《感受小学数学思想的力量_写给小学数学教师们》由会员分享，可在线阅读，更多相关《感受小学数学思想的力量_写给小学数学教师们（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、人民教育2 0 0 7 . 1 2R E N MI N J I A O Y U人民教育2 0 0 7 . 1 8R E N MI N J I A O Y U感受小学数学思想的力量中国科学院院士、数学家张景中写给小学数学教师们小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单, 里面却蕴含了一些深刻的数学思想。最重要的,首推函数的思想。比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2 + 3 = 5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成1 0。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两
2、个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数 “2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。在中学里学习函数概念,只讲一元函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。比如学乘法,九九表
3、总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想2 1 + 7 = 2 8,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的2 1就变成了2 8。这里不是把3和4看成孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。做除法要试商。8 0除以1 3,商是多少?试商 5余1 5,不够;试商6余2,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。 试商的过程, 就是调整函数的自变量,使
4、函数值满足一定条件的过程。小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来求解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。例如,修一条长3 2千米的公路,已经修了 2 4千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍,剩下的是2 4千米,总长4 8千米,比题设数据大了;如果是2倍呢,剩下的是1 2千米,总长3 6千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长3 2千米,正好符合要求。我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个笨办法。其实
5、,这个办法具有一般性,把试解的倍数看成自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要求的自变量,这个思路能解决很多问题,是 “ 大智若愚” 。这样思考试算,最终也会发现具体的规律,函数思想最重要J I A OX UE教 学 J I A OX UEP I NGT A I教学平台3 2人民教育2 0 0 5 . 2 4人民教育2 0 0 7 . 1 2R E N MI N J I A O Y U人民教育2 0 0 5 . 2 4人民教育2 0 0 7 . 1 8R E N MI N J I A O Y U列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本
6、质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看成函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式,甚至于一般关系的形式和一般形式的关系, 等等。 现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、 统计与概率等几个模块。 如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。提到数形结合,往往觉得是解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。在数学当中, 几何具有非常重要的地位。 几乎所有重要的数学概念,
7、最初都是从几何中来的。所以有人说, 几何是数学思想的摇篮。 几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖( 顶点) 、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就
8、想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1” 的时候,就要学生用“1” 来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?如 “1个圆有1个圆心” 、“1条线段有 1个中点” 、 “1个正方形有1个中心” 等。 有的老师会说,这样不行,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、 初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的例子, 这对他将来学习几何肯定会有帮助。 同样,在学习“2” 的时候,我们可以教学生说:“ 一条线段有两个端点。 ”不需要让学生知道什么是线段,只要画一条线段, 指
9、出两头是端点。 到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学 “3”的时候,可以画一个三角形,让学生说 “ 三角形有3条边、3个顶点” ;学 “4”的时候,可以画一个正方形,让学生说 “ 正方形有4条边、4个顶点” ;学 “5”的时候,可以画个五角星;认识“1 0” 的时候,除了1 0个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段 ( 图 1) ;学到1 0 0以内的数,就可以告诉学生正方形的角是9 0度,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是
10、也并非没有可取之处。学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去才能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。形与数的结合,还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美,美国数学教育家克莱因有过这样的描述:“ 音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。 ”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段,可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子,这里有一些美丽的图案 ( 图2) :图2你能想
11、到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?这条曲线其实很简单, 如图3, 用“ 超级画板”图1“ 数形结合” 在小学是可能的J I A OX UEP I NGT A I教学平台读者热线:(0 1 0)6 2 2 4 2 9 8 4电子信箱:L a i p e i g e n 2 0 0 5 1 6 3 . c o m3 3人民教育2 0 0 7 . 1 2R E N MI N J I A O Y U人民教育2 0 0 7 . 1 8R E N MI N J I A O Y U软件画一个圆,圆上取3点A、B、C,在弦A B上取点G,再在线段C G上取点H,利用软件的轨迹作图功能,作出3点A、B、C
12、在圆周上运动时点H的轨迹,并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分,做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置,就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件,让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中,数学之美会渗入幼小的心灵。一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件,孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天,就不想上网打游戏了。不到一个星期,就对超级画板上了瘾,很快学会了从屏幕上截取图片,把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。数形结合的思想,不仅是上面这些简单的例子,下面还会谈到。小学里主要学
13、计算,不讲推理。但是,计算和推理是相通的。中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法,不像古希腊讲究推理论证。但是,计算要有方法,这方法里就体现了推理,即寓理于算的思想。数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子,让学生慢慢体会到所谓推理,本来是计算;到了熟能生巧的程度,计算过程可以省略了,还可以得到同样的结果, 就成了推理了。 有的人认为几何推理很难, 学几何一定要先学实验几何。 其实,实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理,后期学会推理时也需要实验。所谓实验, 无非是观察和计算。 “ 对顶角相
14、等” 这样简单的几何命题,实际上就是通过一个算式证出来的,这里的推理证明就是计算。要把计算提升为推理,就要用一般的文字代替特殊的数字,再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到 “ 长方形的面积=长宽”的时候,不妨告诉学生,这个公式可以用字母表示成M = C K。这里用了面积、 长、 宽的汉语拼音,学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h ,而b边上的高为g ,根据三角形面积公式,就知道a h = b g;如果a = b ,则h = g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等,则此两边上的高也相等。也就
15、是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“ 正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。 ”表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是5!分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方 ( 即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。
16、这是为什么图3图4寓理于算的思想容易被忽视J I A OX UE教 学 J I A OX UEP I NGT A I教学平台3 4人民教育2 0 0 5 . 2 4人民教育2 0 0 7 . 1 2R E N MI N J I A O Y U人民教育2 0 0 5 . 2 4人民教育2 0 0 7 . 1 8R E N MI N J I A O Y U呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“ 数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界” ,“ 如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一” ,“ 过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解” 。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的
