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1、1第第 6 6 章章 万有引力与航天万有引力与航天章末总结章末总结一、天体(卫星)运动问题的处理分析处理天体运动问题，要抓住“一个模型” “两个思路” 、区分“三个不同” 。21一个模型：无论是自然天体(如行星等)，还是人造天体(如人造卫星、空间站等)，只要天体的运动轨迹为圆形，就可将其简化为质点的匀速圆周运动。2两个思路(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力。因此，向心力等于万有引力，据此所列方程是研究天体运动的基本关系式，即Gmm2rmrma。Mm r2v2 r42 T2(2)不考虑地球或其他天体自转影响时，物体在地球或其他天体表面受到的万有引力约等于物体的重力，即Gmg，
2、变形得GMgR2。Mm R23三个不同(1)不同公式中r的含义不同。在万有引力定律公式(FG)中，r的含义是两质点间的m1m2 r2距离；在向心力公式(Fmm2r)中，r的含义是质点运动的轨道半径。当一个天体绕v2 r另一个天体做匀速圆周运动时，两式中的r相等。(2)运行速度、发射速度和宇宙速度的含义不同。(3)卫星的向心加速度a、地球表面的重力加速度g、在地球表面的物体随地球自转做匀速圆周运动的向心加速度a的含义不同。例 1 土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动，其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA8.0104 km 和rB1.2105 km。忽略所有
3、岩石颗粒间的相互作用(结果可用根式表示)。(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为 10 N，推算出它距土星中心 3.2105 km 处受到土星的引力为 0.38 N。已知地球半径为 6.4103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？解析 (1)设土星质量为M0，岩石颗粒质量为m，距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律可得G，M0m r2mv2 r解得v。GM0 r对于A、B两颗粒分别有vA和vB，GM0 rAGM0 rB得。vA vB623(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则T，2r v对
4、于A、B两颗粒分别有TA和TB，2rA vA2rB vB得。TA TB2 69(3)设地球质量为M，半径为r0，地球上物体的重力可视为等于万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，跟土星中心相距r03.2105 km 处的引力为G0，根据万有引力定律得G 0，G0，解得95。GM0m0 r02M0 M答案 (1) (2) (3)95 倍622 69针对训练 1 “静止”在赤道上空的地球同步气象卫星将气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )A同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1 nB同步卫星的运行
5、速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的1 nC同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1 nD同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的1 n解析 同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则Gmamm2rmMm r2v2 rr，得同步卫星的运行速度v，又第一宇宙速度v1，所以，故选42 T2GM rGM Rv v1R r1 n项 A 错误，C 正确；a，g，所以 ，故选项 D 错误；同步卫星与地球自转GM r2GM R2a gR2 r21 n2的角速度相同，则vr，v自R，所以 n，故选项 B 错误。v v自r R答案 C二、人造卫星的发射、变轨与对接1发射问题要发射人造卫星，动力装置在
6、地面处要给卫星以很大的发射初速度，且发射速度vv17.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引F向，即Gm，从而使卫星进入预定轨道。Mm r2v2 r42变轨问题发射过程：如图 1 所示，一般先把卫星发射到较低轨道 1 上，然后在P点点火，使卫星加速，让卫星做离心运动，进入轨道 2，到达Q点后，再使卫星加速，进入预定轨道 3。图 1回收过程：与发射过程相反，当卫星到达Q点时，使卫星减速，卫星由轨道 3 进入轨道2，当到达P点时，再让卫星减速进入轨道 1，再减速到达地面。3对接问题如图 2 所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，
7、再加速运行到一个椭圆轨道。通过控制使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接。图 2例 2 (多选)2016 年中国将发射“天宫二号”空间实验室，并发射“神舟十一号”载人飞船和“天舟一号”货运飞船，与“天宫二号”交会对接。 “天宫二号”预计由“长征二号F”改进型无人运载火箭或“长征七号”运载火箭从酒泉卫星发射中心发射升空，由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，B点距离地面的高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上。 “天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图 3所示。已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R。则下
8、列说法正确的是( )图 3A “天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，引力为动力B “天宫二号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道上B点的向心加速度5C “天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度大于在预定圆轨道上的B点的速度D根据题目所给信息，可以计算出地球质量解析 “天宫二号”从B点沿椭圆轨道向A点运行的过程中，速度在变大，故受到的地球引力为动力，所以 A 正确；在B点“天宫二号”产生的加速度都是由万有引力产生的，因为同在B点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在B点时万有引力产生的加速度大小相等，故 B 错误；“天宫二号”在椭圆轨道的B点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道
9、，故“天宫二号”在椭圆轨道的B点的速度小于在预定圆轨道的B点的速度，故 C错误；“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，故周期为T ，根据万有引t n力提供向心力Gm，得地球的质量MMm （Rh）242（Rh） T242（Rh）3 GT2，故 D 正确。42n2（Rh）3 Gt2答案 AD针对训练 2 (多选)如图 4 所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步圆轨道上的Q)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P的速
10、率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是( )图 4A在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速B在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速CT1T2T3Dv2v1v4v3解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即Gm，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即Gm，所以v2v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做近心运动，可知v3v4。又由人造卫星的线6速度v可知v1v4，由以上所述可知选项 D 正确，A、B 错误，由于轨道半长轴GM rR1R2R3，由开普勒第三定律k
11、(k为常量)得T1T2T3，故选项 C 正确。r3 T2答案 CD三、双星模型在天体运动中的应用1双星：两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。图 52双星问题的特点(1)两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。(3)两星的运动周期、角速度相同。(4)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1r2L。3双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即Gm12r1m22r2。m1m2 L2由此得出：(1)轨道半径之比与双星质量之比相反：。r1 r
12、2m2 m1(2)线速度之比与质量之比相反：。v1 v2m2 m1(3)由于，r1r2L，所以两恒星的质量之和m1m2。2 T42L3 GT2例 3 (多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为 71，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知卡戎绕O点运动的( )7图 6A角速度大小约为冥王星的 7 倍B.向心力大小约为冥王星的1 7C轨道半径约为冥王星的 7 倍D周期大小与冥王星周期相同解析 由题图可知，冥王星与卡戎绕O点转动时每转一圈所用的时间相同，故 D 正确，A错误；冥王星与卡戎绕O点转动时万有引力提供向心力，即GM冥2r冥M冥m卡 （r冥r卡）2m卡2r卡，故
13、，B 错误，C 正确。r卡 r冥M冥 m卡7 1答案 CD针对训练 3 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )A.T B.Tn3 k2n3 kC.T D.Tn2 kn k解析 设两颗星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力可得：Gm1r1，Gm2r2，联立解得：m1m2m1m2 （r1r2）242 T2m1m2 （r1r2）242 T2，即T2，因此，当两星总质量变为原来的k倍，两星42（r1r2）3 GT242（r1r2）3 G（m1m2）之间的距离变为原来的n倍时，两星圆周运动的周期为TT，选项 B 正确，其他选n3 k项均错。答案 B
