《线性代数教案及讲稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教案及讲稿（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1重庆科技学院教案课程名称：线性代数与概率统计 授课人：李国敏授课日期 班级 机电专 2009/材控专 2010 授课顺序 第 大节课 题 二阶与三阶行列式，全排列及其逆序数，n 阶行列式的定义教学目的及要求1、应用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式；2、了解排列及其逆序数的概念；3、了解 n 阶行列式的定义。教学内容要点2 阶和 3 阶行列式的计算方法；排列及其逆序数；行列式的定义。重难点分析重点难点：行列式定义的两种表示形式。教学思路或教法设计首先通过二元线性方程组引入二阶行列式，进而介绍 3 阶行列式及对角线法求解。了解排列及其逆序数的概念之后，接着引入 n 阶行列式的概念，并给出
2、n 阶行列式的表示形式。最后对对角行列式和上（下）三角形行列式利用定义进行求解。课后分析及改进对于大二学生，2 阶和 3 阶行列式已经在高等数学中接触过，为了引入 n 阶行列式只要简单介绍便可。主要讲解 n 阶行列式的定义，以及用 n 阶行列式的定义对对角行列式和上（下）三角形行列式进行求解。J2第一章 行列式1.1 2 阶行列式和 3 阶行列式1 1）引入（解线性方程组）在中学课本中我们学习了解二元一次线性方程组，例如解线性方程组：（1）27351x我们利用消元法可以求得方程组的解为： ,21那么接下来我们将采用另外一种方法来求方程组（1）的解，首先我们记：（系数行列式）035732D212
3、1 1332D其中 11x2Dx再例如解线性方程组： 57284321x解：利用消元法可解得： ,61x那么我们同样才用另外一种方法：记： 01324732D65851 1232DJ32 ) 提出问题：（1）为什么解决二元一次方程能用这样的方法来解决？（2）如果是 n 元一次方程能否用类似的方法来解决呢？那么为了回答上面的两个问题我们必须学习行列式的概念和性质。2 行列式的相关概念：同样，设有含两个未知数 的二元一次线性方程组：21,x其中 是未知数 的系数， 是221bxa),(jiaj )2,1(jx)2,1(ib常数项。由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表当 时，求得方程组的
4、解为 1212bax12122abx现在我们把方程组得系数提取出来，且保持原来的相对位置不变，排成 2 行 2 列的 2 阶行列式： 212121aa对角线法则：我们已经知道了 2 阶行列式的计算： 212121aa注：（主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积）其中数 称为这个行列式的元素简称“元” ；),2,1(jiaj第一个下标 称为行标，表示该元位于行列式的第 行。i第二个下标 成为列标，表示该元位于行列式的第 列。j j那么对应的线性方程组的解为： 212121aaD120 2121 a行 列 式 ， 并 记 作称 为 数 表 所 确 定 的 二 阶表 达 式 21aJ41
5、22121ababD121212Dx21,3三阶行列式：设有 9 个数 排成 3 行 3 列的行列式:),21,3(jiaj32311a 3123213213213213213231 aaaa数表所确定的三阶行列式。1）沙路法： 32312121a33231213121aaD2）对角线法则：（主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积） 332312213121aaJ53123213213213213213231 aaaaaa 例 1： 53214D解：由对角线法则有： 10235)4(132)4(2153214 D练习：1） 51230D解：由对角线法则有： 2805)1(31)(2
6、350123 D1.2 排列及其逆序数.0942x求 解 方 程例例 2：解：解： 方程左端： 121832 xxD,65解 得由 02.x或J61排列： 个依次排列的元素n例如, 自然数 1,2,3,4 构成的不同排列有 4!=24 种1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 12432134, 2341, 2413, 2431, 2314, 21433124, 3241, 3412, 3421, 3214, 31424123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132例 1 互异元素 构成的不同排列有 种np,21 !n解 在 个元素中选取 1 个 种取法
7、n在剩余 个元素中选取 1 个 种取法1在剩余 个元素中选取 1 个 种取法22n 在剩余 2 个元素中选取 1 个 2 种取法在剩余 1 个元素中选取 1 个 1 种取法-总共 种取法!n2标准排列： 个不同的自然数从小到大构成的排列n个不同的元素按照某种约定次序构成的排列3逆序数：(1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素）之间有 1 个逆序(2) 排列 中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作 np2 )(21np算法：固定 , 当 时, )(iij满足 的“ ”的个数记作 （称为 的逆序数）,ijj ii那么 )(21npn2例 2 排列 6372451 中,
8、14623017例 3 排列 , 求逆序数4)()( 解 记作 nnpp212121, 0, , , 2n43n )1(2nn)1()(1J74奇偶性：排列 np21奇数时, 称为奇排列；)(21np偶数时, 称为偶排列1.3 阶行列式的定义n1二阶： 212121aa2三阶： 3213123213231 a312321321aa(1) 乘积中三个数不同行、不同列： 321pp行标(第 1 个下标)：标准排列 123列标(第 2 个下标)： 是 1,2,3 的某个排列(共 6 种)321p(2) 正项：123, 231, 312 为偶排列负项：132, 213, 321 为奇排列于是 , 32
9、1321)(3231 pppaa )(321p3 阶： 个数 , 称n,njijnnaaD 212112为 阶行列式, 它表示数值n, nn ppp 2121)( )(21np其中, 求和式中共有 项!J8例 3 计算 , .nnaaD 2211111,221nnaD 解 中只有一项 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为1a21, 故 0)2(n nna 2121)(中只有一项 不显含 0, 且列标构成排列的逆序数为D1,2nn 2)()()( 故 1,21)1,212 ()( nnnn aa 结论：以主对角线为分界线的上(下) 三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积以副对角线为分界线的上(
10、下) 三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号 2)1(n特例：，nn 2121 nn 21)(21课后作业：习题一 1（1） （3） 、3J9重庆科技学院教案及讲稿课程名称：线性代数与概率统计 授课人：李国敏授课日期 班级 机电专 2009/材控专 2010 授课顺序 第 大节课 题 对换，n 阶行列式的性质教学目的及要求掌握行列式的性质。教学内容要点转置行列式；行列式的性质以及一些推论；注意在利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。重难点分析重点：行列式的性质；难点：灵活运用行列式的性质；利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。教学思路或教法设计首先表述行列式是算式
11、，对于高阶行列式若利用行列式的定义进行计算，计算量很大，如果利用行列式本身的性质，把行列式化成上（下）三角形行列式就将简化计算。然后对各个性质进行讲解。最后举例说明利用行列式的性质计算行列式。课后分析及改进直接表述行列式的性质学生较难以接受，可以先用简单的例子引出行列式的性质，然后对其进行证明讲解。J101.4 对换相邻对换： nini ppp 111 一般对换： ijji )(ji定理 1 排列经过 1 次对换, 其奇偶性改变证 先证相邻对换：(1) mlba 11(2) l：对换后 增加 1, 不变, 故 ；baab12t：对换后 不变, 减少 1, 故 所以 与 的奇偶性相反2t1再证一
12、般对换：(1) nml cba 111(2) l (3) nml c 111(1) (2)经过 次相邻对换m(2) (3)经过 次相邻对换(1) (3)经过 次相邻对换, 所以 与 的奇偶性相反23t1推论 奇排列 标准排列, 对换次数为奇数偶排列 标准排列, 对换次数为偶数定理 2 (2)nqqqnnnnnaaaD 21)( )(2121122121证 由定义知 (1)nnnpppa 212121)( )(先证(2)中的项都是(1)中的项：交换乘积次序可得(3)nnnn ppqqqq aa 21212121 )()( 偶数21n偶数次对换q J11偶数次对换npn 21所以 偶数)( 奇数2
13、1nq奇数次对换奇数次对换np 21所以 奇数)(因此 , 由(3)可得)()( 2121 nnpq nnnn pppqq aa 21212121 )()( 同理可证(1)中的项都是(2)中的项1.5 行列式的性质性质 1 设 , , 则 nnaD 11nnaD 11D证 令 , 则),2,(jiabjij nnbD 11nnpppb 2121)( )(21np(根据 Th2)Dapnn )( 2121性质 2 设 , , 则 jnjiiaDji1, inijja1D1证 ),2(,kbaijkjik 1: nlll 12)()11 jipjnjii bbD )( jip)( ijpt )( ijt1 ijjpita llijipql:,)()( jiqtD)( jit推论 1 对调两列得 D2证 因为 对调两列得 , 相当于 对调两行得TT2所以 DT2推论 2 中某两行(列)元素对应相等 D0证 因为对调此两行(列)后, 的形式不变所以 0例如, 对于任意的 , 都有 cba0321cb性质 3 , kDaknniin 111 kDaknnjnj 1
