态函数及其演化方程

《态函数及其演化方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《态函数及其演化方程（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1第二章第二章 态函数及其演化方程态函数及其演化方程我们看到微观粒子即不是经典意义的粒子也不是经典意义的波而是同时具有波 和粒子两面性的客体量子的粒子性只取经典粒子概念中的原子性或颗粒性即能 够在空间很小的范围和很短的时间内被整个观察到而不包含经典粒子具有轨道的运动特 征量子的波动性只取经典波动性的最本质的特征波的线性叠加性而不要求构成粒 子的物质弥散在空间虽然波动性是单个粒子所拥有的特征但是波动性的规律却需要通 过大量重复实验对处于同样状态的大量粒子进行观测才能反映出来上一章已经分析 了把这种波粒子理解为概率波的合理性 本章给出关于概率波的准确描述2.1 作为概率幅的态函数基本假定之一作为概

2、率幅的态函数基本假定之一单粒子的空间运动状态由一个复函数单粒子的空间运动状态由一个复函数)(rv描述描述以后如不特别声明所研究的系统是单个微观粒子)(rv称为概率幅(probability amplitude)或波函数(wave function)或态函数(statefunction)双逢衍射实验告诉我们微观粒子没有轨道的概念不存在位矢和动量都有确 定值的状态因此态函数只是位矢的函数坐标表象实际上也可以用动量的函数作 为态函数这是量子力学的另一种表示方式动量表象 所谓态函数描述粒子的空间运动状态有两层意思1 由)(rv可以知道测量粒子位置动量能量角动量等与其空间运动有关的物理量的统计性质2 由

3、某时刻0t粒子的态函数)(),(0rtrvv=完全决定以后时间粒子的态函数),(trv态函数的物理意义由玻恩玻恩Born1926解释给出基本假定之二基本假定之二rdr32)(v正比于在正比于在rv处体积微元处体积微元rd3中观察到粒子的概率中观察到粒子的概率体积微元dddrdrdxdydzrd=sin232.1在rv处d体积微元中观察到粒子的概率为drconstrdW2)()(vv= 2.2因此2)(rv具有相对概率密度的意义人们通常只关心与相对概率有关的测量2例如在衍射实验中在某点接收到粒子的计数率与实验使用粒子的总数有关通常是 无法准确知道的而两点计数率之比等于这两点计数之比独立于实验使用

4、粒子的总数测量起来容易得多在空间任意两点1rv和2rv2 22 1 2 22 1 )()()(rrrcrc vvvv=可见)(rv和)(rcv描述的状态具有相同的相对概率即态函数乘以一个复任意常数并不改变粒子在空间各处被观察到的概率分布如果一个粒子在空间各处被观察到 的概率分布即相对概率那么可以称这个粒子处于一个确定的状态所以态函数 有一重要的特点)(rv和和)(rcv表示同样的粒子态表示同样的粒子态从理论上讲若粒子不生不灭在非相对论情形成立则在全空间观察到粒子的 总概率是常数在全空间对2.2积分得到粒子在全空间被观察到的概率对单个 非相对论粒子在全空间被观察到的概率应该等于一=1)(21dr

5、CdWv2.3= Cdr2)(v 2.4所谓归一化是重新选择如下态函数)(1)(1rCrvv= 2.5它的绝对值平方具有绝对概率密度的意义drrdW2 1)()(vv= 2.6如前述)(1rv和)(rv在物理上是等价的描写同样的状态经过归一化后的态函数仍有任意性设是实常数则)(1reiv和)(1rv一样是归一化的且对应同一状态称ie为常数相因子在量子力学中描述状态的基本量是态函数而态函数本身不是物理可观测量因 此允许有不确定性通过态函数计算得到的力学量的统计值才是可以与实验比较的 量在经典物理中描写客体状态的物理量本身就是实际可观测量如位矢动量等 力学量 注意在原理二中提到的是观察到粒子的概率

6、而不说粒子处于某处的 概率这是有一区别的观察强调了测量只谈论测量的结果而处于则可能 有更多的不正确的暗示例如不管是否进行测量粒子可以客观地处于某处 并且如果它在某处便不可能在别处等等量子力学仅是一个关于测量的理论它 不涉及任何与测量无关的或未测量前微观粒子行为的讨论3态函数的一些数学性质1 平方可积 为了使2.232.4有意义态函数的绝对值平方在全空间的积分应该存在 小于无穷大这一性质成为平方可积性 对实际的物理态粒子在全空间被观察到的概率必定是有限的因而相应的态 函数是平方可积的但为了方便在量子力学中还常常用到一些非平方可积的理想 状态例如平面波)exp()(rk iArvvv= 2.7它的

7、绝对值平方等于2A为一常数表示粒子在空间任意位置被观察到的概率都一样 它的绝对值平方在全空间的积分正比于空间的体积 当空间体积为无穷大时 积分发散因此计算它的绝对概率密度处处为零是没有意义的显然严格 的平面波实际上是不能存在的它只是一种理想状态但由于下列的原因量子力 学仍然允许这样的态函数1平面波2.7代表的理想状态物理图象是清楚的 没有定义的总概率物理上并不感性趣2存在真实的物理状态它在一定有限 空间范围内往往是物理感性趣的范围可以非常好的由平面波描写3任意态 函数都可以用平面波展开傅立叶展开即任意态都可以看作是平面波的线性叠 加故平面波给数学处理量子力学问题带来很大的方便 在经典物理也常用

8、类似的理想状态例如匀速直线运动严格意义下是不存在 的什么东西会不受到任何相互作用呢但在经典物理中匀速直线运动没有任何数 学的奇异性故很容易被接受下来了再看另一个例子理想单摆它是一个没有 大小的重物通过一条没有重量的细线上如果计算单摆的质量密度分布则摆锤处 密度为无穷大其它地方为零没有人觉得不舒服因为在理想单摆问题中质量 密度是一个没有的概念 平方可积的要求在很多情况下都可放松为在任意有限大的空间范围内在任意有限大的空间范围内态函 数的绝对值平方的积分有限态函 数的绝对值平方的积分有限 若态函数的绝对值平方在全空间的积分发散便不能对态函数归一化这是 绝对概率密度的概念变成一个没用的概念为了方便有

9、时仍希望态函数具有绝对 概率密度幅的意义为了达到这个目的可以假设整个物理空间虽然非常大但是 是有限的这个假设适用的前提是我们关心的物理结果与远处边界条件的关系可 以忽略 为了满足平方可积条件态函数在无穷远处必须足够快地趋向于零如果基于 物理的考虑所讨论的粒子不能跑到无穷远处那么态函数就必须满足平方可积条 件这种状态成为束缚态 对粒子可以跑到无穷远的情况例如在散射实验中的粒子态函数只需满足放 松后的平方可积条件即可2 单值性如果没有特殊的理由很难接受一个基本物理量不是空间坐标的单值函数但 态函数不是一个直接可以观测的量所以它非单值也不是完全不可能的但一定要 保证物理观测值统计平均值概率密度概率流

10、密度等单值43 连续性 我们相信物理定律是定域的态函数是某种微分方程波动方程的解因此 如没有特殊的原因我们也要求态函数连续一阶导数连续在某些特殊情况如 势能有无穷大的跃变态函数的导数可以不连续2.2 叠加原理叠加原理(Superposition principle)干涉现象是波的线性叠加的后果 我们已经把粒子的这种波称为态函数 波函数 把它的线性叠加性数学化便是下面的量子力学基本原理叠加原理叠加原理量子力学基本假设之三量子力学基本假设之三1如果1和2是粒子的可能状态的态函数则2211cc+= 2.8也是一个可能的态函数其中1c和2c为任意常数2设在某时刻0t态函数由1和2按2.9线性叠加而成则

11、在大于0t的时刻t这种叠加关系不变也就是说如果到t时刻三个状态12和分别演化成12和则他们仍然存在关系2211+=cc 2.9显然2.8和2.9可以推广到任意多个态函数的线性叠加1中的所谓可 能状态是指在给定边界条件下原则上可以实现的状态满足物理规律的状态叠 加原理等同于假设态函数满足线性的波动方程线性叠加系数1c和2c的意义是什么呢让我们再重温双逢衍射实验ab设打开 a 逢并关闭 b 逢的态函数为)(rav打开 b 逢并关闭 a 逢的态函数为)(rbv5直观上有0)(=barrvv0)(=abrrvv根据叠加原理有一种可能的状态其态函数为)()()(21rcrcrbavvv+=不妨设ab和均

12、已归一化因而1|2 22 1=+ cc根据玻恩对态函数的解释粒子在 a 逢处体积微元内观察到粒子的概率为=+=22 12 212| )(|)()()(aaabaaarcrcrcrvvvv其中利用了0)(=abrrvv设每条逢的截面为s粒子的平均速度为v若取vdts=则上式右边便等于处于态的粒子在dt时间内被观察到通过逢 a 的概率而vdtsraa2)(v等于处于a态的粒子的相应概率对于稳定的过程和a均与时间无关设平均在时间 T 内有 1 个粒子通过衍射挡板因为处于a态的粒子在时间 T 内通过 a 逢的概率为一所以1)(2=vTsraav故处于态的一个粒子被观察到走 a 逢的概率等于2 1| c

13、同理处于态的粒子被观察到走 b 逢的概率等于2 2| c因此我们得到一个猜想设由1和2均已归一化如果1拥有一个可测量的特征而2没有则在叠加态2211cc+=中拥有该特征的概率为2 1| c应用在关于源对称的双逢衍射中同时打开 a 逢和 b 逢粒子有相同概率通过逢 a 和逢 b故2/1|2 22 1= cc其态函数可写为)(21)(21)(rrrbavvv+=希尔伯特空间希尔伯特空间叠加原理是量子力学的最重要的基本原理之一它规定了量子力学的基本数学结 构矢量是可以线性叠加的因此常把态函数比作矢量称为态矢量state vector 矢量因其可以线性叠加而构成所谓线性空间故态矢量也构成线性空间可以对

14、两矢 量进行内积点乘运算得到一个标量类似可以定义两个态矢量的内积如下=drr)()(),(*vv2.106易证内积有下列基本关系数学上这些关系作为内积的定义0),( 等号仅当0=时成立 2.11*),(),(= 2.12),(),(),(22112211cccc+=+ 2.13态矢量的内积是一个复常数定义了内积的线性空间成为线性内积空间完备的线性 内空间称为希尔伯特空间所谓完备空间是指空间中的任一收敛矢量序列都收敛于 属于该空间的一个矢量希尔伯特空间的一个重要性质是该空间存在可数1的基矢量集使任意矢量都可 写成这套基矢量集的线性叠加 基矢的存在使空间极大的简化因此我们希望所有态函数构成希尔伯特

15、空间所有态函数构成希尔伯特空间可 以证明所有平方可积复函数因为有叠加原理和内积的定义而构成希尔伯特空间即 使包含超出平方可积的但满足放松的平方可积的态函数我们也假定态函数空间有 一套可数的完备基矢集 和一般的完备线性内积空间希尔伯特空间相比态函数空间还有一个重要的 特征所有态函数同时乘一任意常数没有任何可观测的变化即每个态矢量的物理 意义不变作业2.1 课本习题 2.12.52.3 薛定谔方程薛定谔方程动力学方程经典力学牛顿方程量子力学态函数演化方程薛定谔方程方程的形式? ),(0trv完全决定),(trv因此演化方程是时间的一阶微分方程? 叠加原理要求方程关于),(trv是线性的? 粒子不生不灭概率流守恒方程是齐次方程讨论题故方程有如下形式),(),(),(trrHtrtivvvh=2.14其中),(rHv是一个待定的定域的线性算符算符 operator作用在任意态函数上得到另一态函数1 若集合和自然数集即123 等之间存在一一对应关系则称该集合为可数集元素个 数有限的集合也称为可数集7