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1、信号与系统第4-1页第四章 连续系统的s域分析4.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质 4.3 拉普拉斯变换逆变换 4.4 复频域分析 一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型点击目录 ，进入相关章节信号与系统第4-2页1 傅里叶变换当信号满足绝对可积条件时，可以进行以下傅里叶变换和反变换：一、从傅里叶到拉普拉斯变换4.1 拉普拉斯变换第四章 连续系统的s域分析信号与系统第4-3页频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任 意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和 。使响应的求解得到
2、简化。物理意义清楚。但也 有不足： （1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2t(t); （2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分 析。(3) 傅里叶反变换不好求信号与系统第4-4页在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推 广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率 s = +j,以复指数函数est 为基本信号，任意信号可分解为不同复频率 的复指数分量之和。这里用于系统分析的独 立变量是复频率 s ，故称为s域分析。所采用 的数学工具为拉普拉斯变换。2 拉普拉斯变换引入信号与系统第4-5页有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难 。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适
3、当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t时信号 幅度趋近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换 为 f(t) e-t= Fb(+j)= f(t) e-t= 令s = + j,d =ds/j，有信号与系统第4-6页4.1 拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。 二、收敛域 只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。信号与系统第4-7页4.1 拉普拉
4、斯变换例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于因果信号，仅当 Res=时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。 收敛域收敛边界1 部分平面收敛信号与系统第4-8页4.1 拉普拉斯变换例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求其拉普拉斯变换。 解 可见，对于反因果信号，仅当 Res=时，其收敛域 为 2Res= ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换 简记为F(s)=f(t)f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s)信号与系统第4-13页4.1 拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换 1、(t) 1， -2、(t)或1 1/s
5、 ， 03、指数函数e-s0t -Res0cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 sin0t = (ej0t e-j0t )/2j 信号与系统第4-14页4.1 拉普拉斯变换4、周期信号fT(t) 特例：T(t) 1/(1 e-sT) 信号与系统第4-15页4.1 拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 Res0 要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。 根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况： （1）0-2； 则 F(j)=1/( j+2)信号与系统第4-16页4.1 拉普拉斯变换（2）0 =0，即F(s)的收敛边界为j轴， 如f(t)= (t)F(s)=1/s = () +
6、1/j （3）0 0，F(j)不存在。 例f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变 换不存在。信号与系统第4-17页4.2 拉普拉斯变换性质4.2 拉普拉斯变换性质 一、线性性质若f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2 则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例 f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换若f(t) F(s) , Res0，且有实数a0 ， 则f(at) Resa0 信号与系统第4-18页4.2 拉普拉斯变换性质例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)
7、 =求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) 信号与系统第4-19页4.2 拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性 若f(t) F(s) , Res0, 且有实常数t00 , 则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s) , Res0 与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例1:求如图信号的单边拉氏变换。 解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=F2(s)= F1(s)信号与系统第4-20页4.2 拉普拉斯变换性质例2:已知f1(t) F1(s), 求f2(t) F2(s)解：
8、 f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例3:求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?信号与系统第4-21页4.2 拉普拉斯变换性质四、复频移（s域平移）特性 若f(t) F(s) , Res0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat F(s-sa) , Res0+a 例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)= 求e-tf(3t-2)的象函数。 解：e-tf(3t-2) 例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ? 解cos(
9、2t/4) =cos(2t)cos(/4) + sin(2t)sin (/4) 信号与系统第4-22页4.2 拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则f(t) sF(s) f(0-)f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 若f(t)为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 例1:(n)(t) ? 例2:例3:信号与系统第4-23页4.2 拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理） 若f(t) F(s) , Res0, 则 例1: t2(t)? 信号与系统第4-24页4.2 拉普拉斯变换性质例2:已知因果
10、信号f(t)如图 ,求F(s)解：对f(t)求导得f(t)，如图由于f(t)为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t) Fn(s)则 f(t) Fn(s)/sn信号与系统第4-25页4.2 拉普拉斯变换性质七、卷积定理 时域卷积定理若因果函数 f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2 则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（s域）卷积定理 例1：t (t) ?例2：已知F(s)= 例3：信号与系统第4-26页4.2 拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分 若f(
11、t) F(s) , Res0, 则 例1：t2e-2t(t) ?e-2t(t) 1/(s+2) t2e-2t(t) 信号与系统第4-27页4.2 拉普拉斯变换性质例2：例3：信号与系统第4-28页4.2 拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(） ，而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式， 若F(s)为假分式化为真分式）， 则 终值定理 若f(t)当t 时存在，并且 f(t) F(s) , Res0, 00，则 信号与系统第4-29页4.2 拉普拉斯变换性质例1：例2：信号与系统第4-
12、30页5.4 复频频域分析 4.4 复频频域系统分析 一、微分方程的变换解 描述n阶系统的微分方程的一般形式为 系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。 思路：用拉普拉斯变换微分特性若f (t)在t = 0时接入系统，则 f (j )(t) s j F(s)信号与系统第4-31页4.4 复频频域分析例1 描述某LTI系统的微分方程为y“(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励f (t) = 5cost(t) ， 求系统的全响应y(t)解： 方程取拉氏变换，并整理得y(t
13、)， yx(t)， yf(t)s域的代数方程Yx(s)Yf(s)信号与系统第4-32页4.4 复频频域分析y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) + yx(t)yf (t)暂态分量yt (t)稳态分量ys (t)若已知y(0+)=1 ，y(0+)= 9Yx(s)Yf(s)信号与系统第4-33页4.4 复频频域分析二、系统函数 系统函数H(s)定义为 它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始 状态无关。yf(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yf(s)= L h(t)F(s)信号与系统第4-34页4.4 复频频域分析例2 已知当输入f (t)=
14、 e-t(t)时，某LTI因果系统的零状 态响应yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程为 y“(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换 yf“(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信号与系统第4-35页4.4 复频频域分析三、系统的s域框图 时域框图基本单元f(t)af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元
15、s1F(s)Y(s) = s 1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t ) f2(t )y(t) = f1(t)+ f2(t)+ +F1(s) Y(s) = F1(s)+F2(s) F2(s)+ +信号与系统第4-36页4.4 复频频域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例3 如图框图，列出其微分方程解 画出s域框图,s-1s-1 F(s)Y(s)设左边加法器输出为X(s)，如图 X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代数方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) 微分方程为 y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = f “(t)+ 4f (t) 再求h(
