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1、第一讲 能 量 方 法 内 容 1. 线弹性杆件的应变能 2. 互等定理 3. 余能定理 (克罗第-恩格塞定理) 4. 卡氏第二定理 5. 变形体虚功原理 6. 单位载荷法 7. 图乘法1. 线弹性杆件的应变能:V =lllFN(x) dx 2 EA2 +T (x) dx 2 GIp2 +M (x) dx 2 EI2圆截面杆:非圆截面杆:V =llFN(x) dx 2 EA2 +T (x) dx 2 GIt2l+M (x) dx 2 EI2yyl+M (x) dx 2 EI2zz功能原理： W = V求: 外力做的总功 W 解:W = +FwB 2FMeB 2M ?wB = wB + wBFM
2、= Fl3/3EI + Mel2/2EIB = B + BFM= Fl2/2EI + Mel/EIW = +FwB 2MeB 2FMeAB l= + +F2l3 6EIFMel2 2EIMe l22EI若将载荷分解, 例4.1 知: F , Me , EI , l原因: 载荷与功不是线性关系, 不能使用叠加原理.由叠加原理可得:FMeABAB+= + F2l3 6EIMe l22EI2. 互等定理:F1 12 = F2 2112 = 21功的互等定理:位移互等定理:对于线弹性体，第一组外力在第二组外力引起 的位移上做的功，等于第二组外力在第一组外力引 起的位移上做的功。例4.2 知: A ,
3、B , PABAB求: 新支座 A 处的约束力 ABP无装配应力(竞赛复试题 )解: FA2FA1设: 有装配应力时, A支座约束力为FA1 无装配应力时, A支座约束力为FA2 由功的互等定理:FA1 0 = FA2 A P B解得:FA2 = PAB关键: 巧妙构造两组力及其对应的位移.4. 卡氏第二定理:k = V Fk=lFN(x)EAFN Fkdxl+T (x) GIpdx T Fkl+M (x) EIdxM Fk3. 余能定理 (克罗第-恩格塞定理) :k = Vc Fk适用于线性和非线性弹性体。上式仅适用于线弹性体。在线弹性情况下, OFVVcVcVc = V 例4.3 知: F
4、, l, b, h, = cF ABlxhyzb求: 自由端挠度 wB解: 1. 应力:横截面 y 处正应变: = y / y 处正应力: = c= cy / 横截面上的弯矩为:M = A y dA = 2 y3/2bdyc 0h/2=52cbh5/2由M = Fx 可得 ：=152Fx cbh5/2可得正应力: = 52Fxy cbh5/22. 余能:密度: vc=0 d = 3 3c2=0 d 2 c2将应力代入得: vc=2502F2y3/2x3 3c2b3h15/2余能: Vc=V vcdVl= 20 0 vcbdydxh/2积分后得 :Vc=25F3l4 6c2b2h5 3. 挠度:
5、wB =Vc F=25F2l4 2c2b2h5由余能定理:( )例4.4ABRF求: BV 已知: F, R, EI 解: 1. 写 M (x) 并对F 求偏导M ( ) = - FRsin M/F = - Rsin : 2. 求 BV BV =M ( ) EIRdM F=/2 EI(-FRsin )(-Rsin ) Rd1 0=/2 2EI(1-cos2 )dFR3 0=/2 2EI( - sin2 )FR3 021=4 EIFR3( )求: BH ?F1 :M ( ) = -FRsin -F1R(1- cos ) M/F1 = - R(1- cos )=/2 EI(-FRsin )(-R)
6、(1- cos ) Rd1 0=/2 EIsin (1-cos )dFR3 0=/2 EI(-cos - sin2 )FR3 021=2EIFR3BH =M ( ) EIRdM F1F1= 0( )例4.5F1F2ABl已知: EI , F1 , F2 , l .若用卡氏第二定理求 wB , 下列哪个答案是 正确的 ?A. wB = V F1B. wB = V F2C. wB = V (F1-F2)D. wB = V (F2-F1)解:M (x) = - F1 x + F2 x = - (F1F2) x xV =lM (x) dx 2 EI2 =(F1F2)2 l 3 6 EIwB = V F
7、1A=(F1F2) l 3 3EIwB = - wBBAwB = - wBDAwB = wBCA四个答案都是正确的 !结论: 求偏导时,对力的大小和指向没有任何要求!例4.6FABaaCF已知: EI , F , a .的含义是什么 ?V F 求: wA解:F2ABaaCF1V F= +V F1F1 FV F2F2 F= +V F1V F2= wA + wBAB: M (x) = - F1 x M F1= - xBC: M (x) = - F1(a + x) - F2 x M F1= - (a + x)+F(a + x) +F x EI(a + x)dxa0wA =F x dx EI2a0=7
8、Fa3 2EI( )xx例4.7 知: q, P, M, 梁的应变余能Vc(竞赛试题 ), , 的几何意义分别是什么 ?MVc PVc qVc解: 由余能定理可得：MVc的几何意义为 截面B的转角B PVc的几何意义为 C, D 两点的挠度之和 wC + wD ABqPPMCDqVc的几何意义为 梁弯曲变形前后两轴线所围的面积 pVc的几何意义为 梁弯曲变形前后两表面所围的体积 We = Wi 5.变形体虚功原理 :6.单位载荷法:对于线弹性杆或杆系:上式适用于线性和非线性弹性或非弹性杆件或杆系。 = + + +ldxF FN(x)F FN(x) E A0 T 0(x)T(x) G ItdxM
9、y (x)My(x) 0 dxE IyMz (x)Mz(x) 0E Izdx = l F FN (x)d + T 0(x)d + My (x)dy + Mz (x)dz 000外虚功等于内虚功 由变形体虚功原理可得:d =FN(x)dx EAT(x)dx GItd =My(x)dx E Iydy =Mz(x)dx E Izdz =上式也称为莫尔积分, 仅适用于线弹性杆或杆系。 7.图乘法: = i = 1ni MCi Ei Ii0仅适用于线弹性分段直梁。例4.8 知: d R , E , G , P求: B端绕轴线的转角B (竞赛试题 )解: 内力方程： M ( ) = PRsin T ( )
10、 = PR(1 cos ) ABR1 +P AB AB PRM 0( ) = sin T 0 ( ) = cos B =EI1 ( PRsin )( sin ) Rd 0/2GIP1 PR(1 cos ) cos Rd 0/2+=EIPR2 sin2 d 0/2=EIPR2 4=Ed 416PR2 Gd 432PR2+( )411PR2 (cos2 cos ) d 0/2+GIP PR2+( 1)4 GIP例4.9 知:P , l , EI求: 反向弯曲的挠曲线方程 解: 由图乘法求力作用点挠度 : PABxly+ Pab/l M M 0+ ab/ly = a(Pab/l )/2(2ab/3l
11、 ) +abPABxy+ b(Pab/l )/2(2ab/3l ) /EI= 3EIlPa2b2令 a = x , b = l x , 并反号, 得y = 3EIlPx2(l x)2(省竞赛试题)例4.10 知:,l,F,EA 求: 与F 的关系 FCBAll解:1. 轴力:FBlFNFNFN=F / 2sin= Fl / (2) 2. 杆的变形:l = FN l / EA = Fl2 / (2EA) l = l 2 + 2 l = l 1 + ( / l )2 1/2 l l 1+ 2/(2l2) l = 2 / (2l ) = Fl 2 / (2EA)3 =Fl3 EA由功能原理得: W
12、= F / 2 = 2 FN l / (2EA) = V 2FN=Fl / (2) , 代入上式得 F / 2 = F 2l 3 / (42EA) 3 =Fl3 2EA错在何处?则有:W = F / 4设 F = k3 ,几何非线性问题例4.11 知:a,b,1,EI 单位长度水槽 求: AB , AB 略去剪力,轴力影响 q = b1gabABDC解:1. 画弯矩图 (画在受压侧)b31g/6+ba21g/8MbM01b11M0211112. 求AB AB = 2( ) + a b6b31gb 44b 56b31g EI1 b ba21g 82a 3= + EI1gb2b3 15b2a 6a
13、3 12 3. 求AB AB = 2( )1+ a 16b31gb 46b31g EI1 1ba21g 82a 3 = b3 + 2b2a a3 12EI1gb例4.12 知:下边温升T,b,h,l 求: AB ( T 沿h 线性变化) 解: 画内力图,如右图所示 . 1 1+2/32/33111 FN 01 1+33l M 0d =Tdx 0 h= dxT h转角:中性层伸长: d(l) = dxT 2hdxTdxdb外力系:单位力, 虚位移:由温升产生 由虚功原理可得: We = 1AB = FN d(l) + M d =Wi 00AB = (1)0ldxT 2+ 0l/3 33ldxT h+ 2 0l/3 3xdxT h= + +Tl 293hTl2 93hTl2= Tl ( )21
