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1、考研数学知识体系总结： 一 函数极限及连续 1 函数概念 如何判断两个函数相等：定义域 对应法则都相同 2 函数的几何性质： 奇偶性 f（-x）=f（x）为偶函数，f（-x）=-f（x）为奇函数。 周期性 f（x+t）=f（x）为以 t 为周期的周期函数。 有界性 y= f（x）在数集 X 上有定义即 x 属于 X，有| f（x）|m，则有上界。 3 常见初等函数 幂指对三反 4 隐函数 分段函数 反函数 5 极限的性质 唯一性 保号性 有界性 6 极限存在的判别法则 夹逼定理 g(x)f(x)h(x) 且 g(x)， h(x)极限等于 A 则 f（x）极限等于 A。 单调有界数列必有极限 （
2、归纳法） 7 计算极限的方法 等价无穷小： 当 x0，且 x0，则 xsinxtanxarcsinxarctanx; xln(1+x)(ex-1); (1-cosx)x*x/2; (1+x)n-1nx; loga(1+x)x/lna; a 的 x 次方xlna; (1+x)的 1/n 次方1/nx(n 为正整数） ； 注： 是乘方 洛必达法则 泰勒公式 两个重要极限： 多项式： 8 连续 闭区间上左极限等于右极限等于函数值 9 间断点 （1）第一类间断点：左右界限存在不相等，跳跃；左右极限存在且相等，可去 （2）第二类间断点：无穷间断地；震荡间断点 10 无穷大无穷小的比较 11 闭区间上连续
3、函数的性质 最大值最小值 零点定理 介值定理 二导数与微分 1 导数定义式：题中已知在某点处导数，用定义式做2 求导法则 /x1x /xalnxaa /xexe/logax1 lnxa/ln x1 x/sin x cosx/cosxsin x/tan x2sec x/cot x2csc x/secxsec tanxx/cscxcsc cotxx/arcsin x 211x/arccosx 211x /arctan x21 1x/arccot x21 1x /uv/u vuv/u v/2u vuv v3 复合函数 隐函数求导4 高阶导数：莱布尼兹公式：)()(0)(kknnkk nvuCvu)0
4、(ln)() 1 ()(aaaanxnx)2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnnnnxnx) 1() 1()()4()(nnn xnx)!1() 1()(ln)5(1)(5 函数的微分公式：1d()dxxxd(sin )cos dxx xd(cos )sin dxx x 2d(tan )secdxx x2d(cot )cscdxx x d(sec )sec tan dxxx xd(csc )csc cot dxxx x d()ln dxxaaa xd(e )e dxxx1d(log)dlnaxxxa1d(ln )dxxx21d(arcsi
5、n )d 1xx x 21d(arccos )d 1xx x 21d(arctan )d1xxx21d(arccot )d1xxx 三微分中值定理 （1）罗尔定理罗尔（Rolle）定理 如果函数 f（x）在 闭区间a,b上连续, 在开区 间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (ab),使得函数 f（x）在该点的导数等于零，即 f （）=0 （2）拉格朗日拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在闭区间上连续, 在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点，使,ba)(ba等式成立.)()()(abfafb
6、f（3）柯西中值柯西（Cauchy）中值定理 如果函数及)(xf)(xF在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零，那,ba),(ba)(xF),(ba末在内至少有一点,使等式),(ba)(ba成立.)()( )()()()( Ff aFbFafbf（4）洛必达法则 基本型 0/0 / 型（5）泰勒公式: Taylor 中值定理：如果函数在的某区间内具有直到)(xf0x),(ba阶的导数，则当时，可表示为的一个多项式和一个) 1( n),(bax)(xf)(0xx )(xPn余项之和：)(xRn)()(!)()(! 2)()()()(00)( 2 00 000xRxxnxfxxxf
7、xxxfxfxfnnn 6 函数的单调性与极值 f（x）一阶导数0 函数单调增加 f（x）一阶导数0 函数单 调减少 左增右减的点是极大值点 左减右增的点是极小值点 7 函数图像的凹凸性及拐点：f（x）二阶导数=0 是驻点，f（x）二阶导数0 图像为凹 极小值 f（x）二阶导数0 图像为凸极大值 只有当驻点左右凹凸性改变了 才是拐点 8 函数的渐近线斜渐近线： 水平 垂直 k lim xf x xb lim xf xkx 9 图像描述 10 最大值最小值 极值点与端点值比较 最大的为最大值 最小的为最小值 四不定积分 1 不定积分公式kdx kxx dx11x dx xln x21dx xar
8、ctan x 21dxx arcsin xcosxdx sin xsin xdx cosx2sec xdx tan x2ccsxdx cot xsec tanxxdx secxcsc cotxxdx cscxxe dx xexa dx lnxa atan xdx ln cosxcot xdx ln sin xsecxdx ln sectanxxcscxdx ln csccotxx221dxxa1arctanx aa221dxxa1ln2xa axa 221dx xa 22ln xxa221dx ax arcsinx a2 积分方法:（1）第一类换元定理 1 设具有原函数，可导，则)(uf)(u
9、F)(xudxxdu)(CxFCuFduufdxxxf)()()()()(第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，也是微分运算的逆运算，)()(xddxx目的是将凑成中间变量的微分，转化成对中间变量的积分。dxx)(u（2）第二类换元 第二换元法中的三角代换及根式代换 1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则22xa 0ataxsin2,2t；可将原积分化作三角有理函数的积分分部积分taxacos22tdxadxcos2 被积函数中含有可令 并约定，则)0(22axataxtan)2,2(t； ；可将原积分化为三角有理函数的积分，taxasec22tdtadx2sec3 不定积分的性质1 dxx
10、fkdxxkf)()(2 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(3 被积分函数中含有 ，当时，可令，并约定22ax )0( aax taxsec，则，当时，可令，则)2, 0(ttaaxtan22ttadxtansecaxxu，可将原积分化为三角有理函数的积分。au （3）分部积分法是另一个基本的不定积分法，它是由乘积的微分公式得vduuvudv此公式就是分部积分公式。若求较难，而求较易，可用分部积分公式。使用分部udvvdu 积分法的关键是正确选择和。uv五定积分 1 定积分性质：性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)， baf (x) g (x)dx baf (x
11、) dx bag (x) dx baf (x) g (x)dx baf (x) dx bag (x) dx 性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，bak f (x) dx kbaf (x) dx bak f (x) dx kbaf (x) dx 性质 3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，baf (x) dx caf (x) dx bcf (x) dx baf (x) dx caf (x) dx bcf (x) dx 性质 4 如果在区间a，b上 f (x)1，则 ba1 dx badx ba 性质 5 如果在区间a，b上，f (x)0，则
12、 baf (x) dx 0 (a 1nnala+1n na=( )ii0nN,则级数发散.11nna a+1n na=2 调和级数 3 P 级数 4 绝对收敛和条件收敛 （二）幂级数 1 收敛半径和区间： 2 性质： 3 收敛域求法: (1) 缺项 (2) 不缺项 函数展 幂级数泰勒级数 八常微分方程和差分方程 1 一阶微分方程 （1）可分离变量：分离变量，两边求积分，根据已知求出常数 c （2）齐次微分方程：设 U=y/x （3）一阶线性微分方程： （4）一阶线性微分方程解的结构：非齐次通解=齐次通解+非齐次特解 2 二阶常系数微分方程 （1） 是二阶线性齐次方程 也是该方程的解. 特征方程
13、 有两个相异实根 r1 r2 因此方程的通解为042 qp特征方程有两个相等实根 r1 =r2 因此原方程的通解为042qp特征方程有一对共轭复根，因此原方程的通解为（2）二阶常系数线性非齐次： Y (x) 是相应齐次方程的通解,则 非齐次方程通解为： 3 差分方程： （1）一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1tfPyytt其中, P 为非零常数, 为已知函数. 如果则方程变为)(tf, 0)(tf01ttPyy)(),(21xyxy若函数0 qyypy)()(2211xyCxyCy则02qrpr042 qpxrxreCeCy21 21xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx)(xfqyypy )(*)(xyxYy（2） 二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12tfbyayyttt其中均为常数, 且 是已知函数. 当时, 方程变为ba, 0b)(xf0)(xf012tttbyayy（3）二阶常系数线性齐次差分方程的通解特征方程 02ba
