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1、光场的夫琅禾费衍射与傅里叶变换的关系光场的夫琅禾费衍射与傅里叶变换的关系U0 是孔径后的场复振幅分布， U是远场复振幅分布。复振幅分布反应了入射场的付里叶变换，或直观的看到了入 射场的频谱分布，用一种物理手段实现了一种数学变换。还有其它的方法吗？回顾.正絃型振幅光柵的夫琅禾费衍射-8-6-4-20246800.20.40.60.81l整理上式忽略交叉项上式忽略交叉项求Z处+1谱点位置？求衍射角？输入图像的付里叶谱还可以直观的呈现输入图像的付里叶谱还可以直观的呈现在透镜的后焦面上在透镜的后焦面上。本节课程内容。本节课程内容还可以有其它的方法吗？实现付里叶分解在物理上的实现，必须找到相应的物理元件
2、。远场的夫琅禾费衍射装置就是图像的空间频谱分析器， 这就是现代光学对经典光学中的夫琅禾费衍射的重新认 识。夫琅禾费衍射实现了屏函数的付里叶变换。第六章 透镜的变换性质本书第三章本书第三章 光学成像系统的频率特性光学成像系统的频率特性 3.1-3.33.1-3.3主要内容n透镜的位相变换性质n透镜的付里叶变换性质:n点光源,平面波照明, -频谱面在共 轭面,焦平面上n物体在透镜前或透镜后,对频谱面尺寸的影 响,透镜后频谱面尺寸可调节n透镜的孔径对付里叶变换的影响-截 止频率前言: 透镜是 组成光学系统的 基本光学元件之一。在光学成 像系统中，透镜起着成像、转像、补偿相差及调整倍率的 作用。在光学
3、的信息处理中，透镜起着限制波面和变换 波面的作用。限制波面的作用是由于透镜的有限孔径决定的。而变换波面的作用则是由于透镜两个球面的曲率半径 产生的。透镜的变换性质包括位相变换性质和傅立叶变换 性质.透镜的傅立叶变换性质是光学信息处理的基础。正是由于 透镜在一定条件下能实现傅立叶变换，才使得傅立叶分析方 法在光学中取得卓有成效的作用。透镜通常是由光学玻璃或其它透明物质组成的 ，其折射率大于周围空气的 折射率。因为光波在透镜中的传播速度小于光在空气中的传播速度，所以光波通过透镜后会产生位相延迟，其 大小正比于透镜的各点的厚度。薄透镜的位相变换性质简单讨论:“薄透镜”指透镜的 厚度与曲率半径比 足够
4、小。以至于光 线经过透镜之后的 出射点在垂直光轴 方向上产生的位移 可忽略第一节:透镜的位相变换性质 3.1 透镜的位相变换作用透镜看作衍射屏sSpqx-yU1U1薄透镜：不考虑厚度引起的光折射透镜孔径函数透镜孔径内其他3.73.63.5pp/入射光场 U(x,y)U(x,y)出射光场相位因子t(x,y)U(x,y) . t(x,y) =U / (x,y)o对于薄透镜，如果忽略它对光波地吸收作用，则U(x,y)与U(x,y) 只相差一个相位因子t(x,y) ，Z1、 z2 是除外的空气隙的厚度。.Z2(x,y)Z1(x,y)R1R2即:当f 0,出射球面波将在透镜 后焦面F /处汇聚，如右图:
5、F当f f), 观察面p2位于光源面的共軛面上与透镜的距离为q = p f ( p f ).球面波SPqd0p2设照明球面波在r =1, 处的振幅为a0 ,物体的透射系数为t(x0,y0). 则透过物体后的光场分布为U0(x0,y0).按照菲涅耳衍射公式，p2上的光场分布为:x0x1xC是与x , y 无关的复常数。3.15其中， x/ (f-d0), =y/ (f-d0) 由式(39)和式(315)可以看出，不管伦射物体仇于何种位置， 只要观察面是照明光源的共扼面，则物面(输入面)和观察面(输出 面)之问的关系都是付里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫 琅示费型。显然d0=0时，由式(3。
6、15)也可得出式(3。11)，物体紧贴透镜后表面与物体紧贴前表面的公式完全相同 。结论: 当照明光源和观察面是一对成物像关系 的共轭面时；无论物透明片是放在透镜前或透 镜后，除差常数相位因子外，观察面总是物的 频谱面。 下图列出了各种傅立叶变换的特点:变换 性质物面 位置光源 位置变换平 面位置二次位相因子空间频率傅立 叶变 换前焦 面 d0=f无 穷远穷远 后焦面 无pq=pf/(p-f)无变 换 性 质物面 位置光源 位置变换平 面位置二次位相因子空间频率准 傅 立 叶 变 换透 镜镜 前 d0处处后焦面 pq=pf/(p- f) d0=0后焦面pq=pf/(p- f) 透 镜镜 后 d0
7、处处后焦面pq=pf/(p- f)作业作业 3.2 3.2求入射函数， 频谱函数？透镜焦距 f0，斜入射角 3.2.3透镜孔径对透镜 傅立叶变换的影响由于透镜孔径对光波的限制作用，实际上透镜孔径的大小总是 有限制的，他对傅立叶变换特性会产生影响。下面我们仅讨论一些简单条件的情况:物在透镜前方 单色平行光照明 忽略透镜孔径的衍射作用一:透镜孔径对光线的限制作用如前所说，频谱面上任意一点M(x,y)处的光场可以看作是整个物 体上所有各点发出的一切以方向余弦(cos =x/f, cos =y/f)传 播的平行光线经透镜汇聚后的叠加，如下图:x0xM(x,y )Ly0yfO但是这些光线受到了透镜孔径的
8、限制，只有其中一部分能进入 透镜并被汇聚。为便于分析透镜孔径的限制作用，在上图中沿MO 方向向透镜孔径投影到物平面上，并考察物体被孔径投影覆盖的情 情况。如果整个物体在孔径投影区内如果整个物体在孔径投影区内则表明物体上所有点发出的 以方向余弦(cos a,cos b)传播的所有光线都能通过透镜并汇聚于M点 。此时M点的光线就代表了物体发出的该方向平面波所对应的空间频 ( cosa/ , =cosb/ )的频谱值。如果物体只有一部分在孔径如果物体只有一部分在孔径 投投投影区内投影区内，如图中的阴影部分，则表明只有在孔径投影区内发出的 以方向余弦(cosa,cosb)传播的光线才能通过透镜汇聚于M
9、点，而投投影区外物体发出的该方向光线将不能进入透镜而受到限制，此 此时M点的光线将不能完全代表整个物在该方向平面波所对应的空 空间频率的谱值。如果物体在空间投影区外如果物体在空间投影区外，则表明物体上以 OM方向传播的平面波完全不能通过透镜而汇聚，此时M点的光场 为0。于该方向平面波对应的空间频率的谱值在频谱面上得不到任 何反映。 二:透镜的截止的频率透镜的截止频率是指恰好不能通过透镜的平面波所对应的空间频率 例如:用单色平面波垂直照明:ffDL平面波恰好不能通过透镜， 角 对应的空间频率 即为透镜的截止频率x0X,设透镜的焦距为f，孔径为D,物体大小为l 。则有:对应的截止频率为:由上式可见
10、，截止频率 0 与透镜孔径D有关，透镜孔径D越大 时，截止频率0越高，能通过透镜的高频分量就越多，频谱面上得 到的物体的傅立叶变换就越准确。三:能得到物体准确傅立叶变换的最大空间频率透镜孔径的限制作用体现在对物体高频分量的限制，如果物体的 最大空间频率不超过某一数值，则在频谱面上仍然可以得到准确的 傅立叶频谱。如下图:lffDmax当物体的最大空间频率所对应的平面波以a 角传播时，物体上所有频率分量都能通过透镜，此时有 :对应的最大空间频率为 :结论:则该系统能实现对物体的准确傅立叶变换 。则对物体中对应截止频率 的频率分量 将完全不能通过系统，完全被透镜孔径所拦截 。只有一部分光线能通过透镜
11、，即存在 不同程度的渐晕，因而得到的傅立叶变换不是准确的 。四:考虑透镜孔径影响后频率的复振幅表示式透镜的孔径通常用光瞳函数P(x1,y1)来表示:(光瞳内 ) (光瞳外 )当考察透镜孔径对频谱面上某一点M(x,y)光场的影响时，应将透镜 孔径的边框沿MO方向在物平面上投影。该投影区的大小近似与透镜 孔径P(x1,y1)相同,只是其中心一般不在坐标原点，而在处。因此透镜孔径边框在物体平面上的投影可用 表示。对应物体在透镜前，且用平行光垂直照明的情况，当考虑透 镜孔径P(x1,y1)对频谱的影响时，频谱平面上的复振幅分布为:U(x,y)=五:物面位置对透镜傅立叶变换的影响频谱面上的光场分布不仅与
12、透镜的焦距和孔径有关，而且与物面 位置d0有关。当物面离透镜愈近时，渐晕效应愈小，即透镜孔径的 影响也愈小。当物体紧贴透镜时，d00，透镜孔径的影响最小。 这时如果物体的尺寸小于透镜孔径，则物体图样的边框就决定了通 光孔径，而透镜孔径不起限制作用，在频谱面上能得到物体的傅立 叶变换。 设物体图样边框用P(x0,y0)表示，则由上式U( x, y)可知在频谱面 上的光场分布为:式中: x/ f, =y/ f 分别表示x,y 方向的空间频率。 T(,)表示物体的频谱; P (,)表示物体图样边框函数的频谱。由于物体离焦,式中存在一个附加的二次位相因expjk(x2+y2)/2f 为了消除这个因子，
13、可以在后焦面上放置一个焦距为f的场镜 (凸透镜)，如图fxx0该场镜引入的位相变换因子为exp-jk(x2+y2)/2f将附加因子抵消 。如果物体尺寸大于透镜孔径，则透镜对与处于透镜孔径之外的部 将无法进行傅立叶变换，此时应换用孔径更大的傅立叶镜头 。3.3透镜的一般变换性质物位置在透镜的后焦面上的光场分布是物函数的准傅立叶变换，除一相位因子外。物位置和观察位置满足高斯物象关系式时，在输出面得到放大的像，回到几何光学的结果。当物体放置在前焦面上，在透镜的后焦面上的光场 分布是物函数的准确傅立叶变换，在任意情况，物面(输入而)和观察洲(输出面) 的位 置是任意的，将导出此时的输入输出关系式。d1
14、和d2是任意的，用振幅为1的币色波 垂直照明物面，设物而上则场分布为U。(x0，y0)，观察面的场分布为U(x，y)，并假设光场在d1和d2距离上的传播满足菲涅耳近似条件，则透镜前表面上的场表示为U1(x，y)透镜后表面上的场表示为U1(x，y)其中：3.253.25在观察平面上：1. d2=f3.27在输出屏上得到放大Md2d1倍的像，回到了几何光学的结果2. d1= d2=f3. 当=0 即输入和输出满足物像共扼关系2D Images and 2D Fourier Transforms? ?What is the effect on the image if we block the spatial frequencies within the circle shown?Complex images: Fourier transforming and spatial filteringNiamhNiamhs Fourier transform (modulus2)Complex images: Fourier transforming and spatial filteringComplex images: Fourier transforming and spatial filteringOptical computer
