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1、摘要摘要小波分析是当前应用数学和工程学科中的一个迅速发展的新领域,小波函数在空间域和频率域均有良好的局部性, 因而在图像处理领域有着日益广泛的应用。小波分析是非冗余的,分解后的总数据量不大,小波分解后各分量是相互正交的,这些优点使的小波变换在图像压缩中应用能取得较好的效果。随着数字图像处理需求的不断增长，相关应用也不断的增长。小波变换是近些年发展起来的集数学、信息处理于一体的时频分析工具。目前，小波变换技术已广泛地应用于图像处理、视频处理、语音处理以及数字信号处理等领域。本文简要介绍了小波变换方法，对小波分析在数字图像预处理的应用进行了简要讨论，并对图像去噪、图像压缩、以及图像增强等应用进行了
2、一些有意义的尝试。 关键词关键词:图像处理；小波变换；图像增强；图像压缩AbstractAbstractWavelet analysis is the current applied mathematics and engineering disciplines a rapid development of new area, the wavelet function in the space domain and frequency domain all have good local, so the image processing area has day by day the wide
3、spread application. Wavelet analysis is redundant, decomposition of the total quantity is not big, wavelet decomposition after the component is mutual orthogonal, these advantages of wavelet transform in the image compression applications can obtain good effect. Along with the digital image processi
4、ng demand is growing, and the related application is also constantly growth. Wavelet transform is developed in recent years with mathematics, information processing in the integration of time-frequency analysis tool. At present, the wavelet transform technology has been widely applied to image proce
5、ssing, video processing, speech processing and digital signal processing, etc. This paper briefly introduces the wavelet transform method of wavelet analysis in the application of digital image pretreatment are briefly discussed, and the image denoising, image compression, and image enhancement appl
6、ications such as some significant to try.Keyword:Keyword: Image processing; Wavelet transform; Image enhancement; Image compression1 1 小波变换的分析方法小波变换的分析方法引言引言小波变换实际上是生成特殊问题域中正交基的一套技术。小波变换是一种常用工具, 它把函数、算子和数据分开, 放进不同频率的组件中, 小波变换允许研究者分别研究每个组件。术语小波是根据 Daubech ies在 1982 年形成的。小波分析被看作是希尔伯特( H )空间中的一般分析方法。在
7、H 空间中, 问题会被生成为研究者感兴趣的空间中的一个直交基, 在此空间中的方程式能够以基的方式解出。H 空间技术对解线性常微分方程特别有用, 同时允许求解者将某些偏微分方程简化成两个或者多个常微分方程, 简化出的常微分方程通过分离的变量相互关联。近年来, 为近似任意非线性函数, 小波网络也得到了发展, 尤其是前馈神经网络, 以及基于后向繁殖学习算法的小波分解技术的发展, 很大的推动了小波网络的发展。1.11.1 希尔伯特空间分析希尔伯特空间分析对H 空间分析过程做出正确的评价, 有助于理解小波变换。H 空间分析过程如下:1.1.11.1.1 确定感兴趣的内积空间确定感兴趣的内积空间一个内积空
8、间( IPS )包含一个(闭的)向量空间和定义在该空间上的一个内积。例如, 令V 是该空间中, 定义在实数域(R )上的实函数集, 对于任意包含在集合V 中的函数f、g, f 与g的内积可以定义为:（1）dx ) x ( g )(x f g f, 当 = 0时, 我们称函数f 和函数g 直交。1 1. .1.21.2 定义感兴趣的定义感兴趣的H H 空间空间函数f 的范数以内积的形式给出, 即2/1,|1 fff从内积推导出的范数, 类似于欧几里德空间的长度。使用这个范数, 一个H 空间Lp( V)可被定义为: , pf | vf V) (Lp很自然, 在令P = 2的时候, 这个感兴趣的空间
9、包含在V中所有平方可积的函数f。1 1.1.1.3 3 指定一个指定一个H H 空间上的线性操作空间上的线性操作H 空间上的线性算子L 对所有包含其中的常数c和函数f、g, 具有如下性质:) (f cL ) cf ( L ) (g L ) (f L ) g f ( L通常, 这个算子被指定为两个部分, 第一部分是一个线性微分表达式L (y ), 第二部分是一个被独立指定的算子域Dom( L ), 算子域来自于算子L的上确界, 上确界定义了最大算子, 最大算子可能会进一步被某些强制性的边界条件所限制。再重复一下, 上面提到的矩阵一定是双线性矩阵:h g, b h f, a h bg, af h
10、f, b g f, a bh ag f, 且具有共轭对称性, 正定性: f g, g f, 0 f 0) f f, and( , f f, vf这些内积的性质可以用来证明Schw arz不等式以及三角不等式:| g | | f | g f, | f | | f | | g f, |以上性质对任意内积空间均成立。最后, 类似空间中两个点的几何距离, 可以定义一个均方度量来表征函数之间的距离。在内积空间中的函数f和g的距离可以定义为: 。 g -f ) g f, ( d内积空间中任意一个函数以正交基的形式存在, 当正交基的维数增加时, 可以用该度量方法来论证函数的收敛性。线性算子的本征值可以通过解
11、下面的方程找到: ) (L Dom y y Ly 该方程可以决定存在的本征值, , . . . ,然后找到相关的本征方程, , . . . 12n12, 这组本征方程满足方程 , 。ny Ly ) (L Dom y H 空间 (R ) 中不止有一个正交基。例如,傅立叶变换能生成H 空 (R )中4个分2L2L离的正交基。通过确定特殊算子的本征空间, 直交基也能被发现。这些本征空间的直接叠加就是算子的域,假如算子的域是整个H 空间, 那么可以找到该空间中的一个基。1.21.2 小波分析技术小波分析技术H 空间的主要价值在于, 算子可以用与之相关的本征空间来分析, 例如基函数。哈尔基是一种直交基,
12、 1910 年由哈尔发现, 它是已知的最早的小波基。在 H 空间分析中, 可以找到线性算子的本征空间联合, 并确定这个空间的基。例如, 可以选择某种带常系数的常微分方程来描述某种简单的谐振。本征空间的基可以很容易的由无限区间上的正弦函数、余弦函数构成。对于对应问题域的基,小波分析还提供了其它的意义。例如, 哈尔基可以由一个公式形式的所谓母函数生成。这个策略是生成小波族的一般模式。下面介绍一个方法, 从合适的函数 生成小波族m, n :m, n (x ) ( 2)n b -x a ( a0-m 0/2-m 0znm, 对特别选择的 和 a0, b0 , m, n 构成) (RL2空间的一个正交基
13、。特殊的, 当取 a0 = 2, b0 = 1 时, 存在 满足: m, n (x ) )n 1 -x 2 ( 20-m 0/2-m 0znm, 形成一个 L2(R ) 空间中的正交基。这是我们将会使用的生成函数。哈尔基能在这个意义下, 由哈尔函数生成:哈尔函数如图1所示:图 1 哈尔函数 ( x )为了构建一个由正交基构成的哈尔族函数 m, n , 必须满足下列条件:(1) m, n 是直交的, 赋范的。(2) 任意f (R ) 能被m, n 中的一部分扩展计算出任意精度的近似值。2L首先, 我们检查直交性, m, n 的支持域很容易被看作, , 因此可nL2m1) n m(2m得出结论当。
14、注意另外一个方面的问题, 具有相同刻度m 的哈0 n m,n, m,n n 尔小波不会重迭, 除非它们有相同的n 。这个性质可以导出积分:1)2(2)2(2(2022)1(222/m xnmm xnnmmdxdnxm 因此, 有n n,n m,n, m,在不同刻度 m 下检查直交性有一点困难。给出函数 , 可得到支 n m,n, m,和 。对哈尔小波和 (刻度 m = 0 1) n m(2n L2mm 1) n (m2 nL2mm 0 2,3 2, 1, 0,0时的 4 个小波)的情况如图 2 所示。很容易检查, 如果, 那么 的支持域完全m mnm,存在于是常数的区域中。因此, 在积分中,
15、的支持被它自己取消。通过切换, nmnm,小波, 对 我们能看到同样的事情。m m注意小波的高度是宽度的平方根分之一, 结合前面的结果, 可得: 。因此, 是紧支正交基小波。n n,m m,n , mn, m,nm,现在可以显示, 对任意 f (R ) , 被扩展为有限数目的是可能的, 因此有: 2Lnm,为任意小数。换言之, 就是在平方度量的意义上, 寻找一个部分和 nm,nm,c-fnm来逼近真值。在此, 我们概括一下该证明。因为任意函数 f (R ) 是勒贝格可积的, 所以可知 f 能被一个紧支函数任意2L逼近, 这个紧支函数在区间 上是分段常数(对足够大的支持和 j)。选 2 1) L ( ,L2j -j -择两个紧连的区间, 令其恰恰重迭某个哈尔小波 的区间, 并用一个常数表示n j, - 1n j, - 1C它们之间的差异。这个过程不断重复, 直到 f 的支持域被刻度为- j + 1 的小波覆盖。然后, 选择一个常数 , 使用刻度为- j + 2 的小波覆盖 f 的支持域。重复这个过程, 直j
