《高中数学“点到平面的距离”教学实录》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学“点到平面的距离”教学实录（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1以点带面 融会贯通-“点到平面的距离”教学实录1 1 背景背景05 年 11 月，笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托，到浙江省丽水市遂昌中学送教，在该校高三（1）班上了一节立体几何复习课，参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表，课题是空间距离的求法，笔者以 2003 年全国高考数学试题（文史类）的第 17 题（第一个解答题）的第（II）问为例题，与学生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索通过这堂课，不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方法，提高了学生的思维能力，而且让学生体会数学发现的快乐2 2 点击各样距离点击各样距离, ,聚焦点面距离聚焦点面距离. .教师：我来自千
2、里之外的宁波北仑,中国有句古话,叫做“有缘-”学生：“有缘千是里来相会” ，教师：对! 相聚确实是一种缘分，今天我和大家能相聚在这里，也是一种缘分，但愿我们能愉快地度过这45 分钟.且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离到现在为止我们已经学过那此距离？学生：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到平面的距离等等教师：在空间中特有的距离有哪几种？学生：异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离教师：即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的,这里有个问题,我今天讲课题是点到平面距离,为什么
3、不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距离，是靠什么“什么魅力”把吴老师深深的吸引？你能明白我的心吗？学生：点面距离最重要!教师：难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何？为什么点面距离是最重要的,先看一看面面距离是如何定义的？学生：两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离（用讲台桌面和一书本作为模型）.教师：你是如何求两平行平面间的距离的？ 学生：只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可.教师：即要求面面距离只须求-学生：只须求点面距离.教师：即面面距离可化归为点面距离让我们再瞧一瞧线面距离（用教鞭及讲台桌面作为模型）线面
4、距离是如何定义的？学生：直线和平面平行时，直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离.教师：即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形)学生：异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离.教师：照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图是异面直线,ABb ,a2是它们的公垂线段,过点 B 作的平行线,则直线确定的平面和的关系如何?a1ab ,a1a学生：平行!教师：AB 和平面 M 的关系如何?学生：垂直.教师：AB 的长即为 A 到平面 M 的距离,即为直线到平面 M 的距离.所以异面直线的距离也
5、可以化归为线a面距离,最终可化归为点面距离,由此可知,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁?学生：是点面距离.3 3 给出典型问题给出典型问题, ,引导学生探索引导学生探索. .教师：毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表，是众多距离中的最耀眼的明星，老师也是追星族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题目，请大家看手头中的讲义，先请大家试着做一做(:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形)例题例题（由 2003 年全国高考试题改变）已知：正四棱柱中，点为的中点.1111DCBAABCD 21AA1AB E
6、1CC求:点到平面 BDE 的距离.1D教师:为了叙述方便,我们所求的点称为“目标点” ，如本题中的目标点为，所涉1D及的平面称为目标平面，如本问题的目标平面为平面下面请各位同学试着做一BDE做！4 4 展示各种解法展示各种解法, ,总结思想方法总结思想方法. .（大约六、七分钟后）教师：下面请同学们展示一下自己的解法，这种机会是很难得，哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解法？好的，请你先说一说总的思路和方法！学生：我是用体积法做的教师：哪就是说没有画出垂线段！学生：因为是边长为的正三角形，所以其面积为，接下去求出三棱锥的体积BDE2231DEDB 教师：其体积是如何算？学生：的面积为 1，
7、高 BC 也为 1，所以其体积为，点到平面的距离为DED1311DBDE332教师：大家听清楚了吗？学生：清楚了.教师：他说得好不好?学生：好!教师：大家鼓励一下.学生：(掌声.)教师：我们给这种方法取个名字.学生：运用体积法.教师：运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么?学生：先看中一个四面体，再求它的体积，再求出所求点对面的哪个面的面积A1B1D1C1ADCBEA1 B1ABD1C1CDEO3（板书：运用体积法运用体积法 图形图形体积体积面积面积结论结论）教师：这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解即可,且最好能把你的绝
8、活亮出来,越简捷越好,是以拿到分数为目的.而平时做题则不同,是以提高能力为目标的，我认为要高考数学要取得好成绩，必须要解决的问题是政策和对策的问题，即所的谓的“上有政策，下有对策” ，对于求点面距离这个政策，你还有哪些其它对策呢？今天，不管是漂亮的方法，还是丑陋的方法，都给以亮相的机会，下面接着展示学生：我是用坐标法做的教师：你是如何建立直角坐标系的？学生：以 D 为原点，用右手坐标系（教师作图）可经得到：,0 , 0 , 0D 1 , 1 , 0,0 , 1 , 1,2 , 0 , 01EBD教师：请问你其它点的坐标为何不写了？学生：写了也白写！教师：对写了也白写还不如不写下面干什么事情？学
9、生：求出平面的一个法向量，设法向量为，而,DBEzyxn,0 , 1 , 1DB1 , 1 , 0DE由且，可得法向量为nDB nDE 1 , 1, 1 n教师：法向量求出以后干什么用呢？学生：可以求出距离了，的长以及它和法向量的夹角都可以知道，由此可得点2 , 0 , 01DD1DD到1D平面的距离=BDEd332,cos11 DDnDD教师：我们也给这种解法取个名字，学生：坐标法教师：对，空间坐标法，用空间坐标法的解题程序又如何呢？学生：先建立空间直角坐标系，相关点用坐标表示之，求出目标平面的法向量，再找一条过目标点的斜线段，由内积公式求出它和法向量所成的角，最后终得距离（板书：空间坐标法
10、空间坐标法 建坐标建坐标坐标化坐标化法向量法向量斜线段斜线段算夹角算夹角求距离求距离）教师：前面两位同学的都比较狡猾，没有按照点面距离的定义，画出点到线的距离，画出距离可不可以呢？学生：设正四棱柱两底面的中心分别;1111DCBAABCD 1,OO则只须求出点到平面的距离1OBDE教师：为什么？学生：因为平面11BDDBE教师：你为什么要把所求的点转移到点1O学生：因为点不好商量，过作平面 DBE 的垂线画出来，1D1D教师：所以我们要让这个点跑到面的里面,下面说一说你是如何作辅助线的，你怎么说我就怎么画,如果我是电A1B1ABD1C1CDEO1OH4脑,那么你是鼠标.学生：先证明平面与平面
11、DBE 垂直，交线为 OE，再作于 H,则平面 DBE.则OEO1OEHO1HO1即HO1为 点到平面的距离1OBDE教师：下面问题即化归到求等腰三角形一腰上的高的问题，这里这不放慢镜头了.这种招式也是求点OEO1面距离的常用招式,我们也给它取个名字,怎么样?学生：-教师：这种解法的要点是先逃跑,后作垂线,先实行战略转移,再作距离, 学生：逃跑转移法教师：不够文明,还是叫平行转移法吧!平行转移法的解题的主要步骤如何?学生：第一步,先找一条直线,使目标点可以在这条直线上跑,第二步,找一个好位置再作目标平面的垂线,教师：怎样才算好位置呢?学生：能画出垂线的位置教师：“足”是什么，足就是脚，就是要使
12、其有“立足之地” ，什么情况下保证有立足之地呢？这里有一个基本的套路，我介绍一下，当两个平面垂直时，有何重要性质？学生：面面垂直，则线面垂直教师：即当两个平面垂直时，可在其中一个平面内，过某一点作两平面交线的垂线（用模型） ，则这条直线与另一个平面垂直了，刚在为什么我们看上点呢？因为生长在平面中，且平面和基本平面是1O1OOEO1OEO1垂直的（板书：平行转移法平行转移法 找线找线找点找点画垂线画垂线算距离算距离）教师：用平行转移法的前提是能找到一条过目标点且与目标平面平行的直线，即为目标点设计一条逃跑的通道，且在这条通道上能找到一个好的点，若不具备这些条件，这种法显然不灵了是否还有其实它方法
13、？学生：线段的中点为, 到平面的距离为,则点到平面的距离为 2.1BDQQBDEh1DBDEh教师：所以只须求出点到平面的距离，用的方法还是转移法作图方法如何？QBDE学生：由平行转移法可知，平面和平面垂直，且交线为，BDEQOEOE作于,则平面.只须求的长即可PQOEPQPBDEPQ教师：其解题的基本步骤如何？学生：与平行转移法差不多教师：还是找线找点画垂线算距离，但找的线不是平行线，而是过目标点的作目标平面的一条斜线段.这样做的理论根据是什么?(教师作图)学生：理论根据是相似比,如图 A、B 两点到平面的距离之比等于与的长度之比OAOB教师：所以我们把这种方法叫做-学生：比例转移法（板书：
14、比例转移法比例转移法 找线找线找点找点画垂线画垂线算距离算距离）教师：平行转法也好，比例转移法也罢，执行的都是逃跑主义路线，难道这个A1 B1ABD1C1CDEOQ PkODCBA51D点真的有怎么臭吗？过点作平面的垂线难道真的很难吗？现在我要求大家安慰一下这颗受伤的心，即1DBDE坚定不移地过点作平面 BDE 的垂线，1D学生：-教师：垂线段不好作的原因是什么？学生：的腿没地方去伸了，1D教师：刚在我们用转移法时，把目标盯在哪个点上，其实也可以换一个角度，也可以让基本平面有所表示，画大一点不就得了学生：延长和交于点 G，连接.且.BE11CB1,GDGDEC11BB1121BBEC.即. 平
15、面2EDEBGE090BDGDGBD DGBD BD.平面平面且交线为. 作于 K,则平面GDD1BDGGDD1DGDGKD1KD1,即平面.即为到平面的距离.BDGKD1BDEKD11DBDE教师：这种方法可能是比较傻的方法了，它好象是排球比赛中的高点强攻，我们也给一个名字，叫做“直接构作法” ，你认为直接构作法的解题的关键是什么？学生：能过找到一个过目标点，且与目标平面垂直的平面，教师：找到了又怎样呢？学生：找到后，只须过目标点，作这个平面和目标平的交线的垂线即可教师：对，面面垂直，则线面垂直.(板书: 直接构作法直接构作法 找垂面找垂面作垂线作垂线算距离算距离)5 5 类比二维问题类比二
16、维问题, ,猜想距离公式猜想距离公式. .教师：在三维空间中的求点到平面的距离,相当于在二维空间中的什么问题？学生：相当于求点到直线的距离教师：点到直线的距离的问题我们是已经彻底解决了的,既可以定性分析,又可定量分析,在平面解析几何中,若点的坐标为，直线 的方程为：则点 P 到 的距离为多少？P00y,xPl0CByAx:ll学生：, 2200BACByAxd 教师：在平面点的坐标可以用两个量表示，在空间点的坐标可以用三个量表示,如，在平面000z ,y,xP中，直线的方程是关于的二元一次方程，可以写成形如的模样，那么，在空间，你认为平yx,0CByAx:l面的方程应该长啥模样？学生:猜想平面的方程也是一个关于的三元一次方程,zyx,教师
