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1、简易逻辑与线性规划解题剖析四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理 641500 (0832)例 1 已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)，在下列各结论中正确的个数是( )=b2-4acO 是这个方程有实根的充分条件；=b2-4ac0 是这个方程有实根的必要条件；=b2-4ac0 是这个方程有实根的充要条件；=b2-4ac=O 是这个方程有实根的充分条件A.1 B.2 C.3 D.4答案 D 解析 首先我们应搞清楚=b2-4acO 是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的充要条件；利用这结论知正确，由于=b2-4ac=0 时，方程有相等实根，故是正确的答案 D点评 p 是
2、 q 的充要条件，说明既有 p 是 q 的充分条件成立，也有 p 是 q的必要条件成立，p 是 q 的充分条件包含了两种可能：p 是 q 的充分不必要条件与 p 是 q 的充要条件；同样，p 是 q 的必要条件也包含了两种可能：p 是 q的必要不充分条件与 p 是 q 的充要条件例 2 已知数列an的前n项Sn=pn+q(p0,p1),求数列an是等比数 列的充要条件. 分析 本题重点考查充要条件的概念及我们解答充要条件命题时的思维的 严谨性.以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与 通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.因为题目是求的充要条件，即有 充分性和必要性两层含
3、义，我们很容易忽视充分性的证明.由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明. )2() 1(11 nSSnSnn解：a1=S1=p+q.当n2 时，an=SnSn1=pn1(p1), p0,p1,=p) 1() 1(1ppppnn若an为等比数列，则=p =p,nn aa aa112qppp ) 1(p0，p1=p+q，q=1 这是an为等比数列的必要条件. 下面证明q=1 是an为等比数列的充分条件. 当q=1 时，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1 当n2 时，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1) an=(p1)pn1 (p0,p1)=p为常数21
4、1) 1() 1(nnnn pppp aaq=1 时，数列an为等比数列.即数列an是等比数列的充要条件为 q=1. 点评 解决方法主要有： (1)要理解“充分条件” “必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题 为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因 此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词 语：“等价于” ， “当且仅当” ， “必须并且只需” ， “，反之也真”等. (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条 件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质. (4)
5、从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件； 若A=B，则A、B互为充要条件. (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)， 又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).例 3 已知p：|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要31x而不充分条件，求实数m的取值范围. 分析 本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同 时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.本 题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使我们对充 要条件的难理解变得简单明了. 解析 由题意知： 命题：若p是q的必要
6、而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q 的充分不必要条件.p:|1|2212132x1031x31x31xq:x22x+1m20x(1m) x(1+m)0 *p是q的充分不必要条件，不等式|1|2 的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集.31x又m0 不等式*的解集为 1mx1+m，m9， 实数m的取值范围是9，+ . 91 10121 mm mm)点评 对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点， 对否命题，我们本身存在着语言理解上的困难.利用等价命题先进行命题的等 价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关 系，进而使问题解决.例 4 判断
7、命题：集合x|0等于集合x|(x-2)(x-1)O或集合12 xxx|(x2+1)(x-1)0等于集合x|0的真假.11x分析 先判断两个命题的对错，再由。或”命题真假结论得到命题结论解析 命题是“p 或 q”的形式，此命题为真命题事实上，p 为假，因为0 可化为： 12 xx 10) 1)(2( xxx而 1x|(x-2)(x-1)O， 故x|0x|(x-2)(x-1)O12 xx但 q 为真，因为x|(x2+1)(x-1)0=x|(x-1)0=x|x1集合x|0=x|0=x|(x-1)0=x|x111x1x于是由 p 假、q 真，则”p 或 q”为真，即此命题为真. 点评 判断命题真假，要
8、注意将命题化简或者等价转化，要掌握“或”的 真假结论 例 5 设 a0，点集 S 的点(x,y)满足下列所有条件：x2a；y20；x+ya；x+ay；y+ax；则 S 的边界是2a 2a一个_边形.答案 六边形 解析 分别画出各不等式表示的区域，并画出公共区域，再判断形状如图所示，显然 S 是一个六边形点评 平面区域实际上是满足条件的点的集合这条件可能是不等式，还 可能是等式、点集例 6 已知点 A(5,5),过点 A 的直线 x=my + n(n 0),若可行域3的外接圆的圆心在 x 轴上,则实数 m=_. 003yyxnmyx答案 - 解析 可行域对应的图形为以 A 为顶点，对边在 x 轴
9、上的三33角形，因为其外接圆的圆心在 x 轴上，所以三角形是以 A 为直角顶点的直角三角形，即直线 x=my+n，x-y=0 互相垂直,11+(-m)(- )=0,m=-.3333评析 考查线性规划的基础知识,且有简单的平面几何性质,关于线性规 划知识的题，这是高考的一个冷点，在去年的全国各地高考数学试题当中，仅 有江苏卷是以解答题的形式考查的简单的线性规划是解析几何中直线和圆一 章中新增的内容，具有一定的实际应用价值，但在前几年的新课程卷中却从来 没有考查过.2004,2005 年在考试中心命制的新课程卷中，卷文、理科的第 14 题，卷文、理科的第 16 题，却命制了一道简单线性规划的试题这
10、两个 试题要求都比较低，属于课本的基本要求复习时的难度是应当控制的. 例 7 (2004 江苏) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且 要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈 利率分别为 100和 50，可能的最大亏损分别为 30和 10. 投资人计划 投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资 人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 分析 本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决 实际问题的能力，本题可按解题的三步骤进行，寻求目标函数在可行域内的最 佳解 解
11、设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目则由条件知 , 0, 0, 8 . 11 . 03 . 0 ,10yxyxyx目标函数 z=x+O.5y 上述不等式组表示的平面区域如图，阴影部分(含边界)即可行域作直线 l0：x+0.5y=0，并作平行于 l0的一组直线 x+0.5y=z(zR)与可行 域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 x+0.5y=0 的距离最大，这里 M 点是直线 x+y=10 与 3x+y=18 的交点，解方程组得 183,10 yxyxM(4，6)此时 z=x+O.5y=7(万元)，70, x=4，y=6 时 z 取得最大值投资人用 4 万元投
12、资甲项目，6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超 过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大 反思 线性规划是直线方程的简单应用，是新增添的教学内容，是新大纲 重视知识应用的体现，根据考纲要求，了解线性不等式表示的平面区域，了解 线性规划的意义并会简单应用，解决此类问题，关键是读懂内容，根据要求， 求出线性约束条件和目标函数，直线性约束条件下作出可行域，然后求线性目 标函数在可行域中的最优解，归纳如下步骤：根据实际问题的约束条件列出 不等式，作出可行域，写出目标函数，确定目标函数的最优位置，从而获 得最优解但在解答时，格式要规范，作图要精确，特别是最优解的求法，作 时还是比较困难的 例 8（2
13、005 辽宁）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和 第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为 A 级时，产品为一等品， 其余均为二等品. (1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙； (2)已知一件产品的利润如表二所示，用 、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在 (1)的条件下，求 、 的分布列及 E、 E； (3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资.金 60 万元.设x、y分别表
14、示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？yExEz（解答时须给出图示）分析 本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、 线性规划模型的建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决 实际问题的能力，工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概 率等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元） 1.5（万元）利 润项目产品工人（名） 资金（万元）甲88乙210用 量(1)解：. 6 . 08 . 075. 0,68. 085. 08 . 0乙甲PP(2)解：随机变量、的分别列是, 2 . 432. 05 . 268. 05E. 1 . 24 . 05 . 16 . 05 . 2E(3)解：由题设知目标函数为 . 0, 0,4028,60105yxyxyx.1 . 22 . 4yxyExEz作出可行域（如图）：作直线 : l, 01 . 22 . 4yx将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时 yxz1 . 22 . 4取最大值. 解方程组 .4028,60105 yxyx得即时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 . 4, 4yx4, 4yx点拨：本小题主要考查相互独立事件的概率，随机变量的分布列及
