【物理金典力学】第3章 平面任意力系

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1、1第3章 平面任意力系23 平面任意力系重点、难点重点平面任意力系的简化及简化结果分析平面任意力系平衡的解析条件，各种形式平 衡方程及应用物体及物体系平衡问题的解法难点主矢与主矩的概念物体系的平衡问题331 力线平移定理32 平面任意力系向已知点简化 主矢与主矩33 简化结果分析 合力矩定理34 平面任意力系的平衡条件与平衡方程35 平面平行力系的合成与平衡36 物体系统的平衡 静定与静不定问题37 平面静定桁架的内力分析补充 平面任意力系习题课3 平面任意力系4平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系，又称平面一般力系，简称为平面力系。力系向已知点简

2、化力系向已知点简化：把未知力系（平面任意力系）先化为平面汇交力系及平面力偶系，然后再进行简化，称为力系向已知点简化。 引言引言5证明:一、定理一、定理作用在刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至作用在刚体上的力均可以从原来的作用位置平行移至刚体刚体内任一指定点，内任一指定点， 若不改变该力对于刚体的作用，则必须在该若不改变该力对于刚体的作用，则必须在该力与指定点所决定的平力与指定点所决定的平 面内附加一力偶，其力偶矩等于原力面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。对指定点之矩。3-1 3-1 力线平移定理力线平移定理A。FO。dA。FO。dF FO。FMM=MO(F)6力线平移定理揭示

3、了力与力偶的关系：力 力+力偶 二、讨论二、讨论力线平移定理是力系向一点简化的理论基础。力线平移定理可考察力对物体的作用效应。M AA7向一点简化Fn Mnxoy一、简化方法及主矢、主矩的概念一、简化方法及主矢、主矩的概念任意力系汇交力系+力偶系（未知力系）（已知力系）3-23-2 平面任意力系向已知点的简化平面任意力系向已知点的简化 主矢与主矩主矢与主矩。OF1 。A1F2 。A2。FnAn。OF1 F2M2M1FRO=FRM=MOFRO=F1 +F2 +Fn =F FRO=F1+F2+Fn=F =FR主矢主矢8主矩主矩主矢大小及其位置的确定主矢大小及其位置的确定（4-2）注意：力系的主矢主

4、矢完全决定于力系中各力的大小及方向， 与简化中心的位置无关。与简化中心的位置无关。M=M1+M2+Mn=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)=MO(F) = MO力系对于简化中心的主矩与简化中心的位置有关。主矩与简化中心的位置有关。结论：结论：平面任意力系向作用面内任一点简化平面任意力系向作用面内任一点简化 ，一般可以得到，一般可以得到一一 力和一力偶力和一力偶 ；该力作用于简化中心；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系，其大小及方向等于该力系 的主矢的主矢 ，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩。，该力偶之矩等于该力系对于简化中心的主矩。 附加力偶系可 合成力偶矩：注意：9二、

5、固定端（插入端/支座）约束物体的一部分固嵌于另一个物体所构成的约束称为 固定端约束固定端约束雨 搭车 刀FAyFAxMA101. FR =0， MO =0，则力系平衡，下节专门讨论。 一、简化最后结果3-33-3 简化结果分析简化结果分析 合力矩定理合力矩定理2. FR =0， MO 0，即简化结果为一合力偶，此时不论向 哪一点简化，力系的合成结果都是矩相同的一个力偶。即 此时力系的主矩与简化中心无关。 3. FR 0， MO=0，即简化为一个作用于简化中心的合力 。这时，附加力偶系平衡，简化结果就是该力系的合力 。 4. FR0， MO 0，为最一般的情况。此种情况还可以继 续化为一个合力

6、。 合力的大小等于原力系的主矢，作用线位置为M=MOFRO=FRO。dFRO。A=d=MO/FRM=MOFRO=FRO。=d。AFR。OMO(FR)=FRd=MM=MO=MO(F)二、合力矩定理二、合力矩定理MO(FR)=MO(F)这就表明，平面任意力系可合成为一力时，其合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。此即 平面任意力系情况下的合力矩定理合力矩定理。12应用合力矩定理可以导出力F 对于坐标原点O之矩的 解析表达式。FxxoyAF FyFyFxxyMO(F)= MO(Fx)+MO(Fy)MO(Fx)= -yFxMO(Fy) = xFy=-yFxxFyMO(F)根据合

7、力矩定理，有(1)上式适用于任何象限，如果力F为力系的合力，则上式也表示合力作用线的直线方程合力作用线的直线方程。(2)平面任意力系的合成问题可归结为力系的主矢主矢和对于任一点的主矩主矩的计算与分析。说明说明 ：13平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢和力系的主矢和力系力系 对于任一点的对于任一点的主矩都等于零。主矩都等于零。一、平衡的必要与充分条件一、平衡的必要与充分条件3-4 3-4 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件与平衡方程与平衡方程FR=0， MO =0 MO =MO(F)MO(F)=0由此可见，平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为：力系中所：力系中

8、所 有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和均为零，且有力在作用面内任意两个坐标轴上投影的代数和均为零，且 各力对于平面内任意一点之矩的代数和等于零。各力对于平面内任意一点之矩的代数和等于零。14二矩式：三矩式：说明: (1) 以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个 未知量。一矩式：二、平衡方程(解析法平衡的充要条件)由主矢主矩为零的条件则有：MO(F)=0MA(F)=0， MB(F)=0 MC (F)=0，条件:AB连 线与x 轴不 垂直条件: ABC三 点不共线(2) 不同形式的平衡方程，在实际应用时应根据实际情 形灵活选用。MA(F)=0， MB(F)=0ABCaab例例3-1

9、3-1 绞车通过钢丝绳牵引小车沿斜面轨道匀速上升(见下图 ),已知小车重为W =10kN,绳与斜面平行，=30，a=0.75m, b=0.3m,不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。 A BCFTFA FBW xyO解：选小车为研究对象，O点为矩心，受力分析图和坐标系如图Fx=0, -FT+W sin=0 (1)Fy=0, FA+FB-W cos=0 (2) MO(F)=0， 2FBa-Wa cos-Wbsin=0 (3)解之，FT =W sin=5 kN FB=W(acos+bsin)/(2a)=5.33kN FA=Wcos-FB=3.33kNBMNACOh xoyFN W FT

10、FTx FTy FOy FOx l1 l2 l BCA例例3-23-2 下图为电机车的电流接触器,由于弹簧BC的作用使 小轮A上压紧在输电线MN上。已知杠杆COA连同小轮总重为 W，弹簧拉力为FT，其他尺寸如右下图所示。求铰链O处的约束力及小轮对输电线的压力。 解：选取杠杆COA连同小轮一起作为研究对象，受力图情况 及坐标系Oxy如右上图所示。由一矩式平衡方程，得：17Fx=0, -Fox-FT cos=0 (1)Fy=0, Foy-FN-W- FT sin=0 (2)MO(F)=0， -Wl2-FNl+FT sinl2-FT cosh=0 (3)解之，FOx =FT cos FN=(l1 s

11、in-hcos)FT/l-l2W/l (*) FOy=(l1+l)sin/l-h cos/l)FT+(l-l2)W/l说明： 为了保证电机车能正常接受电流，小轮应压紧在输 电线上，这就要求FN0。由此可知弹簧的拉力应满足以下的 关系FTl2W(l1 sin-hcos)平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系一、平面平行力系的简化3-5 平面平行力系的合成与平衡F1 。A1。FROxoyF2。A2 。FnAnMO x1x2 xnFRO=FR =F M = MO=MO(F)=F1x1+F2x2+Fnxn=Fixi二、结果讨论、平衡方程1. FR 0，MO 0，则力系可以合成为一个合力

12、FR ，其大小 及方向与FR相同，作用线的位置为：=FxF FR MxiiO R条件:AB连 线不与y 轴 平行4. FR = 0， MO = 0时，则该力系平衡平衡，其平衡方程为： 2. FR 0， MO=0，则简化为一个作用于简化中心的合力3. FR =0， MO 0，则简化为一力偶，其矩为 M = MO =MO(F)MO(F)=0 （一矩式）由此可见，平面平行力系平衡的充要条件为：力系中所：力系中所 有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任意一点之矩有各力的代数和等于零，以及各力对于平面内任意一点之矩 的代数和等于零。的代数和等于零。MA(F)=0， MB(F)=0二矩式：可见，平面平

13、行力系平衡方程中包含两个两个独立方程，可以 求解两个两个未知量。例3-3 在水平面双伸梁上作用有有集中荷载F，矩为M的力偶和 集度为q的均布荷载。如已知F=20 kN, M=16 kNm, q=20 kN/m, a=0.8m。求支座A、B的约束反力。解解： 取AB梁为研究对象，画 出受力如图所示，以梁的中心线 为x轴，建立如图所示的直角坐 标系Axy， 由平面平行力系的平衡条件列平衡方程 MF FMFqFAFBxyMA(F)=0，FBa+qaa/2+M-F2a=0Fy=0，FA+FB-qa-F=0解之，FB=-qa/2-M/a+2F=12 kNFA=F+qa FB =24 kN例3-4 某行动

14、式起重机，已知轨距b=3m，机身重 W1=500kN，其作用线至右轨的距离e=1.5m，起重机最大荷载W=250kN，其作用线至右轨的距离l=10m，欲使起重机满载时不向右倾倒，空载时不向左倾倒，试确定平衡重W2之值，设其作用线至左轨的距离为a=6m。解: (1) 满载时，要保证此时不向右倾倒,则必须满足平衡方程解之，We W1W2ClaAB b FAFBMB(F)=0，W2(a+b)- FAb-W1e-Wl =0和限制条件FA0W2 (W1e+Wl) /(a+b)=361 kN(2) 空载时，要保证此时不向左倾倒,则必须满足平衡方程解之，MA(F)=0，W2a+ FBb-W1(b+e) =0和限制条件FB0W2W1(b+e)/a=375 kN因此， 361 kNW2375 kN即，当平衡重 在上述范围内时，起重机是稳定的。W2We W1W2ClaAB b FAFB说明：说明：由此例可以看出，平衡稳定问题除应满足平衡条件外，还应满足限制条件。 3-6 物体系统的平衡静定与静不定问题一、几个概念 1.物系物系 由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系(如曲柄曲柄连杆机构连杆机构系统)。2.外力外力 外界作用于物体系统的力称为该系统的外力。3.内力内力 物体系统内部各物体之间的相互作用力称为该系统的内力。