运用三角函数的定义解题

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1、- 1 -运用三角函数的定义解题运用三角函数的定义解题锐角三角函数定义是在直角三角形中给出的，它反映的是直角三角形相应两边的比值的特性，我们在解题的过程中，如果能恰当地利用这一点，有时会起到简化过程作用。现例析如下，供同学们参考。例例 1：如图 1，在ABC 中，已知 BC=31，B=60，C=45，求 AB 的长。分析：可以过 A 点作 BC 的垂线交于 D 点，构造直角三角形，再根据三角函数定义及特殊角的三角函数值，得出 AD 与 BD 的比值为3，可设 BD=k，AD=3k，再有 AD=DC，得 k+3k=31，求得 k 值，进而求得 AB 的长。解：过 A 点作 BC 的垂线交于 D

2、点，由C=45，易得 AD=DC。在 RtADB 中，根据三角函数定义，SinB=ABAD，有 Sin60=ABAD，即 AB=332AD。由 tanB=BDAD，得BDAD=3。设 BD=k，AD=3k，又 BD+ DC=BC=31，即 k+3k=31，解得k=1。所以 AB=3323=2。点评：点评：求线段的长，若线段不处在直角三角形中，常通过作垂线构造直角三角形，结合三角函数定义求解。例例 2：如图 2，在ABC 中，ACB=90，SinB=53，D 是 BC 上一点，DEAB 于E，CD=DE，AC+CD=9。求 BE 的长。分析：由 SinB=DBDE=ABAC=53，可设 DE=

3、CD=3k，DB=5k，则 BC=8k，AC=6k，AB=10 k。再由 AC+CD=9，可求出各边的长。在 RtBDE 中，根据勾股定理求出 BE的长。解：因为 SinB=53，ACB=90，DEAB，所以 1DCBAE 2DCBA- 2 -SinB=DBDE=ABAC=53。设 DE=3k，则 DB=5k，又 CD=DE=3k，所以 BC=8k，可求得AB=10 k，AC=6k。因为 AC+CD=9，即 6k+3k=9，解得 k=1。所以 DE=3，DB=5。根据勾股定理 BE=222235 DEBD=4。点评：点评：在直角三角形中，已知某一三角函数值，可利用其比值设比例系数为 k，把某些线段用 k 的代数式表示，再结合已知条件求出 k 的值，也即求出了要求线段的长，这是这类题目常用的方法。