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1、Date在工程分析和科学研究中，常常会遇到大 量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界 条件描述的场问题，如位移场、应力场和温 度场等问题。第二章 有限元法基础Date蓄水后大坝的位移与应变情况、地震时大坝的位移与应变情况等三峡大坝的受力情况 第二章 有限元法基础Date航天飞机飞行中的受热分析温度场分布 第二章 有限元法基础Date磁场分布 分析卫卫星、飞飞船在轨轨运行时时磁场场的影响 第二章 有限元法基础Date目前求解这类场问题的方法主要有两种： 用解析法求得精确解； 用数值解法求其近似解。其中， 能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问
2、题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的 数值解法，以求出近似解。第二章 有限元法基础Date传统方法要对一个实际的物理系统作出多种假设，比如形状假设、连续性假设等，然后通过经典理论方法得出问题的解析解，可得出实际问题的连续解，比如用方程描述三峡大坝某一点的位移和应变，但这样的解析解往往和实际情况有比较大的偏差。这对这对 于精度要求不高的领领域是可以的，但对对于有些领领域，就不能满满足实际实际 的需要了。 第二章 有限元法基础Date2-5 2-5 本章小结本章小结2-1 2-1 有限元简介有限元简介2-2 2-2 有限元分析步骤有限元分析步骤2-32-3 弹性平面问题有限元分析弹性平面问题有
3、限元分析2-4 2-4 有限元法在工程中的应用有限元法在工程中的应用Date目前，工程中实用的数值解法数值解法主要有三种： 有限差分法 变分法 有限元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广 。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的它的 程序包程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一 。有限元法的产生及基本思想2-1 2-1 有限元简介有限元简介第二章 有限元法基础Date1943年，Courant提出有限元法概念1956年，Turner和Clough第一次用三角形单元离散飞机机翼，借助有限元法概念研究机翼的强度及刚度 1960年，Clough正式
4、提出有限元法（FEM） 20世纪60年代以后，由于数学界的参与，FEM得到蓬勃发展，并且扩大了应用发展简史第二章 有限元法基础Date有限元分析是一种工程物理问题的数值分析方法 ，根据近似分割和能量极值原理，把求解区域离散为 有限个单元的组合，研究每个单元的特性，组装各单 元，通过变分原理，把问题化成线性代数方程组求解 。化整为零，裁弯取直，变难为易，先拆后搭定义分析指导思想第二章 有限元法基础Date载荷载荷第二章 有限元法基础Date1）单元（element）将求解的工程结结构看成是 由许许多小的、彼此用点联结联结 的基本构件如杆、梁、板和壳 组组成的，这这些基本构件称为为 单单元。在有限
5、元法中，单单元用一 组节组节 点间间相互作用的数值值和 矩阵阵（刚刚度系数矩阵阵）来描 述。几个基本概念第二章 有限元法基础Date2）节点（node）单元与单元之间的联结点，称为节点。在有限 元法中，节点就是空间中的坐标位置，它具有物理 特性，且存在相互物理作用。第二章 有限元法基础Date节点: 空间中的坐标位置，具有 一定相应，相互之间存在物理作 用。单元: 节点间相互作用的媒介， 用一组节点相互作用的数值矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。载荷载荷有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元 之间通过节点连接，并承受一定载荷。第二章 有限元法基础Date有限元分析是一种模拟设计载荷条件，并且
6、确定在 载荷条件下的设计响应的方法。它是用被称之为“单元” 的离散的块体来模拟设计的。第二章 有限元法基础Date第二章 有限元法基础Date1: 减小单元尺寸2：提高单元插值函数阶数第二章 有限元法基础Date第二章 有限元法基础Date杆系单元 定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的 点称为节点。 杆系单元为一维单元。 结构离散一般原则： 杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、 杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆 件即构成单元。F节点1节点2单元 节点3节点2单元2-2 2-2 有限元分析步骤有限元分析步骤第二章 有限元法基础Date有限元法的分析过程有限元法的分析
7、过程可概括如下 ：1 连续体离散化2 单元分析3 整体分析4 确定约束条件5 有限元方程求解6 结果分析与讨论第二章 有限元法基础Date1. 连续体离散化连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。 单元划分后，给每个单元及节点进行编号； 选定坐标系，计算各个节点坐标； 确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。第二章 有限元法基
8、础Date有限元法的基本思想第二章 有限元法基础Date有限元法的基本思想第二章 有限元法基础Date有限元法的基本思想第二章 有限元法基础Date有限元法的基本思想v离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一个连 续体，单元与单元之间没有裂缝、不能重叠， 所有单元通过单元节点相互关联着 v板料无论产生多大的塑性变形，单元与单元之 间依然不会产生裂缝、交叉和重叠，关联单元 的节点也不能脱开第二章 有限元法基础Date有限元法的基本思想v不合格单元单元裂缝单元重叠第二章 有限元法基础Date根据研究对对象的不同，有限元法中采用的单单元形式也不相同。通常，按照单单元结结构，可将单单元划分为为一维单维单元
9、（线单线单 元）、二维单维单 元（面单单元）和三维单维单 元 JI JKLI一维单元二维单元POMN KJIL三维单元第二章 有限元法基础Date按照单单元结结构特点和受力特点，可将单单元划分为：1）桁架杆单单元：主要应应用于受轴轴向力作用的杆和杆系，如桁架结结构；2）刚刚架杆单单元：用于梁及刚刚架结结构分析；3）三角形平面单单元：主要用于弹弹性力学中平面应应力和平面应变问题应变问题 的有限元分析；4）三棱圆环单圆环单 元：用于轴对轴对 称问题问题 的有限元分析；5）等参数单单元：用于一些具有曲线轮线轮 廓的复杂结杂结构。第二章 有限元法基础Date2. 单元分析连续体离散化后，即可对单元体进
10、行特性分析，简称为单元分析。单元分析工作主要有两项：(1)选择单元位移模式(位移函数) 用节点位移来表示单元体内任一点单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。 一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移 的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数 形式多为多项式。 根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移节点位移来表示单元体 内任一点位移的关系式。第二章 有限元法基础Date通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同 的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力 模式XFXF第二章 有限元法基础Date 进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有
11、力（表面 力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷； 采用有关的力学原理建立单元的平衡方程单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵 单元刚度矩阵。 (2) 分析单元的特性，建立单元刚度矩阵单位刚度矩阵 是由单元节点位移量 求单元节点力 向量 的转移矩阵，其关系式为 。 第二章 有限元法基础Date3. 整体分析 把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵， 以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整 体平衡方程。集成总体刚度矩阵K并写出总体平衡方程： K是由整体节点位移向量 求整体节点力向量 的转移矩阵，其关系式为 ，这就是总体 平衡方程；第二章 有限元法基础Date确定总总体
12、刚刚度矩阵阵K的办法1）直接利用总总体刚刚度系数的定义义在求出整体结结构中各节节点力与节节点位移关系的基础础上获获得总总体刚刚度矩阵阵。此方法只在简单简单 情况下才能采用。 2）集成法 将整体坐标标下的单单元刚刚度矩阵进阵进 行迭加而得。这这里所说说的迭加不是简单简单 的相加，而是将下角标标相同的刚刚度系数相加，然后按总码总码 的顺顺序对对号入座。第二章 有限元法基础Date3）利用节节点间间的刚刚度系数直接写出总总体刚刚度矩阵阵 总总体刚刚度矩阵对阵对 角线线上的刚刚度系数 等于在节节点i汇汇交的几个单单元的刚刚度系数 之和；非对对角线线上的刚刚度系数 等于联结节联结节 点i与节节点j间间几
13、个单单元的刚刚度系数 之和。第二章 有限元法基础Date4. 确定约束条件由上述所形成的整体平衡方程整体平衡方程是一组线性代数 方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定 求解对象问题求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行 适当修正。第二章 有限元法基础Date5. 有限元方程求解通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的 位移进而根据位移可计算单元的应力及应变。6. 结果分析与讨论第二章 有限元法基础Date网架杆件节点位移单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程节点位移值杆件内力单元内力与节点位移间关系引入边界条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量第二章 有限元法基础Date有限元求解实
14、例分析 【例1】一根由两段组组成的阶阶梯轴轴，一端固定，另一端承受一个轴轴向载载荷F3。这这两段的横截面积积分别为别为 A(1)和A(2)，长长度分别为别为 L(1)和L(2)，弹弹性模量分别为别为 E(1)和E(2) ，求出这这两段的应应力和应变应变。已知数据分别为别为 F3=100N，F2=0N ，第二章 有限元法基础Date1 2 3A(1) E(1)A(2) E(2)L(1) L(2) 21F2F323F1F3第二章 有限元法基础Date【解】 1.离散化把这这根阶阶梯轴轴看成是由两个单单元组组成的，节节 点选选在截面积积突变处变处 ，两个单单元的连连接处处是一个 节节点，该阶该阶 梯
15、轴轴的两端视为视为 另外两个节节点，所以 整个结结构共有三个节节点。这这根轴轴是一维结维结 构，并 只受轴轴向载载荷，因此各单单元内只有轴轴向位移。三个 节节点位置的位移量分别记为别记为 、 、 。在整个结结 构中节节点载载荷及节节点位移均用大写字母标记标记 ，其 角标为节标为节 点在总总体结结构中的编码编码 ，简简称总码总码 。 第二章 有限元法基础Date2 .求单元刚度矩阵下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承 受两个轴向力 和 作用时的位移情况。根据材 料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量 和 与轴向力 和 的关系式为第二章 有限元法基础Date注意v在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移 等参数 的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内 节点的局部编码。上两式可写成：v或简写为：第二章 有限元法基础Date式中为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于 单元中所包含的节点数；为单元节点力向量（列阵）； 第二章 有限元法基础Date为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式， 则 第二章 有限元法基础Date该该矩阵阵中任意一个元素 都称为单为单 元刚刚度 系数，它表示：该
