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1、 1 第三章 傅里叶变换 重要概念与重要公式 一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号( )f t 可以分解为 （1）()()011 1( )cossinnn nf taantbnt=+傅里叶系数： ( )( )()( )()0100100100 11 11 112cos1,2,3,2sin1,2,3,tTttTnttTntaf t dtTaf tnt dtnTbf tnt dtnT+= = = 其中1 12 T= （2）()01 1( )cosnn nf tccnt=+00221,2,3,arctan1,2,3,nnnn n ncacabn bna = =+= = = （3
2、）()01 1( )sinnn nf tddnt=+00221,2,3,arctan1,2,3,nnnn n ndadabn anb = =+= = 2、虚指数形式的傅里叶级数 1( )jnt n nf tF e= 2 傅里叶系数： ( )011011tTjnt ntFf t edtT+=0, 1, 2,n = nF 与其它系数有如下关系： 0000Fcda= ()1 2nj nnnnFF eajb= ()1 2nj nnnnFFeajb =+ 22111 222nnnnnnFFcdab=+ nnnFFc+= nnnFFa+= ()nnnbj FF= 22224nnnnnncdabF F=+=
3、 二、周期信号的平均功率 ( )( )()=+=1222 00212 2111nnnTbaadttfTtfP=+=nn nnFcc2122 021周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 三、周期信号的频谱 1、周期信号可分解为直流、基波（1）和各次谐波（1n：基波角频率的整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱 为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小， 以频率f（或角频率）为横坐标，以各次谐波的振幅nc或虚指数函数的幅度nF 为纵坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称
4、为谱线。 即nc（或nF）的关系，称为信号的幅度谱。 3 以各次谐波的相位n为纵坐标，以频率（或角频率）为横坐标，按频率高低依次排列起来的线图，称为信号的相位频谱，简称相位谱。 即n的关系，称为信号的相位谱。 3、周期信号频谱特点 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。 （1）离散性 周期信号频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦分量。这样的频谱称为离散频谱或不连续频谱。即是说：谱线沿频率轴离散分布。 （2）谐波性 频谱的每条谱线，都只能出现在基波频率1的整数倍的频率上，频谱中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量。 即是说： 各谱线等距离分布，相邻谱线的距离等于基波频率。 （
5、3）收敛性 各条谱线的高度，也即各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小的；当谐波次数无限增高时，谐波分量的振幅亦就无限趋小。 但是，冲激函数序列( )()=nTnTtt1的频谱不满足收敛性。 四、傅里叶变换 （一）傅里叶变换的定义 傅里叶正变换 ( )( )( )j tFf tf t ed t=F 傅里叶逆变换 ( )( )( )11 2j tf tFFed=F 可简记为：( )( )FTf tF （二）典型信号的傅里叶变换 1、( )1t 2、( )tj ( )( )()nntj 3、( )12 4 4、( )( )1u tj + 5、( )2sgn tj 6、( )2GtS
6、a 7、()( )02 00GtSa ( )( )2Sa tG 8、( )1ateu taj +（a为正实数） 9、222ataea +（a为正实数） 10、()0 02jte （0为实数） 11、()()()000cost +12、()()()000sintj + 13、() ( )()()00022 0cos2jt u t +14、() ( )()()0 00022 0s2int u tj +15、( )()()1 111jn T T nnnttnTne = =（1 12 T=） 16、( )2212224fttu tu tS a =+ 17、( )2tj 22t 5 ( )1j Sgnt
7、 ( )( ) 21tu tj ( )( )2nnn ndtjd （三）傅里叶变换的性质 1、对称性 若 ( )( )f tF 则 ( )()2F tf 2、线性 若 ( )( )iif tF （1,2,in=） 则 ( )( )11nniiii iia f ta F= 其中ia 为常数，为n正整数。 3、奇偶虚实性 若 ( )( )f tF 且设 ( )( )( )( )( )jFFeRjX =+ ( )( )( )22FRX=+，( )( ) ( )arctanX R = 则 （1）( )f t是实函数 ( )()RR=，( )()XX= ()( )FF= ( )F是偶函数，( ) 是奇函
8、数。 若( )f t是实偶函数，则( )F必为的实偶函数。 若( )f t是实奇函数，则( )F必为的虚奇函数。 （2）( )f t是虚函数 6 ( )()RR= ，( )()XX= ( )F是偶函数，( ) 是奇函数。 若 ( )( )f tF 则 ()()ftF ( )()ftF ()( )ftF 4、尺度变换特性 若 ( )( )f tF 则 ()1f atFaa （a为非零的实常数） 5、时移特性 若 ( )( )f tF 则 ()( )0 0j tf ttFe 如果信号既有时移又有尺度变换则有： 若 ( )( )f tF a和0t 为实常数，但0a ，则 ()001tjaf attF
9、eaa 6、频移特性 若 ( )( )f tF 则 ( )()0 0jtf t eF ( )()()()0001cos2f ttFF + ( )()()()000sin2jf ttFF + 7、时域微分和积分特性 时域微分 7 若 ( )( )f tF 则 ( )( )df tj Fdt ( )()( )n nnd f tjFdt 时域积分 若 ( )( )f tF 则 ( )( )( ) ( )0tFfdFj +8、频域微分和积分特性 频域微分 若 ( )( )f tF 则 ()( )( )dFjt f td ()( )( )n nnd Fjtf td 频域积分 若 ( )( )f tF (
10、 )( ) ( )( )0f tftFdjt + 9、时域卷积定理 若 ( )( )11ftF ( )( )22ftF 则 ( )( )( )( )1212ftftFF 10、频域卷积定理 若 ( )( )11ftF ( )( )22ftF 8 则 ( )( )( )( )12121 2ft ftFF 11、时域冲激抽样 若 ( )( )f tF 则 ( )( )( )( )()()1sTss nnsftf ttf ttn TFnT= （2s sT=） 12、频域冲激抽样 若 ( )( )f tF 则 ( ) ()12s nnssnftFn = 五、周期信号的傅里叶变换 周期信号( )f t的
11、傅里叶变换为 ( )()12n nf tFn = 其中( )1112121T jnt TnFf t edtT=周期信号( )f t的傅里叶变换是由一些冲激函数组成，这些冲激位于信号的谐频（0，1，12，）处，每个冲激的强度等于( )f t的傅里叶级数相应系数nF 的2倍。 nF 还可按下式求得 ( )10 11nnFFT= 六、抽样信号的傅里叶变换 1、什么叫信号的抽样？ “抽样”就是利用抽样脉冲序列( )p t从连续信号( )f t中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为抽样信号，以( )sf t 表示。抽样脉冲序9 列( )p t也称为开关函数。如果其各脉冲间隔的时间相同，
12、均为sT ，就称为均匀抽样。 抽样的系统模型： )(tf( ) ( )tptftfs=)( )tp 抽样信号的傅里叶变换： ( )()=nsnsnFPF，其中nP 是的傅里叶级数的系数。 上式表明：信号在时域被抽样后，它的频谱( )sF是连续信号频谱( )F的形状以抽样频率s为间隔周期地重复而得到，在重复的过程中幅度被( )p t的傅里叶系数nP 所加权。因为nP 只是n（而不是）的函数，所以( )F在重复过程中不会使形状发生变化。 2、抽样的分类 根据抽样脉冲序列( )p t 的不同，抽样分为“矩形脉冲抽样（自然抽样） ”和“冲激抽样（理想抽样） ” 。 若抽样脉冲序列( )p t为矩形脉冲
13、序列，则这种抽样称为“矩形脉冲抽样”或“自然抽样” ；若抽样脉冲序列( )p t为冲激序列，则这种抽样称为“冲激抽样”或“理想抽样” 。 （1）时域冲激抽样 设 ( )( )f tF 时域冲激抽样 ( )( )( )( )()=nsTsnTttfttftf （2s sT=） 时域中以间隔sT 冲激抽样 频域中以s为周期等幅地重复（幅度为原来的sT1） ( )()()=ns snsnFTnTttf110 （2）频域冲激抽样 设 ( )( )f tF 频域冲激抽样 ( )( )( )()=nnFF1（112 T=） 时域中以11 T为周期地重复 频域中以间隔1冲激抽样 ()( )()=nnnFnTtf11 11（3）时域矩形脉冲抽样 设 ( )( )f tF 时域中以sT 为抽样间隔，以脉幅为E、脉宽为的矩形脉冲抽样( )( ) ( )tptftfs=，则矩形抽样信号的频谱为： ( )()s nsss
