平面问题的基本理论

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1、第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论2-1 平面问题的概念2-2 平衡微分方程2-3 平面问题中一点的应力状态 2-4 几何方程 2-5 物理方程2-6 边界条件2-7 圣维南原理及其应用2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题 相容方程2-10 常体力情况下的简化 应力函数2-1 平面问题的概念应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。一. 平面应力问题xyyztb

2、a1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸小得多。 等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等2. 受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。xyyztba3. 简化分析（1）应力分量如图选取坐标系，以板的中 面为xy平面，垂直于中面的任一 直线为z轴。板面无面力，则因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。可认为整个薄板的 各点都有：由切应力互等定理因其他各应力分量沿z方向变化途径极短，且变化增量微 小。故认为各应力分量与z无关所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。即（2）应变分量由广义胡克定律，并令仅与x、y有关可由 表出所以

3、平面应力问题独立的应变分量只有三个，且仅与x、y有关 。即但（3）位移分量假设为稳定平衡（不发生翘曲）所以， 位移分量仅有u、v且仅为x、y的函数当t 0时（理想平面应力问题），z 常数，w0当t 0时（广义平面应力问题），w可由u、v表出；且w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量只有两个，且仅与x、y有关 。 （4）结论平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是因 t 很小，进一步分析可知：二. 平面应变问题1.几何特征一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。近似认为无限长ablxyzO2. 受力特征外力（体力、面力）平

4、行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。p水坝滚柱厚壁圆筒3. 简化分析（1）位移分量xyyz1ba任取一横截面（与z无关）， 因无限长，可视为对称面，则其上 任一点w 0。仅存u、v，且与z无 关。所以（2）应变分量由 w 0，及应变的定义易知（2）应变分量（3）应力分量由广义胡克定律反解，并令可见，独立的应力分量仅三个由变形对称性易知由任一截面与z无关易知即但（4）结论平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。即但简化的主要依据是与平面应力问题的基本未知量相同。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变

5、问题非平面问题三. 两种平面问题物理方程的关系根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程 对于平面应力问题，由z 0对于平面应变问题，由 z xy)与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性 （E、 ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。为了建立数学模型需研究三个方面的关系：（1）静力学关系： 应力与外力(体力、面力)间的关系；（2）几何学关系： 变形与位移间的关系；（3）物理学关系： 变形与应力间的关系(本构关系) 。四. 弹性力学平面问题的提法综合三个方面的关系建立数学模型数学模型的求解力学模型 2-2 平衡微分方程PBACx

6、yO取微元体PABC（P点附近），DfxfyZ 方向取单位长度。设P点应力已知：体力：fx ，fy AC面：BC面：注： 这里用了小变形假定，以变形前的 尺寸代替变形后尺寸。PBACxyODfxfy由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有 切应力互等定理PBACxyODfxfy两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：平面问题的平衡微分方程：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量： 超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，z方向自成平衡， x、y方向的 平衡方程相同，故上述方程两类平面问题均适用； （3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢 、石料、

7、混凝土等）； （4）整个弹性体（包括内部、边界）平衡条件都须满足。PBACxyODfxfy2-3 平面问题中一点的应力状态一. 斜面上的应力1、斜面上应力在坐标方向的分量 px，pyxyOdxdy dsPABppxpyN设P点的应力分量已知：斜面AB上的应力矢量: p 斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦： 由微元体平衡： 整理得： 得 ： 外法线 同样，由 xyOdx dydsPABppxpyN2、斜面上的正应力与切应力将前式代入，并整理得：说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2） 的正负号规定： 将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的 ，则该 为正；反之为负。 任意斜截面上应力计算公式

8、（3）若AB面为物体的边界S，则 平面问题的应力边界条件二. 一点的主应力与应力主向xyOdx dydsPABppxpyN1、主应力若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；当 时，有求解得： 平面应力状态主应力的计算公式主应力 所在的平面 称为主平面；主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；易得： 平面应力状态应力第一不变量2、应力主向设 1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向 的方向余弦为 l1、m1，则设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2 、m2，则应力主向的计算公式：由得显然有表明：1 与 2 互相垂直。结论任一点P，一定存在两 互相 垂

9、直的主应力1 、 2 。（3）N 的主应力表示 xyOpdx dydsPAB N由1 与 2 分别为最大和最小应力。（4）一点的最大应力与最小应力： 最大、最小正应力：由：表明： 主应力 中，一定包含最大、最小正应力。 xyOdx dydsPAB Ns最大、最小剪应力：由显然，当时，N为最大、最小值：由得，max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。最大、最小剪应力由xyOdx dydsPAB Ns2-4 几何方程 刚体位移建立平面问题中应变与位移的关系 几何方程一. 几何方程一点的变形长度的改变； 角度的改变；xyOP考察P点邻域内的变形：AdxBdyuv变形前变形后PABu v注：这里

10、略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOP AdxBdyuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化xyOP AdxBdyuv整理得：几何方程说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当 u、v 已知，则 可完全确定；（积分会出现积分常数，要由边界条件确定。）（3） 以两线段夹角减小为正，增大为负。反之，已知 ，不能完全确定 u、v。二. 刚体位移物体无变形，只有刚体位移。 即： (a)(b)(c)由(a)、(b)可求得： (d)将(d)代入(c)，得： 或写成： 上式中，左边仅为 y 的函数， 右边仅 x 的函数，两边只能等 于同一常

11、数，即 (e) 积分(e) ，得： (f)其中，u0、v0为积分常数。 （x、y 方向的刚体位移），代入（d）得: 刚体位移表达式讨论： 刚体位移表达式（1）仅有x方向平移。（2）仅有y方向平移。（3）xyOPy xr说明： P点沿切向绕O点转动 绕O点转过的微小角度（刚性转动）2-5 物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系 物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。一. 各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学 中的广义虎克（Hooke）定律。其中：E 为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为横向变形系数，又 称泊松比。二.平面应力问题的物理方程由于平面应力

12、问题中 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程注：(1) (2) 物理方程的另一形式三.平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程注：(2) 平面应变问题 物理方程的另一形式：则(1) 平面应变问题中，但四.两类平面问题物理方程的转换 平面应变问题的平面应变问题的 物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的 物理方程物理方程(1)平面应力问题平面应变问题 材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题 材料常数的转换为：2-6 边界条件一. 弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡微分方程：（2）几何方程：（3）物理方程：（平面应力）未知

13、量数：8个方程数：8个结 论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。二. 边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 xyO q P是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界 三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可 表达为：（2-17） 平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。xyO q P（2）应力边界条件给定面力分量 边界 应力边界xyOdx dydsPABpxpyN由前面斜面的应力分析，得式中取：

14、得到：式中：l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向 余弦。如： 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直 x 轴的边界：垂直 y 轴的边界：例1 如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)例2 如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y = 0）：代入边界条件公式，有(2) BC段（x = l）：N(3)AC段（y =x tan）:例3 图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：例4 图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：上侧面：右侧面：例5图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：右侧面：上侧面：例6图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，试 证明在板中间突出部分的尖点A处无应力 存在。（设 1 2） 解： 平面应力问题AB 边界：由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得 A 点处无应力作用在 AC、AB 边界上无面力作用，即例7图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：图示构件，试写出其应力边界条件。例8上侧：下侧：N（3）混合边界条件(1 )物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2 )物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：连杆支承边 位移边界条件