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1、第二篇第二篇 运动学运动学题题 2-1 杆 AC 沿槽以匀速向上运动，并带动杆 AB 及滑块 B。若AB ，且初瞬时.求当时，滑块 B 沿滑槽滑动的速度。l060o错误解答之一：取坐标系如图 2-1 所示。由几何关系有11Bx y（1）222 11xyl将上式的时间求导数，有（2）1111220x xy yAA所以 1 11 1yxyx AA因为，而当时，11tan,yyxA 60o，所以有tan603o11tantan603o Bxy AA负号表示的方向与轴方向相反。 图 2-1 B1x错误解答之二：取坐标系如图-1 所示，则由几何关系有物块 B 的运动方程为Oxy(3)cosBxl铰链 A
2、 的运动方程为(4)sinAyl将式（3） 、 （4）对时间求导数，有(5)sinBxl AA(6)cosAylAA由式（6） ，有(7)cosy lA A式（7）代入式（5） ，得1x1yxAy1yBCO1xtanBBAxy AA代入，得60o3B 错因分析： 1.错误解答之一的错误在于，所选取的坐标系原点与滑块 B 固结，故而该 坐标系是移动的。题目要求滑块 B 沿滑槽滑动的速度，也即相对于地球表面的 速度，滑槽即地球表面，故应选取与地球表面固结的参考坐标系。式（1）中的只是 AC 杆上一点 O 坐标系相对位置，既然不是与地面固结的参1x11Bx y11Bx y考系，它对时间的一阶导数就不
3、是滑块 B 相对滑槽的速度，而是相对动坐标系 的相对速度。2. 错误解答之二的错误原因在于，在所选的坐标系中，以式（3）作Oxy为滑块 B 的运动方程是错误的。因为在坐标系中，B 点的坐标应取负值，Oxy即(8)cosBxl 正确解答： 将式（8）对时间求一阶导数，有sinBxlAA在坐标系中，A 点的坐标为OxysincoscosA AAyylyllA AAA 代入上式，得tancosA BAyxlylA AA代入，则有滑块 B 的速度为60oAyA3B其方向沿轴正向。Ox 题题 2-2 从水面上方高 20m 的岸上一点 A，用长为 40m 的绳系住一船 B。 今在 A 处以的均速拉绳，使船
4、靠岸，求 5s 末船的速度是多少？在 5s3m/s 内船移动了多少距离。图 图 2-2 错误解答：以船为研究对象。用绳拉船时，绳的速度为，故船的速度 为图 2-2（b） (1)cosB因 (2)22OB(40)(20)tAB40t故有 22(40)(20)cos40Bt tA当时，有5ts2222(403 5)(20)25209331.8403 5255B AAm/s22(403 5)(20)15mOB 在内，不改变方向，时，故此时间0 5tsB0t 22402034.64mOB 内船移动的距离为 34.64 1519.64ms 错因分析： 确定船移动速度的式（1）是错误的，因为，虽然在 A
5、处以匀速拉绳，但 系在船上的绳 B 端的速度方向随时改变，已不再是常矢量了。式（1）中将其 作为常矢量在水平方向投影，并以此方法求得的船的速度是错误的。 为了说明式（1）的错误原因，设船在时间内位移为，同时绳索减短ts，如图 2-2（c）所示，近似地认为，则0lABAB BC0ABcossl 当时对上式求极限，则有0t 00limcoslim xxsl tt 而， 0limBxs t 0lim xl t 所以B(b)BA0B sCl(C)OAB20m(a)xcosB而不是式（1）的cosB正确答案： 取坐标系如图 2-2 所示，则船的坐标为Ox22(40)92401200Bxttt上式对时间求
6、导数得船的速度为2182402 92401200BBtx tt A当时船的速度为5st 218 52401505302 9 5240 5 1200B m/s负号表示速度方向与轴正方向相反。Ox当时，0t 2(4020)120034.64mBx 当时，5st 22(40 15)(20)15mBx 之内船不改变速度方向，故在此时间内船移动的距离为0 5st 34.64 1519.64ms 题题 2-3 在图示机构中，曲柄 OA 转动的角速度为，角加速度为，且有。试求 D 点的速度、加速度和13112,OAO BBCO Dr OOAB CEOO轨迹。 错误解答：因曲柄、均作定轴转动，OA1OC2O
7、E且彼此平行，故它们的角速度、角加速度均相同。又因三角板 CDE 绕转动，故 D 点3O的速度和加速度分别为2,DDDnrararD 点的轨迹为以 为半径、以为圆心的圆。r3O错因分析： 上解错误之处在于没有认出杆 AB、三角板 CDE 均作平动，而误认为三角板 CDE 绕轴转动，误认为 D 点的轨迹为以 r 为半径、以为圆心的圆。3O3O图2-3ABCDEO1O2O3O 正确解答：因,故杆 AB 作平动，于是有11,OAO B ABOO2,BABABnAnraaraar又因做定轴转动，且给知，故有1OC12OCr2222222CBCBCnBnraaraar，因故三角板 CDE 作平动，于是
8、D 点的速度和加12122 ,OCO Cr OOCE，速度分别为2222DCDCDnCnraaraar，因为刚体上各点轨迹相同，故 D 点的轨迹与 C 点的轨迹相同，同为半径为的圆，但圆心位置各不相同，C 点轨迹以为圆心，而 D 点轨迹则是为2r1O2r半径，圆心在 D 点正下方距 D 点处。2r 题题 2-4 杆 AB 在铅垂方向以匀速沿滑槽向下运动，并由 B 端的小轮带动半径为 R 的圆弧杆 OC 绕 O 轴转动，如图 2-4 所示。设运动开始时，4试求此后任意瞬时 t，圆弧杆 OC 的角速度和 C 点的速度。 错误解答取坐标轴如图 2-4 所示。因为杆 AB 的速度向下，故知圆弧杆 OC
9、 绕 OOy轴反时针转动，其角速度为。B 点的坐标为2 cosByR上式对时间求导数，有2sinByR AA其中为圆弧杆 OC 的角A ，速度，故有2sinByR A所以，-2Rsin而 C 点的速度则为 2sinCR ，由几何关系，有ROBACyBy图2-402 cos452cos222OBRtRt RRR221sin1 cos22 2()2tt RR于是，C 点的速度为22 sin22 2()Ctt RR 错因分析：上解中认为是错误的。因为题设的正转向为顺时针，而当杆 AB 向A A ，下运动时，圆弧杆的角速度为反时针转向，故应为A A ，正确解答：将上解中，以代人，即得正确结果A A ，
10、2 sinR22 sin22 2()Ctt RR 的方向与转向一致。C题题 2-5 在图示机构中，齿轮 1 固结在杆 AC 上，。齿轮 1 和半径为的齿轮 2 相啮合，齿轮 2 可绕1212,ABOOO AO Bl2r轴转动，且和曲柄没有联系。若，试确定时，轮 22O2O Bsinbt(s)2t 的角速度和角加速度。错误解答：因为，所以两杆角速度、角加速度相同，即12/O AO BcosbtA2sinbt A A又因为，所以 A、B 两点的速度及加速度相同，即12O AO BcosBAllbt2sinBAaallbt 因作定轴转动，所以，D 点的速度和加速度分别为2O B（1）22,DDBBa
11、rr lal 于是，有（2）2 2cosDBrr btl（3）222sinDBrraarbtll 轮 2 的角速度、角加速度分别为22（4）2 2cosDbtrAB1O 2O2r1r12ABDBaDaD (b)AB1O 2O2r1r12ABDBaDaD (a)图2-5（5）2 2 2sinDabtrl 当时，则有(s)2t （6）2cos()02bA（7）22 2sin()2bb ll A错因分析：上解中没有认出杆 AC 和轮 1 均作平动。因为 AC 与轮 1 固结一起，且有,，故杆和轮 1 固结的刚体 ABC 作平动。同时，上解中由12O AO B12ABOO式(1)、(2)、(3)所计算
12、的 D 点的速度及切向加速度，是曲柄上在处2O B22O Dr的速度及切向加速度，并非齿轮 1、2 啮合点 D 的速度和切向加速度。但在计算轮 2 的角速度和角加速度时，却把曲柄上在处的 D 点，当成齿2O B22O Br轮 1、2 的啮合点，显然是错误的。正确解答： 因为杆 AC 与轮 l 固结一起，且有,，故杆 AC 与轮 1 固12O AO B12ABOO结一起的刚体 ABC 作平动。平动刚体在同一时刻各点的速度及加速度均相同， 故齿轮 1、2 啮合点 D 的速度、切向加速度与 A、B 两点的相同，即cosDBAllbt2sinDBAaaallbt 求得了轮 2 的切向速度和切向加速度，
13、便可求得轮 2 的角速度和角加速度，即2 22cosDlbtrr2 2 22sinDalbtrr 当时，有(s)2t 2022 2 22sin()2lblb rr A的转向为顺时针。2题题 2-6 半径为 R 的半圆形凸轮 D，已知其运动的速度为、加速度为D，方向如图 2-6（a）所示。凸轮推动杆 AB 沿铅直方向运动。试求当Da时，杆 AB 移动的速度和加速度以及 A 相对凸轮的速度。030错误解答： （1）求速度 错误答案： （1）求速度 取杆 AB 上的 A 点为动点，凸轮 D 为动系，地面为定系。动点的绝对速度、 相对速度、牵连速度如图 2-6(a)所示。由几何关系，有01tantan
14、303ae所以，杆 AB 移动的速度为0 33e Aa由速度的投影，有cosre所以，杆 AB 相对于凸轮 D 的速度为02 cos3e r（2）求加速度 动点 A 的加速度矢量图如图 2-6（b）所示：取投影轴，则加速度在,n 轴上的投影分别为,n0,sincos0(1)0,cossin0(2)aernaeaaaaaaa 由式（2） ，有RDBareA00a(a)raAnea(b)A earyx(c)raAnaaearna(d)图2-6aatan3o aeaaa 由式（1） ，有000 0000312 3cossincos30()sin302332 3reaaaaaaaaa 错因分析： 1.上解中，图 2-6（a）的速度矢量图画错，不符合速度合成定理的关系，是合矢量，应为速度四边形的对角线。aer a 2.因为动点的相对轨迹为凸轮 D 的轮廓线，即半径为 R 的圆曲线，故相对加速度应有
