,8,105,12,13 等7,24,25 用含字母的代数式表示 组勾股数：n（为正整数） ；221,2 ,1nn n2,n n（ 为正整数）（， 为正整数）2221,22 ,221nnnnnn2222,2,mnmn mn,mnm

5、n题型一：已知两边求第三边题型一：已知两边求第三边【例 1】直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为 7，8，则以斜边为边长2cm2cm的正方形的面积为_2cm【例 2】已知直角三角形的两边长为 5、12，则另一条边长是_【例 3】作出长度为的线段。10bacbaccabcababccbaEDCBA第 3 页【例 4】一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为 2.5，高为 12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6，问吸管要做多长？针对练习针对练习1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A2，3，4 B10，8，4 C7，25，24 D7，15，122、已知一个 Rt的两

6、边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A25 B14 C7D7 或 253、以面积为 9 cm2的正方形对角线为边作正方形，其面积为（ ）A9 cm2 B13 cm2 C18 cm2 D24 cm2题型二：利用勾股定理测量长度题型二：利用勾股定理测量长度【例例 1】1】 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析：解析：已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！根据勾股定理 AC2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.【例例 2】2】 如图（8），水池中离岸边

7、D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC. 解析：解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知ACD 中,ACD=90,在 RtACD 中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。解：解：如图 2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2 设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（ x+0.5）2AB第 4 页解之得 x=2.故水深为 2 米.题型三：转化思想题型三：转化思想 【例 1】如图，有一

8、圆柱，其高为 12cm，它的底面半径为 3cm，在圆柱下底面 A 处有一只蚂蚁， 它想得到上面 B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_ cm。 （ 取 3）题型四：利用勾股定理解决实际问题题型四：利用勾股定理解决实际问题 【例 1】如图，在一个高为 3 米，长为 5 米的楼梯表面铺地毯， 则地毯 长度为多少米？巩固练习巩固练习1、如图 1，直角ABC 的周长为 24，且 AB:AC=5:3，则 BC=（ ）A6 B8 C10 D12 图 1 图 22、如图 2，一架云梯长 25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ）A4 米

9、 B6 米 C8 米 D10 米3、将一根长 24 cm 的筷子，置于底面直径为 5cm、高为 12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 hcm，则 h 的取值范围是（ ）A5h12 B5h24 C11h12 D12h24BA第 5 页4、已知，如图，长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A6cm2B8cm2 C10cm2D12cm2 5、已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，则四边形 ABCD 的面积为（ ）A、36， B、

10、22 C、18 D、12 6、如图中阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积为 64 厘米2，则 X 的长为 厘米。7、如图，从电线杆离地面米处向地面拉一条长米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 米。8、如图，在等腰直角ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，AB=8，则 AD2= 。9、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则_AB米。10、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 6cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm2。11、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200m，结果他在水中实际游了 520m，求该河流的宽度为多少？第 6 页四、课堂小结四、课堂小结 1、勾股定理的条件及性质； 2、运用勾股定律解决实际问题的方法。5 5、布置作业布置作业 【思考题思考题】1、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是 。