《2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第50讲椭圆学案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 5050 讲讲 椭椭 圆圆考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，102017浙江卷，22016江苏卷，101.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解椭圆的实际背景3理解数形结合的思想.分值：512 分1.求解与椭圆定义有关的问题，利用椭圆的定义求轨迹方程，求椭圆的标准方程，确定椭圆焦点的位置2求解与椭圆的范围、对称性有关的问题；求解椭圆的离心率，求解与椭圆的焦点三角形有关的问题.1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做_椭圆|F1F2|_这两个定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_集合PM
2、|2a，2c，其中a0，c0，且a，c为常数|MF1|MF2|F1F2|(1)若_ac_，则集合P为椭圆；(2)若_ac_，则集合P为线段；(3)若_ac_，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)x2 b2y2 a22图形范围_a_x_a_，_b_y_b_b_x_b_，_a_y_a_对称性对称轴：_坐标轴_，对称中心：_(0,0)_顶点A1_(a,0)_，A2_(a,0)_，B1_(0，b)_，B2_(0，b)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_，B1_(b,0)_，B2_(b,0)_轴长轴A1A2的长为_2a_，短轴B1B2的长为_2
3、b_焦距_2c_|F1F2|离心率e_ _，e_(0,1)_c a性质a，b，c的关系c2_a2b2_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( )(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1 F2的周长为 2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)( )(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆( )(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形( )解析 (1)错误由椭圆的定义知，当该常数大于时，其轨迹才是椭圆，而常数等|F1F2|于时，其轨迹为线段F1F2，常数小于时，不存在图形|F1F2|F1F2|(2)正确由椭圆的定义得，
4、2a，又2c，所以|PF1|PF2|F1F2|2a2c.|PF1|PF2|F1F2|(3)错误因为e ，所以e越大，则 越小，椭圆就越扁c aa2b2a1(ba)2b a(4)正确由椭圆的对称性知，其关于原点中心对称也关于两坐标轴对称32(2017浙江卷)椭圆1 的离心率是( B B )x2 9y2 4A B 13353C D2 35 9解析 根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e ，故a2b25c a53选 B3设P是椭圆1 上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则( C C )x2 4y2 9|PF1|PF2|A4 B8 C6 D18解析 依定义知2a6.|PF1|PF2|4若方程1
5、 表示椭圆，则m的范围是( C C )x2 5my2 m3A(3,5) B(5,3)C(3,1)(1,5) D(5,1)(1,3)解析 由方程表示椭圆知Error!解得3m5 且m1.5已知F1，F2是椭圆C的左，右焦点，点P在椭圆上，且满足2，PF1F230，则椭圆的离心率为_.|PF1|PF2|33解析 在PF1F2中，由正弦定理得 sin PF2F11，即PF2F1，设1，则 2|PF2|2，所以离心率e.|PF1|F2F1|32c 2a33一 椭圆的定义椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常
6、称为“焦点三角形” ，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求，通过整体代入可求其面积等|PF1|PF2|【例 1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨4迹是( A A )A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且x2 a2y2 b2.若PF1F2的面积为 9，则b_3_.PF1PF2解析 (1)由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，故，所以|PM|PF|PO|PF|r，由椭圆的定义可知，P点的轨迹为椭圆
7、|PO|PM|OM|(2)设r1，r2，则Error!|PF1|PF2|2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2.2 12 2又SPF1F2r1r2b29，b3.1 2二 椭圆的标准方程求椭圆的标准方程的方法求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式【例 2】 求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)过点(，)，且与椭圆1 有相同的焦点；35y2 25x2 9(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆
8、上，且P到两焦点的距离分别为 5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点，(，)(3 2，5 2)35解析 (1)椭圆1 的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.y2 25x2 9由椭圆的定义知，2a. 302 542 302 542解得a2.55由c2a2b2可得b24.所以所求椭圆的标准方程为1.y2 20x2 4(2)设椭圆的长半轴长，短半轴长，焦距分别为 2a,2b,2c，由已知条件得Error!解得a4，c2，b212.故椭圆方程为1 或1.x2 16y2 12y2 16x2 12(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，由Error!解得m ，n.1
9、 61 10椭圆方程为1.y2 10x2 6三 椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c，从而求解e，通过已知条件列方程组，解出a，c的值(2)构造a，c的齐次式，解出e，由已知条件得出a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率【例 3】 (1)(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为x2 a2y2 b2A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0 相切，则C的离心率为( A A )A B 6333C D231 3(2)已知F1(c,0)，F2 (c,0)为椭圆1 的两个焦点，P在椭圆1
10、上，x2 a2y2 b2x2 a2y2 b2且满足c2，则此椭圆离心率的取值范围是( C C )PF1PF2A B 33，1)1 3，1 2C D33，22(0，22解析 (1)以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离a，得a23b2，所以C的离心率e，故选 A2abb2a21b2a2636(2)由椭圆的定义得2a，|PF1|PF2|平方得2224a2.|PF1|PF2|PF1|PF2|又c2，cos F1PF2c2.PF1PF2|PF1|PF2|由余弦定理得222cos F1PF224c2.|PF1|PF2|PF1|PF2|F1F2|由，得 cos F
11、1PF2.c2 2a23c2又0cos F1PF21，e.222a2，|PF1|PF2|(|PF1|PF2|2)2a23c2a2，a23c2，e，33故椭圆离心率的取值范围是，故选 C33，22四 直线与椭圆的综合问题直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程(2)求面积先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值(3)判断图形的形状可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系(4)弦长问题利用根与系数的关系、弦长公式求解(5)中点弦或弦的中点一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否
12、相交【例 4】 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆Ex2 a2y2 b232的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点2 33(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解析 (1)设F(c,0)，由条件知， ，2 c2 33得c.又 ，所以a2，b2a2c21.3c a327故E的方程为y21.x2 4(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2 代入y21，得(14k2)x216kx120.x2 4当16(4k23)0，即k2 时，x1,2，3 48k 2 4k234k2
13、1从而.|PQ|k21|x1x2|4k21 4k234k21又点O到直线PQ的距离d，2k21所以OPQ的面积SOPQd，1 2|PQ|4 4k234k21设t，则t0，SOPQ，4k234t t244t4t因为t 4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，4 t72所以当OPQ面积最大时，l的方程为yx2 或yx2.72721已知椭圆mx24y21 的离心率为，则实数m( D D )22A2 B2 或 8 3C2 或 6 D2 或 8解析 显然m0 且m4，当 0m4 时，椭圆长轴在x轴上，则，解得1 m1 41 m22m2；当m4 时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8.1 41 m1 42
14、22椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，双曲线x21 的一条渐近线与椭x2 a2y2 b2y2 3圆C交于A，B两点，且AFBF，则椭圆C的离心率为_1_.3解析 不妨取双曲线x21 的一条渐近线的方程为yx，则AOF60，记椭y2 338圆C的左焦点为F1(c,0)，依题意得c，所以四边形AFBF1为矩形，|OA|OB|OF|OF1|AFO是正三角形，所以c，c，则椭圆C的离心率为e |AF|AF1|3c a2c 2a|FF1|AF|AF1|1.2cc 3c33(2018甘肃兰州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心x2 a2y2 b2率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.22(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值103解析 (1)由题意得Error!解得b，2所以椭圆C的方程为1.x2 4y2 2(2)由Error!得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(
