《泰勒(taylor)公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《泰勒(taylor)公式（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节第三节泰勒（泰勒（TaylorTaylor）公式）公式一、泰勒（Taylor）公式回忆：利用函数的微分来近似表示函数的增量，即)(xfy 或为；当相当小xxfdyy)(0/)()()()(00/ 0xxxfxfxf0xxx时，可以用（）一次式来近似表示，)(xf0xx)()()()(00/ 01xxxfxfxP且满足、)()(010xPxf)()(0/ 10/xPxf其误差为；)(00xx可以用（）二次式来)(xf0xx2 00/00/ 02)(2)()()()()(xxxfxxxfxfxP近似表示，且满足、其误差为)()(020xPxf)()(0/ 20/xPxf)()(0/ 20/x
2、Pxf。)(02 0xx 更一般地,设函数 有导数，可以用（）的一个 n 次多项)(xf) 1( n)(xf0xx 式来近似表示, 且满足n nnxxaxxaxxaaxP)(.)()()(02 02010，,其误差为)()(00xPxfn)()(0/ 0/xPxfn)()(0)( 0)(xPxfn nn。可以求出，从而有：)(00nxx !)(0)(kxfakk),.,2 , 1 , 0(nk !)(.)(2)()()()()(0)( 2 00/00/ 0nxfxxxfxxxfxfxPnn泰勒（Taylor）中值定理：设函数在含有的某个开区间内具有阶导数，则当)(xf0x),(ba) 1( n
3、时，可以表示为（）的一个 n 次多项式与一个余项之),(bax)(xf0xx)(xRn和，即：，)()(!)(.)(2)()()()(00)( 2 00/00/ 0xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中，而界于与之间。1 0)1( )()!1()()( nnnxxnfxRx0x注：称)()(!)(.)(2)()()()(00)( 2 00/00/ 0xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 为函数按（）的密展开的 n 阶的泰勒公式（为函数在点展开)(xf0xx)(xf0x到 n 阶的泰勒公式） ，称为拉格朗日余项。)(xRn（2）事实上，当时，是的高阶无穷小，即0xx )(xR
4、nnxx)(0，此时称为皮亚洛（Peano）余项。)(0)(0n nxxxR)(xRn（3）若，则有00x，其中)(!)0(.2)0()0()0()()( 2/ /xRxnfxfxffxfnnn （或） ，称此式为函数展开到 n 阶的麦克1)1()!1()()(nnnxnfxR)(0)(n nxxR)(xf劳林（Maclaurin）公式。（4）可以利用函数的泰勒公式和麦克劳林公式来进行近似计算。并可)(xf以估计误差的大小，当时，Mxfn)()1(。1 01 0)1()!1 ()()!1()()( nnnnxxnMxxnfxR例 1：写出的带拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式，xexf)(n解：，
5、（xexf)(xkexf)()(1)0()(kf).,2 , 1 , 0nk 132 )!1(!1.! 31 ! 211)( nx nxnexnxxxxf；nxnxxxxf!1.! 31 ! 211)(32!1.! 31 ! 2111ne当，可以计算出，其误差不超过。10n718282. 2e410二、几个常用函数的麦克劳林（Maclaurin）公式（1），132 )!1(!1.! 31 ! 211 nx nxxnexnxxxe（2），)()!12() 1(.! 51 ! 31sin2121 53xRxmxxxxmmm 12 2)!12(2) 12(sin )( m mxmmx xR（），)()!2() 1(.! 41 ! 211cos12242xRxmxxxmmm22 12)!22(2)22(cos )( m mxmmx xR三、泰勒公式的应用例 2：求极限3 0sinlimxxxx上一上一节节 下下一节一节 返返回回
