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1、第三节第三节泰勒(泰勒(TaylorTaylor)公式)公式一、泰勒(Taylor)公式回忆:利用函数的微分来近似表示函数的增量,即)(xfy 或为;当相当小xxfdyy)(0/)()()()(00/ 0xxxfxfxf0xxx时,可以用()一次式来近似表示,)(xf0xx)()()()(00/ 01xxxfxfxP且满足、)()(010xPxf)()(0/ 10/xPxf其误差为;)(00xx可以用()二次式来)(xf0xx2 00/00/ 02)(2)()()()()(xxxfxxxfxfxP近似表示,且满足、其误差为)()(020xPxf)()(0/ 20/xPxf)()(0/ 20/x
2、Pxf。)(02 0xx 更一般地,设函数 有导数,可以用()的一个 n 次多项)(xf) 1( n)(xf0xx 式来近似表示, 且满足n nnxxaxxaxxaaxP)(.)()()(02 02010,,其误差为)()(00xPxfn)()(0/ 0/xPxfn)()(0)( 0)(xPxfn nn。可以求出,从而有:)(00nxx !)(0)(kxfakk),.,2 , 1 , 0(nk !)(.)(2)()()()()(0)( 2 00/00/ 0nxfxxxfxxxfxfxPnn泰勒(Taylor)中值定理:设函数在含有的某个开区间内具有阶导数,则当)(xf0x),(ba) 1( n
3、时,可以表示为()的一个 n 次多项式与一个余项之),(bax)(xf0xx)(xRn和,即:,)()(!)(.)(2)()()()(00)( 2 00/00/ 0xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中,而界于与之间。1 0)1( )()!1()()( nnnxxnfxRx0x注:称)()(!)(.)(2)()()()(00)( 2 00/00/ 0xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 为函数按()的密展开的 n 阶的泰勒公式(为函数在点展开)(xf0xx)(xf0x到 n 阶的泰勒公式) ,称为拉格朗日余项。)(xRn(2)事实上,当时,是的高阶无穷小,即0xx )(xR
4、nnxx)(0,此时称为皮亚洛(Peano)余项。)(0)(0n nxxxR)(xRn(3)若,则有00x,其中)(!)0(.2)0()0()0()()( 2/ /xRxnfxfxffxfnnn (或) ,称此式为函数展开到 n 阶的麦克1)1()!1()()(nnnxnfxR)(0)(n nxxR)(xf劳林(Maclaurin)公式。(4)可以利用函数的泰勒公式和麦克劳林公式来进行近似计算。并可)(xf以估计误差的大小,当时,Mxfn)()1(。1 01 0)1()!1 ()()!1()()( nnnnxxnMxxnfxR例 1:写出的带拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式,xexf)(n解:,
5、(xexf)(xkexf)()(1)0()(kf).,2 , 1 , 0nk 132 )!1(!1.! 31 ! 211)( nx nxnexnxxxxf;nxnxxxxf!1.! 31 ! 211)(32!1.! 31 ! 2111ne当,可以计算出,其误差不超过。10n718282. 2e410二、几个常用函数的麦克劳林(Maclaurin)公式(1),132 )!1(!1.! 31 ! 211 nx nxxnexnxxxe(2),)()!12() 1(.! 51 ! 31sin2121 53xRxmxxxxmmm 12 2)!12(2) 12(sin )( m mxmmx xR(),)()!2() 1(.! 41 ! 211cos12242xRxmxxxmmm22 12)!22(2)22(cos )( m mxmmx xR三、泰勒公式的应用例 2:求极限3 0sinlimxxxx上一上一节节 下下一节一节 返返回回