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1、第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 1、解、解 ), 2 , 1(0)ln(21ln21)(?=+=+=kkkXEk0)()()()(222=kkkkXEXEXEXDkkkln)ln(21)ln(2122=+=+=, (k =1,2,) 令令 = =nkknXnY 11，n=1,2,则则0)(= =nYE )ln(ln1ln1)(1)1()( 1212121nnknk nXD nXnDYDnknknkknkkn+= =+= =nn nk nnnklnln111+= =+= =因为因为 1lnlnln1lim1 01 01 01=dxxxxdxnk nkn0lnlimln
2、lim= = xx nnxn. 所以所以 0)(lim= = nnYD , 0 故故由切比谢夫不等式由切比谢夫不等式 2)()(0 n nnYDYEYP 及由夹逼准则得及由夹逼准则得 0)(lim= = nnnYEYP, 即即 kX服从大数定理。服从大数定理。 2、证、证 0) 211(0 21)2( 212)(21212=+=+=+=+nnn nn nXE 1) 211(0 21)2( 21)2()()()(22 122 12222=+=+=+=+nnn nnnnnXEXEXD令令 = =nkknXnY 11，(n=1,2,) 则则 011)(1)1()(, 0)(2121 = =nnkkn
3、kknnnn nXD nXnDYDYE 010, 022 = =nn nnnDYEYYP 由夹逼准则知，由夹逼准则知， 0lim= = nnnEYYP, 所以服从大数定律。所以服从大数定律。 nX3设为独立同分布随机变量序列，其共同分布为（设为独立同分布随机变量序列，其共同分布为（0,1）上的均匀分布，令）上的均匀分布，令 nXnnkknXY11= = =证明：，其中证明：，其中C为常数，并求出为常数，并求出C。 CYP n证证: 取对数取对数 = =nkknXnY 1ln1ln 因为独立同分布，所以也独立同分布。因为独立同分布，所以也独立同分布。 nXlnnX15课后答案网 w w w .k
4、 h d a w .c o m又因又因 11)lnlim0(lnln)(ln 01 01 01 0= += +xxdxxxxdxXE xk有限有限,所以由辛钦大数定律，得所以由辛钦大数定律，得 ), 2 , 1(?= =k1lnPnY故故 )(1=nCeYP n 4在一家保险合同里有在一家保险合同里有 10000 个人参加保险，每人每年付个人参加保险，每人每年付 12 元保险费。在一年中一个人 死亡的概率为元保险费。在一年中一个人 死亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向公司领得，死亡时其家属可向公司领得 1000 元，问：元，问： （1）保险公司亏本的概率多大？）保险公司亏本的概率多大？
5、（2）保险公司一年的利润不少于）保险公司一年的利润不少于 40000 元的概率是多少？元的概率是多少？ 解解 （1） 根据题设条件，所求问题应该以根据题设条件，所求问题应该以“年年”为单位来考虑。在年初，保险为单位来考虑。在年初，保险 公司总收入为公司总收入为 (元元) 1200001210000= 设一年中死亡人数为= 设一年中死亡人数为 X，则，则),(pnBX，其中，其中 n=10000, p=0.006. 从而保险公司在这从而保险公司在这 一年应付出一年应付出 1000X（元） ，要使保险公司亏本，则必须（元） ，要使保险公司亏本，则必须 1000X 120000，即，即 X 120（
6、人）（人） 因此由德莫佛因此由德莫佛拉普拉斯定理，拉普拉斯定理， P保险公司亏本保险公司亏本=PX 120 = = )1(120)1(pnpnppnpnpXP 0)7699. 7(1769. 7 )1(= = = pnpnpXP （2） P保险公司获利不少于保险公司获利不少于 40000 元元 80400001000120000 =XPXP = = )1(80)1(pnpnppnpnpXP995. 0)59. 2(59. 2 )1(= = = pnpnpXP 5试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？试问对下列独立随机变量序列，李雅普洛夫定理是否成立？为什么？ （1）?,
7、2 , 1 ,21=kKXPKXPkk（2）?, 2 , 1 , 0 ,310=kaXPKXPKXPka ka k解解 （1） 021)(21)(=+=+=kkEXk kkkDXk=+=+=21)(21)(22. )1(21112+= =+= =nnkDXBnknkkn21222 21 21+=+=+=+=kkkXEk =+ + =+ +nkkk nEXXE B12 21 = =+=+ += =+=+ +=nknnkk nk BXE B121212 211 =+= =+=nkknn1212121)1(2取取2= = ，则，则 =+ + =+ +nkkk nEXXE B12 21 =+= =+=
8、nkk nn12 2)1(416课后答案网 w w w .k h d a w .c o m0)12)(1(6)1(42 + += + +=nnnnnn即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于即李雅普诺夫定理的条件成立，故对于 kX李雅普诺夫定理成立。李雅普诺夫定理成立。 （2） 031)(31)(=+=+=kkEXk 2222 32 31)(31)(kkkEXDXkk=+=+= = =nknkknkDXB 1212 32 , )2(222 32 31 31+=+=+=+=kkkXEk =+ + =+ +nkkk nEXXE B12 21 = =+ + =+ +nkk nXE B12 21 12112
9、1)2(32 )32(+=+=+=+= nknkkk 因为因为 dxxnk nnknknnkn+=+=+=+=+=+=+=+=1 0111)1()(1)1(lim1/lim1= 所以所以 =+ + =+ +nkkk nnEXXE B12 21lim 21121)2(2)12(1)2()32(lim+= += nnn01 1)2()12()32(lim2212=+=+=+=+ nn故对于所给的故对于所给的 李雅普诺夫定理成立。李雅普诺夫定理成立。 kX6设是独立同分布的随机变量序列，设是独立同分布的随机变量序列， 1: nXn, 0)( k nXD +=XPXPXP 1357. 0)147. 1(1147. 1 19. 04001 . 14001 = XP (2) 记记 Y = 有有 1 名家长来参加会议的学生数名家长来参加会议的学生数，则，则 . )8 . 0,400( BY由德莫佛拉普拉斯定理，得由德莫佛拉普拉斯定理，得 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340 = =YPYP .9938. 0)5 . 2(5 . 2 2 . 08 . 04008 . 0400= = = YP 19课后答案网 w w w .k h d a w .c o m
